Frobeniova řešení hypergeometrické rovnice - Frobenius solution to the hypergeometric equation

V následujícím budeme řešit druhý řád diferenciální rovnice volal hypergeometrická diferenciální rovnice pomocí metody Frobenius pojmenované podle Ferdinand Georg Frobenius. Toto je metoda, která používá série řešení pro diferenciální rovnici, kde předpokládáme, že řešení má formu řady. Toto je obvykle metoda, kterou používáme pro složité obyčejné diferenciální rovnice.

Řešení hypergeometrické diferenciální rovnice je velmi důležité. Například Legendrovu diferenciální rovnici lze ukázat jako speciální případ hypergeometrické diferenciální rovnice. Tedy řešením hypergeometrické diferenciální rovnice lze přímo porovnat její řešení a po provedení nezbytných substitucí získat řešení Legendrovy diferenciální rovnice. Další podrobnosti najdete na stránce hypergeometrická diferenciální rovnice.

Prokážeme, že tato rovnice má tři singularity, a to na X = 0, X = 1 a kolem X = nekonečno. Jak se však ukáže pravidelné singulární body, budeme schopni předpokládat řešení v podobě série. Jelikož se jedná o diferenciální rovnici druhého řádu, musíme mít dvě lineárně nezávislé řešení.

Problém však bude v tom, že naše předpokládaná řešení mohou nebo nemusí být nezávislá, nebo hůř, nemusí být ani definována (v závislosti na hodnotě parametrů rovnice). Proto si prostudujeme různé případy parametrů a odpovídajícím způsobem upravíme naše předpokládané řešení.

Rovnice

Vyřešit hypergeometrická rovnice kolem všech singularit:

${displaystyle x (1-x) y '' + left {gamma - (1 + alpha + eta) xight} y'-alpha eta y = 0}$

Řešení kolem X = 0

Nechat

${displaystyle {egin {aligned} P_ {0} (x) & = - alpha eta, P_ {1} (x) & = gamma - (1 + alpha + eta) x, P_ {2} (x) & = x (1-x) konec {zarovnáno}}}$

Pak

${displaystyle P_ {2} (0) = P_ {2} (1) = 0.}$

Proto, X = 0 a X = 1 jsou singulární body. Začněme s X = 0. Abychom zjistili, zda je pravidelná, studujeme následující limity:

${displaystyle {egin {aligned} lim _ {x oa} {frac {(xa) P_ {1} (x)} {P_ {2} (x)}} & = lim _ {x o 0} {frac {( x-0) (gama - (1 + alfa + eta) x)} {x (1-x)}} = lim _ {x o 0} {frac {x (gama - (1 + alfa + eta) x) } {x (1-x)}} = gamma lim _ {x oa} {frac {(xa) ^ {2} P_ {0} (x)} {P_ {2} (x)}} & = lim _ {x o 0} {frac {(x-0) ^ {2} (- alfa eta)} {x (1-x)}} = lim _ {x o 0} {frac {x ^ {2} ( -alpha eta)} {x (1-x)}} = 0end {zarovnáno}}}$

Proto existují obě omezení a X = 0 je a regulární singulární bod. Proto předpokládáme, že řešení má formu

${displaystyle y = sum _ {r = 0} ^ {infty} a_ {r} x ^ {r + c}}$

s A₀ ≠ 0. Proto

${displaystyle {egin {aligned} y '& = součet _ {r = 0} ^ {infty} a_ {r} (r + c) x ^ {r + c-1} y' & = součet _ {r = 0} ^ {infty} a_ {r} (r + c) (r + c-1) x ^ {r + c-2} .end {zarovnáno}}}$

Když je dosadíme do hypergeometrické rovnice, dostaneme

${displaystyle xsum _ {r = 0} ^ {infty} a_ {r} (r + c) (r + c-1) x ^ {r + c-2} -x ^ {2} součet _ {r = 0 } ^ {infty} a_ {r} (r + c) (r + c-1) x ^ {r + c-2} + součet gama _ {r = 0} ^ {infty} a_ {r} (r + c) x ^ {r + c-1} - (1 + alfa + eta) xsum _ {r = 0} ^ {infty} a_ {r} (r + c) x ^ {r + c-1} -alfa eta součet _ {r = 0} ^ {infty} a_ {r} x ^ {r + c} = 0}$

To znamená

${displaystyle sum _ {r = 0} ^ {infty} a_ {r} (r + c) (r + c-1) x ^ {r + c-1} -sum _ {r = 0} ^ {infty} a_ {r} (r + c) (r + c-1) x ^ {r + c} + součet gama _ {r = 0} ^ {infty} a_ {r} (r + c) x ^ {r + c-1} - (1 + alfa + eta) součet _ {r = 0} ^ {infty} a_ {r} (r + c) x ^ {r + c} -alpha eta součet _ {r = 0} ^ {infty} a_ {r} x ^ {r + c} = 0}$

Abychom tuto rovnici zjednodušili, potřebujeme, aby všechny síly byly stejné, stejné r + C - 1, nejmenší výkon. Proto přepínáme indexy následujícím způsobem:

${displaystyle {egin {aligned} & sum _ {r = 0} ^ {infty} a_ {r} (r + c) (r + c-1) x ^ {r + c-1} -sum _ {r = 1 } ^ {infty} a_ {r-1} (r + c-1) (r + c-2) x ^ {r + c-1} + součet gama _ {r = 0} ^ {infty} a_ {r } (r + c) x ^ {r + c-1} & qquad - (1 + alfa + eta) součet _ {r = 1} ^ {infty} a_ {r-1} (r + c-1) x ^ {r + c-1} -alpha eta součet _ {r = 1} ^ {infty} a_ {r-1} x ^ {r + c-1} = 0end {zarovnáno}}}$

Izolací prvního členu součtů počínaje od 0 tedy dostaneme

${displaystyle {egin {aligned} & a_ {0} (c (c-1) + gamma c) x ^ {c-1} + sum _ {r = 1} ^ {infty} a_ {r} (r + c) (r + c-1) x ^ {r + c-1} -sum _ {r = 1} ^ {infty} a_ {r-1} (r + c-1) (r + c-2) x ^ {r + c-1} & qquad + gama součet _ {r = 1} ^ {infty} a_ {r} (r + c) x ^ {r + c-1} - (1 + alfa + eta) součet _ {r = 1} ^ {infty} a_ {r-1} (r + c-1) x ^ {r + c-1} -alpha eta součet _ {r = 1} ^ {infty} a_ {r-1 } x ^ {r + c-1} = 0end {zarovnáno}}}$

Nyní z lineární nezávislosti všech pravomocí X, tj. z funkcí 1, X, X²atd., koeficienty X^k zmizet pro všechny k. Od prvního funkčního období tedy máme

${displaystyle a_ {0} (c (c-1) + gama c) = 0}$

který je indiciální rovnice. Od té doby A₀ ≠ 0, máme

${displaystyle c (c-1 + gama) = 0.}$

Proto,

${displaystyle c_ {1} = 0, c_ {2} = 1 gama}$

Ze zbývajících podmínek také máme

${displaystyle ((r + c) (r + c-1) + gama (r + c)) a_ {r} + (- (r + c-1) (r + c-2) - (1 + alfa + eta) (r + c-1) -alfa eta) a_ {r-1} = 0}$

Proto,

${displaystyle {egin {aligned} a_ {r} & = {frac {(r + c-1) (r + c-2) + (1 + alfa + eta) (r + c-1) + alfa eta} { (r + c) (r + c-1) + gama (r + c)}} a_ {r-1} & = {frac {(r + c-1) (r + c + alfa + eta -1 ) + alfa eta} {(r + c) (r + c + gama -1)}} a_ {r-1} konec {zarovnáno}}}$

Ale

${displaystyle {egin {zarovnáno} (r + c-1) (r + c + alfa + eta -1) + alfa eta & = (r + c-1) (r + c + alfa -1) + (r + c-1) eta + alfa eta & = (r + c-1) (r + c + alfa -1) + eta (r + c + alfa -1) konec {zarovnáno}}}$

Proto dostaneme relace opakování

${displaystyle a_ {r} = {frac {(r + c + alfa -1) (r + c + eta -1)} {(r + c) (r + c + gama -1)}} a_ {r-1 }, {ext {for}} rgeq 1.}$

Pojďme nyní zjednodušit tento vztah tím, že dáme A_r ve smyslu A₀ namísto A_r−1. Z relace opakování (poznámka: níže, výrazy formuláře (u)_r odkazovat na Pochhammer symbol ).

${displaystyle {egin {aligned} a_ {1} & = {frac {(c + alpha) (c + eta)} {(c + 1) (c + gamma)}} a_ {0} a_ {2} & = {frac {(c + alfa +1) (c + eta +1)} {(c + 2) (c + gama +1)}} a_ {1} = {frac {(c + alfa +1) (c + alfa) (c + eta) (c + eta +1)} {(c + 2) (c + 1) (c + gama) (c + gama +1)}} a_ {0} = {frac {(c + alfa ) _ {2} (c + eta) _ {2}} {(c + 1) _ {2} (c + gamma) _ {2}}} a_ {0} a_ {3} & = {frac {( c + alfa +2) (c + eta +2)} {(c + 3) (c + gamma +2)}} a_ {2} = {frac {(c + alfa) _ {2} (c + alfa + 2) (c + eta) _ {2} (c + eta +2)} {(c + 1) _ {2} (c + 3) (c + gamma) _ {2} (c + gamma +2)}} a_ {0} = {frac {(c + alfa) _ {3} (c + eta) _ {3}} {(c + 1) _ {3} (c + gamma) _ {3}}} a_ {0 } konec {zarovnáno}}}$

Jak můžeme vidět,

${displaystyle a_ {r} = {frac {(c + alfa) _ {r} (c + eta) _ {r}} {(c + 1) _ {r} (c + gama) _ {r}}} a_ {0}, {ext {for}} rgeq 0}$

Naše předpokládané řešení má tedy podobu

${displaystyle y = a_ {0} součet _ {r = 0} ^ {infty} {frac {(c + alfa) _ {r} (c + eta) _ {r}} {(c + 1) _ {r} (c + gamma) _ {r}}} x ^ {r + c}.}$

Nyní jsme připraveni prostudovat řešení odpovídající různým případům C₁ − C₂ = γ - 1 (to se redukuje na studium povahy parametru γ: ať už je to celé číslo nebo ne).

Analýza řešení z hlediska rozdílu γ - 1 dvou kořenů

γ není celé číslo

Pak y₁ = y|_{C = 0} a y₂ = y|_{C = 1 - γ}. Od té doby

${displaystyle y = a_ {0} součet _ {r = 0} ^ {infty} {frac {(c + alfa) _ {r} (c + eta) _ {r}} {(c + 1) _ {r} (c + gamma) _ {r}}} x ^ {r + c},}$

my máme

${displaystyle {egin {aligned} y_ {1} & = a_ {0} součet _ {r = 0} ^ {infty} {frac {(alfa) _ {r} (eta) _ {r}} {(1) _ {r} (gama) _ {r}}} x ^ {r} = a_ {0} cdot {{} _ {2} F_ {1}} (alfa, eta; gama; x) y_ {2} & = a_ {0} součet _ {r = 0} ^ {infty} {frac {(alfa + 1-gamma) _ {r} (eta + 1-gamma) _ {r}} {(1-gamma +1 ) _ {r} (1-gamma + gamma) _ {r}}} x ^ {r + 1-gamma} & = a_ {0} x ^ {1-gamma} součet _ {r = 0} ^ { infty} {frac {(alpha + 1-gamma) _ {r} (eta + 1-gamma) _ {r}} {(1) _ {r} (2-gamma) _ {r}}} x ^ { r} & = a_ {0} x ^ {1-gamma} {{} _ {2} F_ {1}} (alfa -gamma +1, eta -gamma +1; 2-gamma; x) konec {zarovnáno }}}$

Proto, ${displaystyle y = A'y_ {1} + B'y_ {2}.}$ Nechat A′ A₀ = A a B′ A₀ = B. Pak

${displaystyle y = A {{} _ {2} F_ {1}} (alfa, eta; gamma; x) + Bx ^ {1-gamma} {{} _ {2} F_ {1}} (alfa-gama) +1, eta -gamma +1; 2-gama; x),}$

γ = 1

Pak y₁ = y|_{C = 0}. Protože γ = 1, máme

${displaystyle y = a_ {0} součet _ {r = 0} ^ {infty} {frac {(c + alfa) _ {r} (c + eta) _ {r}} {(c + 1) _ {r} ^ {2}}} x ^ {r + c}.}$

Proto,

${displaystyle {egin {aligned} y_ {1} & = a_ {0} součet _ {r = 0} ^ {infty} {frac {(alfa) _ {r} (eta) _ {r}} {(1) _ {r} (1) _ {r}}} x ^ {r} = a_ {0} {{} _ {2} F_ {1}} (alfa, eta; 1; x) y_ {2} & = vlevo. {frac {částečné y} {částečné c}} vpravo | _ {c = 0}. konec {zarovnáno}}}$

Pro výpočet této derivace nechte

${displaystyle M_ {r} = {frac {(c + alfa) _ {r} (c + eta) _ {r}} {(c + 1) _ {r} ^ {2}}}.}$

Pak

${displaystyle ln (M_ {r}) = ln vlevo ({frac {(c + alfa) _ {r} (c + eta) _ {r}} {(c + 1) _ {r} ^ {2}}} ight) = ln (c + alfa) _ {r} + ln (c + eta) _ {r} -2 ln (c + 1) _ {r}}$

Ale

${displaystyle ln (c + alpha) _ {r} = ln left ((c + alpha) (c + alpha +1) cdots (c + alpha + r-1) ight) = sum _ {k = 0} ^ { r-1} ln (c + alfa + k).}$

Proto,

${displaystyle {egin {zarovnáno} ln (M_ {r}) & = součet _ {k = 0} ^ {r-1} ln (c + alfa + k) + součet _ {k = 0} ^ {r-1 } ln (c + eta + k) -2sum _ {k = 0} ^ {r-1} ln (c + 1 + k) & = součet _ {k = 0} ^ {r-1} vlevo (ln ( c + alfa + k) + ln (c + eta + k) -2ln (c + 1 + k) ight) konec {zarovnáno}}}$

Diferenciace obou stran rovnice s ohledem na C, dostaneme:

${displaystyle {frac {1} {M_ {r}}} {frac {částečný M_ {r}} {částečný c}} = součet _ {k = 0} ^ {r-1} vlevo ({frac {1} { c + alpha + k}} + {frac {1} {c + eta + k}} - {frac {2} {c + 1 + k}} ight).}$

Proto,

${displaystyle {frac {částečné M_ {r}} {částečné c}} = {frac {(c + alfa) _ {r} (c + eta) _ {r}} {(c + 1) _ {r} ^ { 2}}} součet _ {k = 0} ^ {r-1} vlevo ({frac {1} {c + alfa + k}} + {frac {1} {c + eta + k}} - {frac {2 } {c + 1 + k}} hned).}$

Nyní,

${displaystyle y = a_ {0} x ^ {c} součet _ {r = 0} ^ {infty} {frac {(c + alfa) _ {r} (c + eta) _ {r}} {(c + 1 ) _ {r} ^ {2}}} x ^ {r} = a_ {0} x ^ {c} součet _ {r = 0} ^ {infty} M_ {r} x ^ {r}.}$

Proto,

${displaystyle {egin {aligned} {frac {částečné y} {částečné c}} & = a_ {0} x ^ {c} ln (x) součet _ {r = 0} ^ {infty} {frac {(c + alpha) _ {r} (c + eta) _ {r}} {(c + 1) _ {r} ^ {2}}} x ^ {r} + a_ {0} x ^ {c} součet _ {r = 0} ^ {infty} left ({frac {(c + alpha) _ {r} (c + eta) _ {r}} {(c + 1) _ {r} ^ {2}}} left {sum _ {k = 0} ^ {r-1} vlevo ({frac {1} {c + alpha + k}} + {frac {1} {c + eta + k}} - {frac {2} {c + 1 + k}} ight) ight} ight) x ^ {r} & = a_ {0} x ^ {c} součet _ {r = 0} ^ {infty} {frac {(c + alfa) _ {r} ( c + eta) _ {r}} {(c + 1) _ {r}) ^ {2}}} vlevo (ln x + součet _ {k = 0} ^ {r-1} vlevo ({frac {1} {c + alpha + k}} + {frac {1} {c + eta + k}} - {frac {2} {c + 1 + k}} ight) ight) x ^ {r} .end {zarovnáno}} }$

Pro C = 0, dostaneme

${displaystyle y_ {2} = a_ {0} součet _ {r = 0} ^ {infty} {frac {(alfa) _ {r} (eta) _ {r}} {(1) _ {r} ^ { 2}}} vlevo (ln x + součet _ {k = 0} ^ {r-1} vlevo ({frac {1} {alpha + k}} + {frac {1} {eta + k}} - {frac {2} {1 + k}} ight) ight) x ^ {r}.}$

Proto, y = C′y₁ + D′y₂. Nechat C′A₀ = C a D′A₀ = D. Pak

${displaystyle y = C {{} _ {2} F_ {1}} (alfa, eta; 1; x) + Dsum _ {r = 0} ^ {infty} {frac {(alfa) _ {r} (eta ) _ {r}} {(1) _ {r} ^ {2}}} vlevo (ln (x) + součet _ {k = 0} ^ {r-1} vlevo ({frac {1} {alfa + k}} + {frac {1} {eta + k}} - {frac {2} {1 + k}} ight) ight) x ^ {r}}$

γ celé číslo a γ ≠ 1

γ ≤ 0

Hodnota ${displaystyle gamma}$ je ${displaystyle gamma = 0, -1, -2, cdots}$. Nejprve zjednodušíme věci soustředěním určité hodnoty ${displaystyle gamma}$ a zobecnit výsledek v pozdější fázi. Použijeme hodnotu ${displaystyle gamma = -2}$. Indiciální rovnice má kořen v ${displaystyle c = 0}$a vidíme z relace opakování

${displaystyle a_ {r} = {frac {(r + c + alfa -1) (r + c + eta -1)} {(r + c) (r + c-3)}} a_ {r-1}, }$

to když ${displaystyle r = 3}$ že tento jmenovatel má faktor ${displaystyle c}$který zmizí, když ${displaystyle c = 0}$. V tomto případě lze řešení získat přepočítáním ${displaystyle a_ {0} = b_ {0} c}$ kde ${displaystyle b_ {0}}$ je konstanta.

S touto substitucí budou koeficienty ${displaystyle x ^ {r}}$ zmizet, když${displaystyle c = 0}$ a ${displaystyle r <3}$. Faktor ${displaystyle c}$ve jmenovateli relace opakování se zruší s čitatelem, když ${displaystyle rgeq 3}$. Naše řešení má tedy podobu

${displaystyle y_ {1} = {frac {b_ {0}} {(- 2) imes (-1)}} vlevo ({frac {(alpha) _ {3} (eta) _ {3}} {(3 ! 0!}} X ^ {3} + {frac {(alfa) _ {4} (eta) _ {4}} {4! 1!}} X ^ {4} + {frac {(alfa) _ { 5} (eta) _ {5}} {5! 2!}} X ^ {5} + cdots ight)}$

${displaystyle = {frac {b_ {0}} {(- 2) _ {2}}} součet _ {r = 3} ^ {infty} {frac {(alfa) _ {r} (eta) _ {r} } {r! (r-3)!}} x ^ {r} = {frac {b_ {0}} {(- 2) _ {2}}} {frac {(alfa) _ {3} (eta) _ {3}} {3!}} Součet _ {r = 3} ^ {infty} {frac {(alfa +3) _ {r-3} (eta +3) _ {r-3}} {(1 +3) _ {r-3} (r-3)!}} X ^ {r}.}$

Pokud začneme součet v ${displaystyle r = 0}$ spíše než ${displaystyle r = 3}$vidíme to

${displaystyle y_ {1} = b_ {0} {frac {(alfa) _ {3} (eta) _ {3}} {(- 2) _ {2} jsou 3!}} x ^ {3} {_ {2} F_ {1}} (alfa + 3, eta +3; (1 + 3); x).}$

Výsledek (jak jsme jej napsali) se snadno zobecňuje. Pro ${displaystyle gamma = 1 + m}$, s ${displaystyle m = 1,2,3, cdots}$ pak

${displaystyle y_ {1} = b_ {0} {frac {(alfa) _ {m} (eta) _ {m}} {(1-m) _ {m-1} je m!}} x ^ {m } {_ {2} F_ {1}} (alfa + m, eta + m; (1 + m); x).}$

Je zřejmé, že pokud ${displaystyle gamma = -2}$, pak ${displaystyle m = 3}$. Výraz pro ${displaystyle y_ {1} (x)}$ právě jsme dali vzhled trochu inteligentní, protože máme multiplikativní konstantu kromě obvyklé libovolné multiplikativní konstanty ${displaystyle b_ {0}}$Později uvidíme, že můžeme věci přepracovat tak, aby se tato extra konstanta nikdy neobjevila

Druhým kořenem indicialní rovnice je ${displaystyle c = 1-gamma = 3}$, ale to nám dává (kromě multiplikativní konstanty) stejné výsledky jako při použití ${displaystyle c = 0}$. To znamená, že musíme vzít parciální derivaci (w.r.t. ${displaystyle c}$) obvyklého zkušebního řešení, abychom našli druhé nezávislé řešení. Pokud definujeme lineární operátor ${displaystyle L}$ tak jako

${displaystyle L = x (1-x) {frac {d ^ {2}} {dx ^ {2}}} - (alfa + eta +1) x {frac {d} {dx}} + gamma {frac { d} {dx}} - alfa eta,}$

od té doby ${displaystyle gamma = -2}$ v našem případě,

${displaystyle Lcsum _ {r = 0} ^ {infty} b_ {r} (c) x ^ {r} = b_ {0} c ^ {2} (c-3).}$

(Trváme na tom ${displaystyle b_ {0} eq 0}$.) Užívání parciální derivace w.r.t. ${displaystyle c}$,

${displaystyle L {frac {částečné} {částečné c}} csum _ {r = 0} ^ {infty} b_ {r} (c) x ^ {r + c} = b_ {0} (3c ^ {2} - 6c).}$

Všimněte si, že musíme vyhodnotit parciální derivaci na ${displaystyle c = 0}$(a ne u druhého kořene ${displaystyle c = 3}$). Jinak je pravá strana nahoře nenulová a nemáme řešení ${displaystyle Ly (x) = 0}$Faktor ${displaystyle c}$není zrušen pro ${displaystyle r = 0,1}$ a ${displaystyle r = 2}$.Tato část druhého nezávislého řešení je

${displaystyle {igg [} {frac {částečné} {částečné c}} b_ {0} {igg (} c + c {frac {(c + alfa) (c + eta)} {(c + 1) (c-2 )}} x + c {frac {(c + alfa) (c + alfa +1) (c + eta) (c + eta +1)} {(c + 1) (c + 2) (c-2) (c -1)}} x ^ {2} {igg)} {igg]} {igg vert} _ {c = 0}.}$${displaystyle = b_ {0} left (1+ {frac {alpha eta} {1! imes (-2)}} x + {frac {alpha (alpha +1) eta (eta +1)} {2! imes (- 2) imes (-1)}} x ^ {2} ight) = b_ {0} součet _ {r = 0} ^ {3-1} {frac {(alfa) _ {r} (eta) _ {r }} {r! (1-3) _ {r}}} x ^ {r}.}$

Nyní můžeme obrátit naši pozornost k podmínkám, kde je faktor ${displaystyle c}$ zruší

${displaystyle cb_ {3} = {frac {b_ {0}} {(c-1) (c-2)}} {zrušit {c}} {frac {(c + alfa) (c + alfa +1) ( c + alfa +2) (c + eta) (c + eta +1) (c + eta +2)} {{zrušit {c}} (c + 1) (c + 2) (c + 3)}}.}$

Poté nám dají vztahy opakování

${displaystyle cb_ {4} = cb_ {3} (c) {frac {(c + alfa +3) (c + eta +3)} {(c + 1) (c + 4))}}}}$

${displaystyle cb_ {5} = cb_ {3} (c) {frac {(c + alfa +3) (c + alfa +4) (c + eta +3) (c + eta +4))} {(c + 2 ) (c + 1) (c + 5) (c + 4)}}.}$

Takže když ${displaystyle rgeq 3}$ my máme

${displaystyle cb_ {r} = {frac {b_ {0}} {(c-1) (c-2)}} {frac {(c + alfa) _ {r} (c + eta) _ {r}} { (c + 1) _ {r-3} (c + 1) _ {r}}}.}$

Potřebujeme částečné derivace

${displaystyle {frac {částečné cb_ {3} (c)} {částečné c}} {igg vert} _ {c = 0} = {frac {b_ {0}} {(1-3) _ {3-1} }} {frac {(alfa) _ {3} (eta) _ {3}} {0! 3!}} {igg [} {frac {1} {1}} + {frac {1} {2}} + {frac {1} {alpha}} + {frac {1} {alpha +1}} + {frac {1} {alpha +2}}}$${displaystyle + {frac {1} {eta}} + {frac {1} {eta +1}} + {frac {1} {eta +2}} - {frac {1} {1}} - {frac { 1} {2}} - {frac {1} {3}} {igg]}.}$

Podobně můžeme psát

${displaystyle {frac {částečné cb_ {4} (c)} {částečné c}} {igg vert} _ {c = 0} = {frac {b_ {0}} {(1-3) _ {3-1} }} {frac {(alfa) _ {4} (eta) _ {4}} {1! 4!}} {igg [} {frac {1} {1}} + {frac {1} {2}} }$${displaystyle + sum _ {k = 0} ^ {k = 3} {frac {1} {alpha + k}} + sum _ {k = 0} ^ {k = 3} {frac {1} {eta + k }} - {frac {1} {1}} - {frac {1} {2}} - {frac {1} {3}} - {frac {1} {4}} - {frac {1} {1 }} {igg]},}$

a

${displaystyle {frac {částečné cb_ {5} (c)} {částečné c}} {igg vert} _ {c = 0} = {frac {b_ {0}} {(1-3) _ {3-1} }} {frac {(alfa) _ {5} (eta) _ {5}} {2! 5!}} {igg [} {frac {1} {1}} + {frac {1} {2}} }$${displaystyle + sum _ {k = 0} ^ {k = 4} {frac {1} {alpha + k}} + sum _ {k = 0} ^ {k = 4} {frac {1} {eta + k }} - {frac {1} {1}} - {frac {1} {2}} - {frac {1} {3}} - {frac {1} {4}} - {frac {1} {5 }} - {frac {1} {1}} - {frac {1} {2}} {igg]}.}$

Je zřejmé, že pro ${displaystyle rgeq 3}$

${displaystyle {frac {částečné cb_ {r} (c)} {částečné c}} {igg vert} _ {c = 0} = {frac {b_ {0}} {(1-3) _ {3-1} }} {frac {(alfa) _ {r} (eta) _ {r}} {(r-3)! r!}} {igg [} H_ {2} + součet _ {k = 0} ^ {k = r-1} {frac {1} {alpha + k}} + součet _ {k = 0} ^ {k = r-1} {frac {1} {eta + k}} - H_ {r} -H_ {r-3} {igg]}.}$

Tady, ${displaystyle H_ {k}}$ je ${displaystyle k}$dílčí součet harmonická řada a podle definice ${displaystyle H_ {0} = 0}$ a ${displaystyle H_ {1} = 1}$.

Dáme-li to dohromady, pro případ ${displaystyle gamma = -2}$máme druhé řešení

${displaystyle y_ {2} (x) = log x imes {frac {b_ {0}} {(- 2) _ {2}}} součet _ {r = 3} ^ {infty} {frac {(alfa) _ {r} (eta) _ {r}} {r! (r-3)!}} x ^ {r} + b_ {0} součet _ {r = 0} ^ {3-1} {frac {(alfa ) _ {r} (eta) _ {r}} {r! (1-3) _ {r}}} x ^ {r}}$

${displaystyle + {frac {b_ {0}} {(- 2) _ {2}}} součet _ {r = 3} ^ {infty} {frac {(alfa) _ {r} (eta) _ {r} } {(r-3)! r!}} {igg [} H_ {2} + součet _ {k = 0} ^ {k = r-1} {frac {1} {alpha + k}} + součet _ {k = 0} ^ {k = r-1} {frac {1} {eta + k}} - H_ {r} -H_ {r-3} {{igg]} x ^ {r}}.}$

Dvě nezávislá řešení pro ${displaystyle gamma = 1-m}$ (kde ${displaystyle m}$ je kladné celé číslo) jsou pak

${displaystyle y_ {1} (x) = {frac {1} {(1-m) _ {m-1}}} součet _ {r = m} ^ {infty} {frac {(alfa) _ {r} (eta) _ {r}} {r! (rm)!}} x ^ {r}}$

a

${displaystyle y_ {2} (x) = log x imes y_ {1} (x) + součet _ {r = 0} ^ {m-1} {frac {(alpha) _ {r} (eta) _ {r }} {r! (1-m) _ {r}}} x ^ {r}}$

${displaystyle + {frac {1} {(1-m) _ {m-1}}} součet _ {r = m} ^ {infty} {frac {(alfa) _ {r} (eta) _ {r} } {(rm)! r!}} {igg [} H_ {m-1} + součet _ {k = 0} ^ {k = r-1} {frac {1} {alfa + k}} + součet _ {k = 0} ^ {k = r-1} {frac {1} {eta + k}} - H_ {r} -H_ {rm} {igg]} x ^ {r}.}$

Obecné řešení je jako obvykle ${displaystyle y (x) = Ay_ {1} (x) + By_ {2} (x)}$kde ${displaystyle A}$ a ${displaystyle B}$ jsou libovolné konstanty. Nyní, pokud čtenář konzultuje pro tento případ `` standardní řešení``, které uvedli Abramowitz a Stegun ^[1] v §15.5.21 (který si zapíšeme na konci další části) bude zjištěno, že${displaystyle y_ {2}}$ řešení, které jsme našli, vypadá poněkud odlišně od standardního řešení. V našem řešení pro ${displaystyle y_ {2}}$, první termín v nekonečné sérii ${displaystyle y_ {2}}$je termín v ${displaystyle x ^ {m}}$. První termín v odpovídajících nekonečných sériích ve standardním řešení je termín v ${displaystyle x ^ {m + 1}}$.v ${displaystyle x ^ {m}}$ ve standardním řešení chybí pojem. Obě řešení jsou však zcela rovnocenná.

Standardní "forma řešení γ ≤ 0

Důvod zjevného rozporu mezi výše uvedeným řešením a standardním řešením v Abramowitzu a Stegunu ^[1]§15.5.21 je, že existuje nekonečné množství způsobů, jak reprezentovat dvě nezávislá řešení hypergeometrické ODE. V poslední části jsme například nahradili ${displaystyle a_ {0}}$s ${displaystyle b_ {0} c}$. Předpokládejme však, že máme nějakou funkci${displaystyle h (c)}$ který je spojitý a konečný všude v libovolně malém intervalu kolem ${displaystyle c = 0}$. Předpokládejme, že jsme také dostali

${displaystyle h (c) vert _ {c = 0} eq 0,}$ a ${displaystyle {frac {dh} {dc}} {igg vert} _ {c = 0} ekvivalent 0.}$

Pak, pokud místo výměny ${displaystyle a_ {0}}$s ${displaystyle b_ {0} c}$ nahradíme ${displaystyle a_ {0}}$s ${displaystyle b_ {0} h (c) c}$, stále zjistíme, že máme platné řešení hypergeometrické rovnice. Je zřejmé, že máme nekonečné možnosti ${displaystyle h (c)}$. Existuje však `` přirozená volba`` ${displaystyle h (c)}$Předpokládejme, že ${displaystyle cb_ {N} (c) = b_ {0} f (c)}$ je první nenulový konec první ${displaystyle y_ {1} (x)}$ řešení s ${displaystyle c = 0}$. Pokud uděláme ${displaystyle h (c)}$ protiplnění ${displaystyle f (c)}$pak nebudeme mít multiplikativní konstantu ${displaystyle y_ {1} (x)}$ stejně jako v předchozí části. Z jiného úhlu pohledu získáme stejný výsledek, pokud na tom `` trváme`` ${displaystyle a_ {N}}$ je nezávislý na${displaystyle c}$, a najít ${displaystyle a_ {0} (c)}$ pomocí relací opakování zpět.

Pro prvního ${displaystyle (c = 0)}$ řešení, funkce ${displaystyle h (c)}$ dává nám (kromě multiplikativní konstanty) totéž ${displaystyle y_ {1} (x)}$jak bychom získali pomocí ${displaystyle h (c) = 1}$.Předpokládejme, že pomocí ${displaystyle h (c) = 1}$ dává vzniknout dvěma nezávislým řešením${displaystyle y_ {1} (x)}$ a ${displaystyle y_ {2} (x)}$. V následujícím textu si ukážeme řešení, ke kterým jsme přišli ${displaystyle h (c) ekv. 1}$ tak jako${displaystyle {ilde {y}} _ {1} (x)}$ a ${displaystyle {ilde {y}} _ {2} (x)}$.

Druhé řešení vyžaduje, abychom vzali parciální derivaci w.r.t. ${displaystyle c}$a nahrazení obvyklého zkušebního řešení nám dává

${displaystyle L {frac {částečné} {částečné c}} součet _ {r = 0} ^ {infty} ch (c) b_ {r} x ^ {r + c} = b_ {0} vlevo ({frac {dh } {dc}} c ^ {2} (c-1) + 2ch (c) (c-1) + h (c) c ^ {2} ight).}$

Operátor ${displaystyle L}$ je stejný lineární operátor popsaný v předchozí části. To znamená, že hypergeometrický ODE je reprezentován jako ${displaystyle Ly (x) = 0}$.

Hodnocení levé strany na ${displaystyle c = 0}$ dá nám druhé nezávislé řešení. Toto druhé řešení ${displaystyle {{ilde {y}} _ {2}}}$ je ve skutečnosti lineární kombinací ${displaystyle y_ {1} (x)}$ a ${displaystyle y_ {2} (x)}$.

Libovolné dvě nezávislé lineární kombinace (${displaystyle {ilde {y}} _ {1}}$ a ${displaystyle {ilde {y}} _ {2}}$) z ${displaystyle y_ {1}}$ a ${displaystyle y_ {2}}$ jsou nezávislá řešení ${displaystyle Ly = 0}$.

Obecné řešení lze psát jako lineární kombinaci ${displaystyle {ilde {y}} _ {1}}$ a ${displaystyle {ilde {y}} _ {2}}$ stejně jako lineární kombinace ${displaystyle y_ {1}}$ a ${displaystyle y_ {2}}$.

Zvláštní případ přezkoumáme ${displaystyle gamma = 1-3 = -2}$ o kterém se uvažovalo v poslední části. Pokud budeme `` trvat '' ${displaystyle a_ {3} (c) = konst.}$, pak se získá relace opakování

${displaystyle a_ {2} = a_ {3} {frac {c (3 + c)} {(2 + alfa + c) (2+ eta + c)}},}$${displaystyle a_ {1} = a_ {3} {frac {c (2 + c) (3 + c) (c-1)} {(1 + alfa + c) (2 + alfa + c) (1+ eta + c) (2+ eta + c)}},}$

a

${displaystyle a_ {0} = a_ {3} {frac {c (1 + c) (2 + c) (3 + c) (c-1) (c-2)} {(alfa + c) _ {3 } (eta + c) _ {3}}} = b_ {0} ch (c).}$

Všechny tyto tři koeficienty jsou nulové ${displaystyle c = 0}$ máme tři termíny ${displaystyle y_ {2} (x)}$ připravením parciální derivace w.r.t. ${displaystyle c}$, označíme součet tří podmínek zahrnujících tyto koeficienty jako ${displaystyle S_ {3}}$ kde

${displaystyle S_ {3} = vlevo [{frac {částečné} {částečné c}} vlevo (a_ {0} (c) x ^ {c} + a_ {1} (c) x ^ {c + 1} + a_ {2} (c) x ^ {c + 2} ight) ight] _ {c = 0},}$${displaystyle = a_ {3} left [{frac {3 imes 2 imes 1 (-2) imes (-1)} {(alpha) _ {3} (eta) _ {3}}} x ^ {3-3 } + {frac {3 imes 2 imes (-1)} {(alpha +1) (alpha +2) (eta +1) (eta +2)}} x ^ {3-2} + {frac {3} {(alpha +2) (eta +2) _ {1}}} x ^ {3-1} ight].}$