Funkce Heun - Heun function
![]() | Tento článek obsahuje a seznam doporučení, související čtení nebo externí odkazy, ale jeho zdroje zůstávají nejasné, protože mu chybí vložené citace.Červen 2017) (Zjistěte, jak a kdy odstranit tuto zprávu šablony) ( |
v matematika, místní funkce Heun H2 (a, q; α, β, γ, δ; z) (Karl L. W. Heun 1889 ) je řešením Heunova diferenciální rovnice to je holomorfní a 1 v singulárním bodě z = 0. Místní funkce Heun se nazývá a Funkce Heun, označeno Hf, pokud je také pravidelná v z = 1, a nazývá se a Heunův polynom, označeno Hp, pokud je pravidelný ve všech třech konečných singulárních bodechz = 0, 1, A.
Heunova rovnice
Heunova rovnice je druhého řádu lineární obyčejná diferenciální rovnice (ODE) formuláře
Kondice je potřeba k zajištění pravidelnosti bodu v ∞.
Složité číslo q se nazývá parametr příslušenství. Heunova rovnice má čtyři pravidelné singulární body: 0, 1, A a ∞ s exponenty (0, 1 - γ), (0, 1 - δ), (0, 1 - ϵ) a (α, β). Každý lineární řád druhého řádu ODE v rozšířené komplexní rovině s nejvýše čtyřmi pravidelnými singulárními body, například Lamé rovnice nebo hypergeometrická diferenciální rovnice, lze do této rovnice transformovat změnou proměnné.
q-analog
The q-analog Heunovy rovnice objevil Hahn (1971 ) a studoval Takemura (2017).
Symetrie
Heunova rovnice má skupinu symetrií řádu 192, izomorfní k Skupina coxeterů z Coxeterův diagram D4, analogicky k 24 symetriím hypergeometrické diferenciální rovnice získané Kummerem. Symetrie fixující místní Heunovu funkci tvoří skupinu řádu 24 isomorfní s symetrická skupina na 4 bodech, takže existuje 192/24 = 8 = 2 × 4 v podstatě odlišná řešení daná působením na místní Heunovu funkci podle těchto symetrií, které dávají řešení pro každý ze 2 exponentů pro každý ze 4 singulárních bodů. Úplný seznam 192 symetrií byl dán Maier (2007) pomocí strojového výpočtu. Několik předchozích pokusů různých autorů o jejich ruční seznam obsahovalo mnoho chyb a opomenutí; například většina z 48 místních řešení uvedených společností Heun obsahuje závažné chyby.
Viz také
- Heine – Stieltjesovy polynomy, zobecnění Heunových polynomů.
Reference
- A. Erdélyi, F. Oberhettinger, W. Magnus a F. Tricomi Vyšší transcendentální funkce obj. 3 (McGraw Hill, NY, 1953).
- Forsyth, Andrew Russell (1959) [1906], Teorie diferenciálních rovnic. 4. Obyčejné lineární rovnice, New York: Dover Publications, str. 158, PAN 0123757
- Heun, Karl (1889), „Zur Theorie der Riemann'schen Functionen zweiter Ordnung mit vier Verzweigungspunkten“, Mathematische Annalen, 33 (2): 161, doi:10.1007 / bf01443849
- Maier, Robert S. (2007), „192 řešení Heunovy rovnice“, Matematika výpočtu, 76 (258): 811–843, arXiv:matematika / 0408317, Bibcode:2007MaCom..76..811M, doi:10.1090 / S0025-5718-06-01939-9, PAN 2291838
- Ronveaux, A., ed. (1995), Heunovy diferenciální rovniceOxford Science Publications, The Clarendon Press Oxford University Press, ISBN 978-0-19-859695-0, PAN 1392976
- Sleeman, B. D .; Kuznetzov, V. B. (2010), "Heunovy funkce", v Olver, Frank W. J.; Lozier, Daniel M .; Boisvert, Ronald F .; Clark, Charles W. (eds.), NIST Handbook of Mathematical Functions, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-19225-5, PAN 2723248
- Valent, Galliano (2007), „Heunovy funkce versus eliptické funkce“, Diferenční rovnice, speciální funkce a ortogonální polynomy, World Sci. Publ., Hackensack, NJ, str. 664–686, arXiv:math-ph / 0512006, doi:10.1142/9789812770752_0057, ISBN 978-981-270-643-0, PAN 2451210
- Hahn W. (1971) O lineárních geometrických rozdílových rovnicích s doplňkovými parametry. Funkční. Ekvac., 14, 73–78
- Takemura, K. (2017), „Degenerace operátoru Ruijsenaars – van Diejen a rovnice q-Painlevé“, Journal of Integrable Systems, 2 (1), arXiv:1608.07265, doi:10.1093 / integr / xyx008.