Pravidelný singulární bod - Regular singular point - Wikipedia

Tento článek obsahuje a seznam doporučení, související čtení nebo externí odkazy, ale jeho zdroje zůstávají nejasné, protože mu chybí vložené citace. Prosím pomozte zlepšit tento článek představuji přesnější citace. (Červen 2017) (Zjistěte, jak a kdy odstranit tuto zprávu šablony)

v matematika, v teorii obyčejné diferenciální rovnice ve složité rovině ${ displaystyle mathbb {C}}$, body z ${ displaystyle mathbb {C}}$ jsou klasifikovány do obyčejné body, kde jsou koeficienty rovnice analytické funkce, a singulární body, při kterém má nějaký koeficient a jedinečnost. Pak se mezi singulárními body významně rozlišuje mezi a regulární singulární bod, kde je růst řešení omezen (v jakémkoli malém sektoru) algebraickou funkcí a an nepravidelný singulární bod, kde celá sada řešení vyžaduje funkce s vyššími rychlostmi růstu. K tomuto rozlišení dochází například mezi hypergeometrická rovnice, se třemi pravidelnými singulárními body, a Besselova rovnice což je v jistém smyslu a omezující případ, ale kde se analytické vlastnosti podstatně liší.

Formální definice

Přesněji, zvažte obyčejnou lineární diferenciální rovnici n-tá objednávka

${ displaystyle sum _ {i = 0} ^ {n} p_ {i} (z) f ^ {(i)} (z) = 0}$

s p_i (z) meromorfní funkce. Dá se to předpokládat

${ displaystyle p_ {n} (z) = 1. ,}$

Pokud tomu tak není, výše uvedená rovnice musí být vydělena p_n(X). To může zavést singulární body, které je třeba vzít v úvahu.

Rovnice by měla být studována na Riemannova koule zahrnout bod v nekonečnu jako možný singulární bod. A Möbiova transformace lze v případě potřeby použít k přesunutí ∞ do konečné části komplexní roviny, viz příklad níže Besselova diferenciální rovnice.

Pak Frobeniova metoda založeno na indiciální rovnice mohou být použity k nalezení možných řešení, která jsou mocninami krát komplexní síly (z − A)^rpoblíž kteréhokoli z nich A v komplexní rovině kde r nemusí být celé číslo; tato funkce může tedy existovat pouze díky a větev řez sahající od A, nebo na a Riemannův povrch některých propíchnutý disk kolem A. To nepředstavuje žádné potíže A obyčejný bod (Lazarus Fuchs 1866). Když A je regulární singulární bod, což podle definice znamená, že

${ displaystyle p_ {n-i} (z) ,}$

má pól maximálně objednávky i na A, Frobeniova metoda také lze dát do práce a poskytovat n nezávislá řešení blízko A.

Jinak jde o to A je nepravidelná singularita. V takovém případě monodromy skupina související řešení od analytické pokračování má méně co říci obecně a řešení je obtížnější studovat, s výjimkou jejich asymptotických expanzí. Nepravidelnost nepravidelné singularity se měří pomocí Poincaré hodnost (Arscott (1995) chyba harvtxt: žádný cíl: CITEREFArscott1995 (Pomoc)).

Podmínka pravidelnosti je něco jako Newtonův mnohoúhelník podmínka v tom smyslu, že povolené póly jsou v oblasti, když jsou vyneseny proti i, ohraničený úsečkou pod úhlem 45 ° k osám.

An obyčejná diferenciální rovnice jehož jediné singulární body, včetně bodu v nekonečnu, jsou pravidelné singulární body, se nazývá a Fuchsian obyčejná diferenciální rovnice.

Příklady diferenciálních rovnic druhého řádu

V tomto případě je výše uvedená rovnice redukována na:

${ displaystyle f '' (x) + p_ {1} (x) f '(x) + p_ {0} (x) f (x) = 0. ,}$

Rozlišujeme následující případy:

• Směřovat A je obyčejný bod když funkce p₁(X) a p₀(X) jsou analytické na X = A.
• Směřovat A je regulární singulární bod -li p₁(X) má tyč až do objednávky 1 v X = A a p₀ má pól řádu až 2 v X = A.
• Jinak bod A je nepravidelný singulární bod.

Můžeme zkontrolovat, zda existuje nepravidelný singulární bod v nekonečnu pomocí substituce ${ displaystyle w = 1 / x}$ a vztahy:

${ displaystyle { frac {df} {dx}} = - w ^ {2} { frac {df} {dw}}}$

${ displaystyle { frac {d ^ {2} f} {dx ^ {2}}} = w ^ {4} { frac {d ^ {2} f} {dw ^ {2}}} + 2w ^ {3} { frac {df} {dw}}}$

Můžeme tedy transformovat rovnici na rovnici v wa zkontrolujte, co se stane w= 0. Li ${ displaystyle p_ {1} (x)}$ a ${ displaystyle p_ {2} (x)}$ jsou kvocienty polynomů, pak bude nepravidelný singulární bod v nekonečnu X pokud polynom ve jmenovateli ${ displaystyle p_ {1} (x)}$ je z stupeň alespoň o jeden více než stupeň jeho čitatele a jmenovatele ${ displaystyle p_ {2} (x)}$ je o stupeň nejméně o dva vyšší než stupeň jeho čitatele.

Níže je uvedeno několik příkladů z běžných diferenciálních rovnic z matematické fyziky, které mají singulární body a známá řešení.

Besselova diferenciální rovnice

Toto je obyčejná diferenciální rovnice druhého řádu. Nachází se v řešení Laplaceova rovnice v válcové souřadnice:

${ displaystyle x ^ {2} { frac {d ^ {2} f} {dx ^ {2}}} + x { frac {df} {dx}} + (x ^ {2} - alpha ^ {2}) f = 0}$

pro libovolné reálné nebo komplexní číslo α ( objednat z Besselova funkce ). Nejběžnějším a nejdůležitějším zvláštním případem je situace, kdy α je an celé číslo n.

Dělení této rovnice X² dává:

${ displaystyle { frac {d ^ {2} f} {dx ^ {2}}} + { frac {1} {x}} { frac {df} {dx}} + vlevo (1- { frac { alpha ^ {2}} {x ^ {2}}} right) f = 0}$

V tomto případě p₁(X) = 1/X má pól prvního řádu v X = 0. Když α ≠ 0 p₀(X) = (1 - α²/X²) má pól druhého řádu v X = 0. Tato rovnice má tedy pravidelnou singularitu na 0.

Chcete-li zjistit, co se stane, když X → ∞ člověk musí použít a Möbiova transformace, například ${ displaystyle x = 1 / t}$. Po provedení algebry:

${ displaystyle { frac {d ^ {2} f} {dw ^ {2}}} + { frac {1} {w}} { frac {df} {dw}} + doleva [{ frac {1} {w ^ {4}}} - { frac { alpha ^ {2}} {w ^ {2}}} right] f = 0}$

Nyní v ${ displaystyle w = 0}$,

${ displaystyle p_ {1} (w) = { frac {1} {w}}}$

má tyč prvního řádu, ale

${ displaystyle p_ {0} (w) = { frac {1} {w ^ {4}}} - { frac { alpha ^ {2}} {w ^ {2}}}}$

má tyč čtvrtého řádu. Tato rovnice má tedy nepravidelnou singularitu v ${ displaystyle w = 0}$ souhlasí s X v ∞.

Legendrova diferenciální rovnice

Toto je obyčejná diferenciální rovnice druhého řádu. Nachází se v řešení Laplaceova rovnice v sférické souřadnice:

${ displaystyle {d over dx} left [(1-x ^ {2}) {d over dx} f right] + l (l + 1) f = 0.}$

Otevřením hranaté závorky získáte:

${ displaystyle (1-x ^ {2}) {d ^ {2} f nad dx ^ {2}} - 2x {df nad dx} + l (l + 1) f = 0.}$

A dělení (1 -X²):

${ displaystyle {d ^ {2} f over dx ^ {2}} - {2x over (1-x ^ {2})} {df over dx} + {l (l + 1) over ( 1-x ^ {2})} f = 0.}$

Tato diferenciální rovnice má pravidelné singulární body na ± 1 a ∞.

Hermitova diferenciální rovnice

Jeden se setká s touto obyčejnou diferenciální rovnicí druhého řádu při řešení jednorozměrného nezávislého času Schrödingerova rovnice

${ displaystyle E psi = - { frac { hbar ^ {2}} {2m}} { frac {d ^ {2} psi} {d ^ {2} x}} + V (x) psi}$

pro harmonický oscilátor. V tomto případě potenciální energie PROTI(X) je:

${ displaystyle displaystyle V (x) = { frac {1} {2}} m omega ^ {2} x ^ {2}.}$

To vede k následující běžné diferenciální rovnici druhého řádu:

${ displaystyle { frac {d ^ {2} f} {dx ^ {2}}} - 2x { frac {df} {dx}} + lambda f = 0.}$

Tato diferenciální rovnice má nepravidelnou singularitu na ∞. Jeho řešení jsou Hermitovy polynomy.

Hypergeometrická rovnice

Rovnici lze definovat jako

${ displaystyle z (1-z) { frac {d ^ {2} f} {dz ^ {2}}} + doleva [c- (a + b + 1) z doprava] { frac {df } {dz}} - abf = 0.}$

Vydělením obou stran z(1 − z) dává:

${ displaystyle { frac {d ^ {2} f} {dz ^ {2}}} + { frac {c- (a + b + 1) z} {z (1-z)}} { frac {df} {dz}} - { frac {ab} {z (1-z)}} f = 0.}$

Tato diferenciální rovnice má pravidelné singulární body v 0, 1 a ∞. Řešením je hypergeometrická funkce.

Reference

• Coddington, Earl A .; Levinson, Norman (1955). Teorie obyčejných diferenciálních rovnic. New York: McGraw-Hill.
• E. T. Copson, Úvod do teorie funkcí komplexní proměnné (1935)
• Fedoryuk, M.V. (2001) [1994], "Fuchsiova rovnice", Encyclopedia of Mathematics, Stiskněte EMS
• A. R. Forsyth Teorie diferenciálních rovnic sv. IV: Obyčejné lineární rovnice (Cambridge University Press, 1906)
• Édouard Goursat, Kurz matematické analýzy, díl II, část II: Diferenciální rovnice str. 128 − ff. (Ginn & co., Boston, 1917)
• Il'yashenko, Yu.S. (2001) [1994], "Pravidelný singulární bod", Encyclopedia of Mathematics, Stiskněte EMS
• E. L. Ince, Obyčejné diferenciální rovnicePublikace Dover (1944)
• T. M. MacRobert Funkce komplexní proměnné p. 243 (MacMillan, London, 1917)
• Teschl, Gerald (2012). Obyčejné diferenciální rovnice a dynamické systémy. Prozřetelnost: Americká matematická společnost. ISBN  978-0-8218-8328-0.
• E. T. Whittaker a G. N. Watson Kurz moderní analýzy 188 − ff. (Cambridge University Press, 1915)