Schwarz – Christoffel mapování - Schwarz–Christoffel mapping

v komplexní analýza, a Schwarz – Christoffel mapování je konformní transformace z horní polorovina do interiéru a jednoduchý mnohoúhelník. Schwarz – Christoffel mapování se používají v teorie potenciálu a některé z jeho aplikací, včetně minimální povrchy a dynamika tekutin. Jsou pojmenovány po Elwin Bruno Christoffel a Hermann Amandus Schwarz.

Definice

Uvažujme mnohoúhelník v komplexní rovině. The Riemannova věta o mapování znamená, že existuje biholomorfní mapování F z horní poloroviny

${ displaystyle { zeta v mathbb {C}: operatorname {Im} zeta> 0 }}$

do vnitřku mnohoúhelníku. Funkce F mapuje skutečnou osu k okrajům mnohoúhelníku. Pokud má mnohoúhelník vnitřek úhly ${ displaystyle alpha, beta, gamma, ldots}$, pak je toto mapování dáno

${ displaystyle f ( zeta) = int ^ { zeta} { frac {K} {(wa) ^ {1 - ( alpha / pi)} (wb) ^ {1 - ( beta / pi)} (wc) ^ {1 - ( gamma / pi)} cdots}} , mathrm {d} w}$

kde ${ displaystyle K}$ je konstantní, a ${ displaystyle a$ jsou hodnoty podél skutečné osy ${ displaystyle zeta}$ rovina bodů odpovídající vrcholům mnohoúhelníku v ${ displaystyle z}$ letadlo. Transformace této formy se nazývá a Schwarz – Christoffel mapování.

Integrál lze zjednodušit mapováním bod v nekonečnu z ${ displaystyle zeta}$ letadlo k jednomu z vrcholů ${ displaystyle z}$ rovinný mnohoúhelník. Tímto způsobem se první faktor ve vzorci stává konstantní a může být absorbován do konstanty ${ displaystyle K}$. Obvykle by byl bod v nekonečnu mapován na vrchol s úhlem ${ displaystyle alpha}$.

Příklad

Zvažte polo nekonečný pás v z letadlo. To lze považovat za omezující formu a trojúhelník s vrcholy P = 0, Q = π i, a R (s R skutečný), as R inklinuje k nekonečnu. Nyní α = 0 a β = γ =^π⁄₂ v limitu. Předpokládejme, že hledáme mapování F s F(−1) = Q, F(1) = P, a F(∞) = R. Pak F darováno

${ displaystyle f ( zeta) = int ^ { zeta} { frac {K} {(w-1) ^ {1/2} (w + 1) ^ {1/2}}} , mathrm {d} w. ,}$

Vyhodnocení těchto integrálních výnosů

${ displaystyle z = f ( zeta) = C + K operatorname {arcosh} zeta,}$

kde C je (komplexní) konstanta integrace. To vyžaduje F(−1) = Q a F(1) = P dává C = 0 a K. = 1. Proto je mapování Schwarz – Christoffel dáno vztahem

${ displaystyle z = operatorname {arcosh} zeta.}$

Tato transformace je načrtnuta níže.

Schwarz – Christoffel mapování horní poloroviny na polo nekonečný pás

Další jednoduchá mapování

Trojúhelník

Mapování do letadla trojúhelník s vnitřními úhly ${ displaystyle pi a, , pi b}$ a ${ displaystyle pi (1-a-b)}$ darováno

${ displaystyle z = f ( zeta) = int ^ { zeta} { frac {dw} {(w-1) ^ {1-a} (w + 1) ^ {1-b}}}, }$

což lze vyjádřit pomocí hypergeometrické funkce.

Náměstí

Horní polorovina je mapována na čtverec pomocí

${ displaystyle z = f ( zeta) = int ^ { zeta} { frac { mathrm {d} w} { sqrt {w (1-w ^ {2})}}}} = { sqrt {2}} , F vlevo ({ sqrt { zeta +1}}; { sqrt {2}} / 2 vpravo),}$

kde F je neúplný eliptický integrál prvního druhu.

Obecný trojúhelník

Horní polorovina je mapována na trojúhelník s kruhovými oblouky pro hrany u Schwarzova trojúhelníková mapa.

Viz také

• The Schwarzianův derivát se objevuje v teorii Schwarz – Christoffel mapování.

Reference

• Driscoll, Tobin A .; Trefethen, Lloyd N. (2002), Schwarz – Christoffel mapování, Cambridge monografie o aplikované a výpočetní matematice, 8, Cambridge University Press, doi:10.1017 / CBO9780511546808, ISBN  978-0-521-80726-5, PAN  1908657
• Nehari, Zeev (1982) [1952], Konformní mapování, New York: Dover Publications, ISBN  978-0-486-61137-2, PAN  0045823
• Konformní hyperbolické náměstí a jeho podoba Chamberlain Fong, Sborník z konference Mosty Finsko, 2016

Další čtení

Analog SC mapování, který funguje také pro vícenásobné připojení, je uveden v: Case, James (2008), „Průlom v konformním mapování“ (PDF), Novinky SIAM, 41 (1).

externí odkazy

• „Schwarz – Christoffelova transformace“. PlanetMath.
• Sada nástrojů Schwarz – Christoffel (software pro MATLAB )