Meixner – Pollaczekovy polynomy - Meixner–Pollaczek polynomials

tento článek potřebuje další citace pro ověření. Prosím pomozte vylepšit tento článek podle přidávání citací ke spolehlivým zdrojům. Zdroj bez zdroje může být napaden a odstraněn. Najít zdroje: „Meixner – Pollaczekovy polynomy“  – zprávy  · noviny  · knihy  · učenec  · JSTOR (Březen 2016) (Zjistěte, jak a kdy odstranit tuto zprávu šablony)

V matematice je Meixner – Pollaczekovy polynomy jsou rodina ortogonální polynomy P^(λ)
_n(X, φ) představil Meixner  (1934 ), které až do elementárních změn proměnných jsou stejné jako Pollaczekovy polynomy P^λ
_n(X,A,b) nově objevený uživatelem Pollaczek  (1949 ) v případě λ = 1/2, a později jím zobecněný.

Jsou definovány

${ displaystyle P_ {n} ^ {( lambda)} (x; phi) = { frac {(2 lambda) _ {n}} {n!}} e ^ {in phi} {} _ {2} F_ {1} left ({ begin {array} {c} -n, ~ lambda + ix 2 lambda end {array}}; 1-e ^ {- 2i phi} že jo)}$

${ displaystyle P_ {n} ^ { lambda} ( cos phi; a, b) = { frac {(2 lambda) _ {n}} {n!}} e ^ {in phi} { } _ {2} F_ {1} left ({ begin {array} {c} -n, ~ lambda + i (a cos phi + b) / sin phi 2 lambda end {pole}}; 1-e ^ {- 2i phi} vpravo)}$

Příklady

Prvních několik Meixner – Pollaczkových polynomů je

${ displaystyle P_ {0} ^ {( lambda)} (x; phi) = 1}$

${ displaystyle P_ {1} ^ {( lambda)} (x; phi) = 2 ( lambda cos phi + x sin phi)}$

${ displaystyle P_ {2} ^ {( lambda)} (x; phi) = x ^ {2} + lambda ^ {2} + ( lambda ^ {2} + lambda -x ^ {2} ) cos (2 phi) + (1 + 2 lambda) x sin (2 phi).}$

Vlastnosti

Ortogonalita

Polynomy Meixner – Pollaczek P_m^(λ)(X; φ) jsou na reálné ose kolmé vzhledem k váhové funkci

${ displaystyle w (x; lambda, phi) = | Gamma ( lambda + ix) | ^ {2} e ^ {(2 phi - pi) x}}$

a vztah ortogonality je dán vztahem^[1]

${ displaystyle int _ {- infty} ^ { infty} P_ {n} ^ {( lambda)} (x; phi) P_ {m} ^ {( lambda)} (x; phi) w (x; lambda, phi) dx = { frac {2 pi Gamma (n + 2 lambda)} {(2 sin phi) ^ {2 lambda} n!}} delta _ {mn}, quad lambda> 0, quad 0 < phi < pi.}$

Vztah opakování

Sekvence polynomů Meixner – Pollaczek splňuje relaci rekurence^[2]

${ displaystyle (n + 1) P_ {n + 1} ^ {( lambda)} (x; phi) = 2 { bigl (} x sin phi + (n + lambda) cos phi { bigr)} P_ {n} ^ {( lambda)} (x; phi) - (n + 2 lambda -1) P_ {n-1} (x; phi).}$

Rodriguesův vzorec

Polynomy Meixner – Pollaczek jsou dány Rodriguesovým vzorcem^[3]

${ displaystyle P_ {n} ^ {( lambda)} (x; phi) = { frac {(-1) ^ {n}} {n! , w (x; lambda, phi)} } { frac {d ^ {n}} {dx ^ {n}}} w left (x; lambda + { tfrac {1} {2}} n, phi right),}$

kde w(X; λ, φ) je váhová funkce uvedená výše.

Generující funkce

Polynomy Meixner – Pollaczek mají generační funkci^[4]

${ displaystyle sum _ {n = 0} ^ { infty} t ^ {n} P_ {n} ^ {( lambda)} (x; phi) = (1-e ^ {i phi} t ) ^ {- lambda + ix} (1-e ^ {- i phi} t) ^ {- lambda -ix}.}$

Viz také

• Proseté Pollaczekovy polynomy

Reference

• Koekoek, Roelof; Lesky, Peter A .; Swarttouw, René F. (2010), Hypergeometrické ortogonální polynomy a jejich q-analogySpringer Monografie z matematiky, Berlín, New York: Springer-Verlag, doi:10.1007/978-3-642-05014-5, ISBN  978-3-642-05013-8, PAN  2656096
• Koornwinder, Tom H .; Wong, Roderick S. C .; Koekoek, Roelof; Swarttouw, René F. (2010), „Pollaczekovy polynomy“, v Olver, Frank W. J.; Lozier, Daniel M .; Boisvert, Ronald F .; Clark, Charles W. (eds.), NIST Handbook of Mathematical Functions, Cambridge University Press, ISBN  978-0-521-19225-5, PAN  2723248
• Meixner, J. (1934), „Orthogonale Polynomsysteme Mit Einer Besonderen Gestalt Der Erzeugenden Funktion“, J. London Math. Soc., s1-9: 6–13, doi:10.1112 / jlms / s1-9.1.6
• Pollaczek, Félix (1949), „Sur une généralisation des polynomes de Legendre“, Les Comptes rendus de l'Académie des sciences, 228: 1363–1365, PAN  0030037