Teorie Picard – Vessiot - Picard–Vessiot theory - Wikipedia

v diferenciální algebra, Teorie Picard – Vessiot je studium diferenciální pole rozšíření generované řešeními a lineární diferenciální rovnice, za použití diferenciální Galoisova skupina rozšíření pole. Hlavním cílem je popsat, kdy lze diferenciální rovnici vyřešit pomocí kvadratur, pokud jde o vlastnosti diferenciální Galoisovy skupiny. Teorie byla zahájena Émile Picard a Ernest Vessiot od asi 1883 do 1904.

Kolchin (1973) a van der Put & Singer (2003) podat podrobný popis teorie Picard – Vessiot.

Dějiny

O historii teorie Picard – Vessiot pojednává Borel (2001, kapitola VIII).

Teorie Picard – Vessiot byla vyvinuta Picardem v letech 1883 až 1898 a Vessiotem v letech 1892–1904 (shrnuto v (Picard 1908, kapitola XVII) a Vessiot (1892, 1910 )). Hlavní výsledek jejich teorie velmi zhruba říká, že lineární diferenciální rovnici lze vyřešit kvadraturami právě tehdy, je-li její diferenciální Galoisova skupina spojena a řešitelný. Bohužel je těžké přesně říci, co dokázali, protože koncept „řešitelnosti kvadraturami“ není ve svých dokumentech přesně definován ani používán důsledně. Kolchin  (1946, 1948 ) poskytl přesné definice nezbytných pojmů a prokázal rigorózní verzi této věty.

Kolchin (1952) rozšířila Picard – Vessiotovu teorii na parciální diferenciální pole (s několika dojíždějícími derivacemi).

Kovacic (1986) popsal algoritmus pro rozhodování, zda lze homogenní lineární rovnice druhého řádu vyřešit pomocí kvadratur, známých jako Kovacicův algoritmus.

Prodloužení a kroužky Picard – Vessiot

Rozšíření F ⊆ K. diferenciálních polí se nazývá Picard – Vessiotovo rozšíření, pokud jsou všechny konstanty F a K. lze generovat připojením řešení homogenního lineárního obyčejného diferenciálního polynomu.

A Picard – Vessiotův prsten R přes diferenciální pole F je diferenciální kroužek F to je jednoduché (žádné diferenciální ideály jiné než 0 a R) a generovány jako k-algebra koeficienty A a 1 / det (A), kde A je invertibilní matice F takhle B = A′/A má koeficienty v F. (Tak A je základní matice pro diferenciální rovnici y′ = Podle.)

Liouvillian rozšíření

Rozšíření F ⊆ K. diferenciálních polí se nazývá Liouvillian, pokud jsou všechny konstanty v F, a K. lze generovat připojením konečného počtu integrálů, exponenciálu integrálů a algebraických funkcí. Zde integrál prvku A je definováno jako jakékoli řešení y′ = Aa exponenciál integrálu A je definováno jako jakékoli řešení y′ = ano.

Rozšíření Picard – Vessiot je Liouvillian právě tehdy, když je připojitelná součást její diferenciální skupiny Galois řešitelná (Kolchin 1948, str. 38) (van der Put & Singer 2003, Věta 1.39). Přesněji řečeno, rozšíření o algebraické funkce odpovídají konečným diferenciálním Galoisovým skupinám, rozšíření o integrály odpovídají dílčím dílům diferenciální skupiny Galois, které jsou 1-rozměrné a unipotentní, a rozšíření o exponenciály integrálů odpovídají dílčím dílům diferenciální skupiny Galois, které jsou 1 -dimenzionální a redukční (tori).

Reference

  • Beukers, Frits (1992), „8. Diferenciální Galoisova teorie“, Waldschmidt, Michel; Moussa, Pierre; Štěstí, Jean-Marc; et al. (eds.), Od teorie čísel k fyzice. Přednášky ze setkání o teorii čísel a fyziky, které se konalo v Centre de Physique v Les Houches (Francie), 7. – 16. Března 1989, Berlín: Springer-Verlag, str. 413–439, ISBN  3-540-53342-7, Zbl  0813.12001
  • Borel, Armand (2001), Eseje o historii Lieových skupin a algebraických skupin Dějiny matematiky, 21„Providence, R.I .: Americká matematická společnost, ISBN  978-0-8218-0288-5, PAN  1847105
  • Kolchin, E. R. (1946), „Picard – Vessiotova teorie homogenních lineárních obyčejných diferenciálních rovnic“, Sborník Národní akademie věd Spojených států amerických, 32 (12): 308–311, doi:10.1073 / pnas.32.12.308, ISSN  0027-8424, JSTOR  87871, PAN  0018168, PMC  1078958, PMID  16578224
  • Kolchin, E. R. (1948), „Algebraické maticové skupiny a Picard – Vessiotova teorie homogenních lineárních obyčejných diferenciálních rovnic“, Annals of Mathematics, Druhá série, 49 (1): 1–42, doi:10.2307/1969111, ISSN  0003-486X, JSTOR  1969111, PAN  0024884
  • Kolchin, E. R. (1952), „Picard – Vessiotova teorie parciálních diferenciálních polí“, Proceedings of the American Mathematical Society, 3 (4): 596–603, doi:10.2307/2032594, ISSN  0002-9939, JSTOR  2032594, PAN  0049883
  • Kolchin, E. R. (1973), Diferenciální algebra a algebraické skupiny Čistá a aplikovaná matematika, 54, Boston, MA: Akademický tisk, ISBN  978-0-12-417650-8, PAN  0568864
  • Kovacic, Jerald J. (1986), „Algoritmus pro řešení lineárních homogenních diferenciálních rovnic druhého řádu“, Journal of Symbolic Computation, 2 (1): 3–43, doi:10.1016 / S0747-7171 (86) 80010-4, ISSN  0747-7171, PAN  0839134
  • Picard, Émile (1908) [1896], Traité d'analyse (francouzsky), 3 (deuxieme ed.), Gauthier-Villars
  • van der Put, Marius; Zpěvák, Michael F. (2003), Galoisova teorie lineárních diferenciálních rovnic Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften [Základní principy matematických věd], 328, Berlín, New York: Springer-Verlag, ISBN  978-3-540-44228-8, PAN  1960772
  • Vessiot, Ernest (1892), „Sur l'intégration des équations différentielles linéaires“, Annales Scientifiques de l'École Normale Supérieure, 3, 9: 197–280, doi:10,24033 / asens.372
  • Vessiot, Ernest (1910), „Méthodes d'intégration élémentaires“, Molk, Jules (ed.), Encyclopédie des sciences mathématiques pures et appliquées, 3, Gauthier-Villars & Teubner, str. 58–170

externí odkazy