Schwarzova trojúhelníková funkce - Schwarz triangle function

tento článek možná matoucí nebo nejasné čtenářům. Prosím, pomoz nám objasnit článek. Možná o tom bude diskuse diskusní stránka. (Ledna 2019) (Zjistěte, jak a kdy odstranit tuto zprávu šablony)

Matematická analýza → Složitá analýza
Složitá analýza
Složitá čísla
Reálné číslo Imaginární číslo Složité letadlo Složitý konjugát Komplexní číslo jednotky
Složité funkce
Funkce s komplexní hodnotou Analytická funkce Holomorfní funkce Cauchy – Riemannovy rovnice Formální výkonová řada
Základní teorie
Nuly a póly Cauchyho integrální věta Místní primitiv Cauchyho integrální vzorec Vinutí číslo Laurentova řada Izolovaná singularita Věta o zbytku Konformní mapa Schwarzovo lema Harmonická funkce Laplaceova rovnice
Teorie geometrických funkcí
Lidé
Augustin-Louis Cauchy Leonhard Euler Carl Friedrich Gauss Jacques Hadamard Kiyoshi Oka Bernhard Riemann Karl Weierstrass
Matematický portál

v komplexní analýza, Schwarzova trojúhelníková funkce nebo Schwarzova funkce je funkce, která konformně mapy the horní polovina roviny na trojúhelník v horní polovině roviny, který má čáry nebo kruhové oblouky pro hrany. Nechat πα, πβ, a πγ být vnitřní úhly na vrcholech trojúhelníku. Pokud některý z α, β, a y jsou větší než nula, pak lze Schwarzovu trojúhelníkovou funkci vyjádřit jako hypergeometrické funkce tak jako:

${ displaystyle s (z) = z ^ { alpha} { frac {_ {2} F_ {1} left (a ', b'; c '; z right)} {_ {2} F_ { 1} left (a, b; c; z right)}}}$

kde a = (1-α-β-γ) / 2, b = (1-α + β-γ) / 2, c = 1-α, a '= a - c + 1 = (1 + α-β- γ) / 2, b '= b - c + 1 = (1 + α + β-γ) / 2, a c '= 2 - c = 1 + α. Toto mapování má singulární body v z = 0, 1 a ∞, což odpovídá vrcholům trojúhelníku s úhly πα, πγ, a πβ resp. V těchto singulárních bodech ${ displaystyle s (0) = 0, s (1) = { frac { Gamma (1-a ') Gamma (1-b') Gamma (c ')} { Gamma (1-a) Gamma (1-b) Gamma (c)}}}$, a${ displaystyle s ( infty) = exp left (i pi alpha right) { frac { Gamma (1-a ') Gamma (b) Gamma (c')} { Gamma ( 1-a) Gama (b ') Gama (c)}}}$. Tento vzorec lze odvodit pomocí Schwarzianův derivát.

Tuto funkci lze použít k mapování horní poloroviny na a sférický trojúhelník na Riemannova koule -li α + β + γ> 1nebo hyperbolický trojúhelník na Poincaré disk -li α + β + γ <1. Když α + β + γ = 1, pak je trojúhelník euklidovský trojúhelník s rovnými hranami: a = 0, ${ displaystyle _ {2} F_ {1} left (a, b; c; z right) = 1}$a vzorec se redukuje na vzorec uvedený v Schwarz – Christoffelova transformace. Ve zvláštním případě ideální trojúhelníky, kde jsou všechny úhly nulové, získá funkce trojúhelníku modulární lambda funkce.

Tuto funkci zavedl H. A. Schwarz jako inverzní funkce konformní mapování uniformování a Schwarzův trojúhelník. Použitím postupných hyperbolických odrazů na jeho stranách takový trojúhelník generuje a mozaikování horní poloviny roviny (nebo disk jednotky po složení s Cayleyova transformace ). Konformní mapování horní poloviny roviny do vnitřku geodetického trojúhelníku zobecňuje Schwarz – Christoffelova transformace. Podle Schwarzův princip odrazu, diskrétní skupina generovaná hyperbolickými odrazy po stranách trojúhelníku indukuje působení na dvourozměrný prostor řešení. V normální podskupině zachovávající orientaci odpovídá tato dvourozměrná reprezentace monodromy běžné diferenciální rovnice a indukuje skupinu Möbiovy transformace na kvocientech řešení. Jelikož funkce trojúhelníku je inverzní funkcí takového kvocientu, jedná se tedy o automatická funkce pro tuto diskrétní skupinu Möbiových transformací. Toto je speciální případ obecné metody Henri Poincaré který spojuje automorfní formy s obyčejné diferenciální rovnice s pravidelné singulární body.

Hyperboloidní a Kleinovy ​​modely

Geometrické vztahy mezi Poincarým diskovým modelem, hyperboloidním modelem a Kleinovým modelem

V této části jsou uvedeny dva různé modely pro hyperbolickou geometrii na disku jednotky nebo ekvivalentně horní poloviční rovině.^[1]

Skupina G = SU (1,1) je tvořen maticemi

${ displaystyle g = { begin {pmatrix} alpha & beta { overline { beta}} & { overline { alpha}} end {pmatrix}}}$

s

${ displaystyle | alpha | ^ {2} - | beta | ^ {2} = 1.}$

Je to podskupina G_C = SL (2,C), skupina komplexních matic 2 × 2 s determinantem 1. Skupina G_C působí Möbiovy transformace na rozšířenou komplexní rovinu. Podskupina G působí jako automorfismy disku jednotky D a podskupina G₁ = SL (2,R) působí jako automorfismy horní polovina roviny. Li

${ displaystyle C = { begin {pmatrix} 1 & i i & 1 end {pmatrix}}}$

pak

${ displaystyle G = CG_ {1} C ^ {- 1},}$

protože Möbiova transformace odpovídá M je Cayleyova transformace nesoucí horní polovinu roviny na disk jednotky a skutečnou čáru na kruh jednotky.

Lieova algebra ${ displaystyle { mathfrak {g}}}$ SU (1,1) se skládá z matic

${ displaystyle X = { begin {pmatrix} ix & w { overline {w}} & - ix end {pmatrix}}}$

s X nemovitý. Všimněte si, že X² = (|w|² – X²) Já a

${ displaystyle det X = x ^ {2} - | w | ^ {2} = - {1 nad 2} mathrm {Tr} X ^ {2}.}$

Hyperboloid ${ displaystyle { mathfrak {H}}}$ v ${ displaystyle { mathfrak {g}}}$ je definována dvěma podmínkami. První je, že det X = 1 nebo ekvivalentně Tr X² = –2. Podle definice je tato podmínka zachována pod časování podle G. Od té doby G je připojen, ponechává obě komponenty s X > 0 a X <0 invariantní. Druhou podmínkou je, že X > 0. Pro stručnost napište X = (X,w).

Skupina G působí přechodně na D a ${ displaystyle { mathfrak {H}}}$ a body 0 a (1,0) mají stabilizátor K. skládající se z matic

${ displaystyle { begin {pmatrix} zeta & 0 0 & { overline { zeta}} end {pmatrix}}}$

pomocí | ζ | = 1. Polární rozklad zapnutý D implikuje Cartanův rozklad G = KAK kde A je skupina matic

${ displaystyle a_ {t} = { begin {pmatrix} cosh t & sinh t sinh t & cosh t end {pmatrix}}.}$

Oba prostory lze tedy identifikovat s homogenním prostorem G/K. a tam je G- ekvivariantní mapa F z ${ displaystyle { mathfrak {H}}}$ na D send (1,0) to 0. Pro výpočet vzorce pro tuto mapu a její inverzní funkci stačí vypočítat G(1,0) aG(0) kde G je jako výše. Tím pádem G(0) = β /α a

${ displaystyle g (1,0) = (| alpha | ^ {2} + | beta | ^ {2}, - 2i alpha beta),}$

aby

${ displaystyle { beta over { overline { alpha}}} = { alpha beta over | alpha | ^ {2}} = {2 alpha beta over | alpha | ^ {2 } + | beta | ^ {2} +1},}$

obnovení vzorce

${ displaystyle f (x, w) = {iw nad x + 1}.}$

Naopak pokud z = iw/(X + 1), poté |z|² = (X – 1)/(X + 1), což dává inverzní vzorec

${ displaystyle f ^ {- 1} (z) = (x, w) = vlevo ({1+ | z | ^ {2} nad 1 | z | ^ {2}}, {- 2iz nad 1- | z | ^ {2}} vpravo).}$

Tato korespondence se vztahuje na jednu mezi geometrickými vlastnostmi D a ${ displaystyle { mathfrak {H}}}$. Bez uzavření korespondence G-invariantní Riemannovy metriky,^[2] každý geodetický kruh v D odpovídá průsečíku 2 rovin počátkem, daný rovnicemi Tr XY = 0, s ${ displaystyle { mathfrak {H}}}$. To je zřejmé u paprsků arg z = θ přes počátek v D—Které odpovídají 2-rovinám arg w = θ - a obecně následuje G-ekvivariance.

Kleinův model se získá pomocí mapy F(X,w) = w/X jako korespondence mezi ${ displaystyle { mathfrak {H}}}$ a D. Identifikace tohoto disku pomocí (1,proti) s |proti| <1, průsečíky 2 letadel s ${ displaystyle { mathfrak {H}}}$ odpovídají průsečíkům stejných 2 rovin s tímto diskem a tak dávají přímé čáry. Mapa Poincaré-Klein daná

${ displaystyle K (z) = iF circ f ^ {- 1} (z) = {2z nad 1+ | z | ^ {2}}}$

tedy dává difeomorfismus z disku jednotky na sebe tak, že Poincaréovy geodetické kruhy jsou neseny do přímek. Tento difeomorfismus nezachovává úhly, ale zachovává orientaci a stejně jako všechny difeomorfismy bere hladké křivky bodem, který činí úhel menší než π (měřeno proti směru hodinových ručiček) do podobného páru křivek.^[3] V omezujícím případě, když je úhel π, křivky jsou tečné a to je opět zachováno pod difeomorfismem. Mapa K. výnosy Klein model hyperbolické geometrie. Mapa sahá až do homeomorfismu disku jednotky na sebe, což je identita v kruhu jednotky. Kontinuitou tedy mapa K. zasahuje do koncových bodů geodetiky, takže nese oblouk kruhu v kotouči, který ortogonálně rozřízne jednotkovou kružnici ve dvou daných bodech na přímkový segment spojující tyto dva body. (Všimněte si, že na jednotkové kružnici je radiální derivace K. zmizí, takže zde již neplatí podmínka pro úhly.)

Konvexní mnohoúhelníky

Jednotný obklad v modelu Poincarého disku pravidelnými konvexními septagony a trojúhelníky

Stejný obklad v modelu Klein

V této části jsou hlavní výsledky konvexnosti hyperbolických polygonů odvozeny z odpovídajících výsledků pro euklidovské polygony zvážením vztahu mezi Poincarého diskovým modelem a Kleinovým modelem. Polygon v jednotkovém disku nebo v horní polovině roviny je tvořen souborem konečné sady vrcholů spojených geodetikou, takže se žádná z geodetik neprotíná. V Kleinově modelu to odpovídá stejnému obrázku v euklidovském modelu s přímkami mezi vrcholy. V euklidovském modelu má mnohoúhelník interiér a exteriér (podle základní verze Jordanova věta o křivce ), takže jelikož je to zachováno za homeomorfismu, totéž platí pro Poincarého obrázek.

Důsledkem každého vrcholu je dobře definovaná představa o vnitřním úhlu.

V euklidovské rovině mnohoúhelník se všemi svými úhly menšími než π je konvexní, tj. přímka spojující vnitřní body mnohoúhelníku leží také ve vnitřku mnohoúhelníku. Vzhledem k tomu, že mapa Poincaré-Klein zachovává vlastnost, že úhly jsou menší než π, hyperbolický mnohoúhelník s vnitřními úhly menšími než π je přenesen na euklidovský polygon se stejnou vlastností; euklidovský polygon je proto konvexní, a proto, protože hyperbolické geodetiky jsou přenášeny na přímkách, je to také hyperbolický polygon. Argumentem kontinuity leží geodetika mezi body na stranách také v uzavření polygonu.

Podobný výsledek konvexity platí pro mnohoúhelníky, které mají některé ze svých vrcholů na hranici disku nebo horní poloviční roviny. Ve skutečnosti je každý takový polygon rostoucí unií polygonů s úhly menšími než π. Ve skutečnosti vezměte body na hranách v každém ideálním vrcholu, které mají tendenci ke dvěma hranám spojujícím tyto body s ideálním bodem s geodetickým spojením. Protože dva vnitřní body původního polygonu budou ležet uvnitř jednoho z těchto menších polygonů, z nichž každý je konvexní, musí být původní polygon také konvexní.^[4]

Teselace podle Schwarzových trojúhelníků

V této části budou diskutovány mozaiky hyperbolické horní poloviny roviny Schwarzovými trojúhelníky pomocí elementárních metod. U trojúhelníků bez "cusps" - úhlů rovných nule nebo ekvivalentních vrcholů na skutečné ose - je základní přístup Carathéodory (1954) bude následovat. U trojúhelníků s jedním nebo dvěma hroty jsou elementární argumenty Evans (1973), což zjednodušuje přístup Hecke (1935), bude použito: v případě Schwarzova trojúhelníku s jedním úhlem nula a druhým pravým úhlem, je podskupina zachovávající orientaci odrazové skupiny trojúhelníku Hecke skupina. Pro ideální trojúhelník, ve kterém jsou všechny úhly nulové, takže všechny vrcholy leží na skutečné ose, bude existence mozaiky stanovena vztahem k Farey série popsáno v Hardy & Wright (1979) chyba harvtxt: žádný cíl: CITEREFHardyWright1979 (Pomoc) a Series (2015). V tomto případě lze teselaci považovat za teselaci spojenou se třemi dotykovými kruhy na Riemannova koule, omezující případ konfigurací spojených se třemi disjunktními nevnořenými kruhy a jejich reflexními skupinami, tzv.Schottkyho skupiny ", podrobně popsáno v Mumford, Series & Wright (2015). Alternativně - rozdělením ideálního trojúhelníku na šest trojúhelníků s úhly 0, π/ 2 a π/ 3 — mozaikování pomocí ideálních trojúhelníků lze chápat v pojmech mozaikování pomocí trojúhelníků s jedním nebo dvěma vrcholy.

Trojúhelníky bez hrbolků

Teselace trojúhelníky s úhly π/4, π/ 4 a π/5

Teselace trojúhelníky s úhly π/3, π/ 5 a π/7

Předpokládejme, že hyperbolický trojúhelník Δ má úhly π/A, π/b a π/C s A, b, C celá čísla větší než 1. Hyperbolická oblast Δ se rovná π – π/A – π/b – π/C, aby

${ displaystyle {1 nad a} + {1 nad b} + {1 nad c} <1.}$

Konstrukce mozaiky bude nejprve provedena pro případ, kdy A, b a C jsou větší než 2.^[5]

Původní trojúhelník Δ dává konvexní mnohoúhelník P₁ se 3 vrcholy. Na každém ze tří vrcholů lze trojúhelník postupně odrážet hranami vycházejícími z vrcholů a vytvářet 2m kopie trojúhelníku, kde je úhel na vrcholu π/m. Trojúhelníky se nepřekrývají, s výjimkou okrajů, polovina z nich má obrácenou orientaci a zapadají do sebe, aby obložily sousedství bodu. Spojení těchto nových trojúhelníků spolu s původním trojúhelníkem tvoří spojený tvar P₂. Skládá se z trojúhelníků, které se protínají pouze v hranách nebo vrcholech, tvoří konvexní mnohoúhelník se všemi úhly menšími nebo rovnými π a každá strana je hranou odraženého trojúhelníku. V případě, že úhel Δ se rovná π/ 3, vrchol P₂ bude mít vnitřní úhel π, ale to nemá vliv na konvexnost P₂. I v tomto zvrhlém případě, kdy úhel π vznikne, jsou dvě kolineární hrany pro účely konstrukce stále považovány za odlišné.

Stavba P₂ lze pochopit jasněji, když si všimneme, že některé trojúhelníky nebo dlaždice jsou přidány dvakrát, přičemž tři mají společnou stranu s původním trojúhelníkem. Zbytek má společný pouze vrchol. Systematičtější způsob provádění obkladů je nejprve přidat dlaždici na každou stranu (odraz trojúhelníku v této hraně) a poté vyplnit mezery u každého vrcholu. Výsledkem je celkem 3 + (2A – 3) + (2b - 3) + (2C - 3) = 2(A + b + C) - 6 nových trojúhelníků. Nové vrcholy jsou dvou typů. Ty, které jsou vrcholy trojúhelníků připojených ke stranám původního trojúhelníku, které jsou spojeny se 2 vrcholy Δ. Každý z nich leží ve třech nových trojúhelnících, které se protínají v tomto vrcholu. Zbytek je spojen s jedinečným vrcholem Δ a patří ke dvěma novým trojúhelníkům, které mají společnou hranu. Existují tedy 3 + (2A – 4) + (2b - 4) + (2C - 4) = 2(A + b + C) - 9 nových vrcholů. Konstrukcí nedochází k překrývání. To vidět P₂ je konvexní, stačí vidět, že úhel mezi stranami, které se setkávají v novém vrcholu, činí úhel menší nebo rovný π. Nové vrcholy ale leží ve dvou nebo třech nových trojúhelnících, které se setkávají v tomto vrcholu, takže úhel v tomto vrcholu není větší než 2π/ 3 nebo π, podle potřeby.

Tento proces lze opakovat pro P₂ dostat P₃ nejprve přidáním dlaždic ke každému okraji P₂ a pak vyplnění dlaždic kolem každého vrcholu P₂. Poté lze postup opakovat od P₃, dostat P₄ a tak dále, postupně vyrábět P_n z P_{n – 1}. Je možné induktivně zkontrolovat, že se jedná o konvexní polygony s nepřekrývajícími se dlaždicemi. Ve skutečnosti, jako v prvním kroku procesu, existují v budově dva typy dlaždic P_n z P_{n – 1}, ty připojené k okraji P_{n – 1} a ty spojené s jediným vrcholem. Podobně existují dva typy vrcholů, jeden, ve kterém se setkávají dvě nové dlaždice, a ty, ve kterých se setkávají tři dlaždice. Takže za předpokladu, že se žádné dlaždice nepřekrývají, předchozí argument ukazuje, že úhly vrcholů nejsou větší než π a proto to P_n je konvexní mnohoúhelník.^[6]

Je proto třeba ověřit, že při konstrukci P_n z P_{n − 1}:^[7]

Chcete-li dokázat (a), všimněte si, že konvexitou je mnohoúhelník P_{n − 1} je průsečík konvexních poloprostorů definovaných plnými kruhovými oblouky definujícími jeho hranici. Tedy v daném vrcholu P_{n − 1} existují dva takové kruhové oblouky definující dva sektory: jeden sektor obsahuje vnitřek P_{n − 1}, druhý obsahuje interiéry nových trojúhelníků přidaných kolem daného vrcholu. To lze vizualizovat pomocí Möbiovy transformace k namapování horní poloviční roviny na jednotkový disk a vrcholu k počátku; vnitřek mnohoúhelníku a každý z nových trojúhelníků leží v různých sektorech disku jednotky. Tím je prokázáno (a).

Před prokázáním (c) a (b) lze použít Möbiovu transformaci, která mapuje horní polovinu roviny na jednotkový disk a pevný bod uvnitř Δ k počátku.

Důkaz (c) probíhá indukcí. Všimněte si, že poloměr spojující počátek s vrcholem mnohoúhelníku P_{n − 1} svírá úhel menší než 2π/ 3 s každým z hran mnohoúhelníku v daném vrcholu, jsou-li přesně dva trojúhelníky P_{n − 1} setkat se na vrcholu, protože každý má úhel menší nebo rovný π/ 3 v tomto vrcholu. Zkontrolovat to je pravda, když tři trojúhelníky P_{n − 1} setkat se na vrcholu, C řekněme, předpokládejme, že střední trojúhelník má svou základnu na straně AB z P_{n − 2}. Indukcí poloměry OA a OB vytváří úhly menší nebo rovné 2π/ 3 s hranou AB. V tomto případě oblast v sektoru mezi poloměry OA a OB mimo okraj AB je konvexní jako průsečík tří konvexních oblastí. Indukcí úhlů v A a B jsou větší nebo rovny π/ 3. Tedy geodetika do C z A a B začít v regionu; konvexitou trojúhelník ABC leží zcela uvnitř regionu. Čtyřúhelník OACB má všechny své úhly menší než π (od té doby OAB je geodetický trojúhelník), tak je konvexní. Proto poloměr OC leží uvnitř úhlu trojúhelníku ABC u C. Tedy úhly mezi OC a dva okraje P_{n – 1} setkání v C jsou menší nebo rovny π/3 + π/3 = 2π/ 3, jak je nárokováno.

Chcete-li dokázat (b), je třeba zkontrolovat, jak nové trojúhelníky jsou P_n protínají.

Nejprve zvažte dlaždice přidané k okrajům P_{n – 1}. Přijetí podobné notace k písmenu (c), let AB být základem dlaždice a C třetí vrchol. Pak poloměry OA a OB udělejte úhly menší nebo rovné 2π/ 3 s hranou AB a argumentace v důkazu (c) platí k prokázání toho, že trojúhelník ABC leží v sektoru definovaném poloměry OA a OB. To platí pro každou hranu P_{n – 1}. Vzhledem k tomu, že interiéry sektorů definovaných odlišnými hranami jsou disjunktní, nové trojúhelníky tohoto typu se protínají pouze podle tvrzení.

Dále zvažte další dlaždice přidané pro každý vrchol P_{n – 1}. Vezmeme-li vrchol A, tři jsou dva okraje AB₁ a AB₂ z P_{n – 1} které se scházejí v A. Nechat C₁ a C₂ být vrcholy dlaždic přidaných k těmto hranám. Nyní byly přidány další dlaždice na A leží v sektoru definovaném poloměry OB₁ a OB₂. Mnohoúhelník s vrcholy C₂ Ó, C₁, a pak vrcholy dalších dlaždic mají všechny své vnitřní úhly menší než π a proto je konvexní. Je tedy zcela obsažen v sektoru definovaném poloměry OC₁ a OC₂. Protože interiéry těchto sektorů jsou všechny disjunktní, znamená to všechna tvrzení o tom, jak se protínají přidané dlaždice.

Teselace trojúhelníky s úhly π/2, π/ 3 a π/7

Teselace trojúhelníky s úhly π/2, π/ 4 a π/5

Nakonec zbývá dokázat, že obklad vytvořený spojením trojúhelníků pokrývá celou horní polovinu roviny. Jakýkoli bod z pokrytý obkladem leží v mnohoúhelníku P_n a tedy mnohoúhelník P_{n +1} . Leží tedy v kopii původního trojúhelníku Δ i v kopii P₂ zcela obsažen v P_{n +1} . Hyperbolická vzdálenost mezi Δ a vnějškem P₂ je rovný r > 0. Tedy hyperbolická vzdálenost mezi z a body nepokryté obkladem jsou alespoň r. Jelikož to platí pro všechny body v obkladu, množina pokrytá obkladem je uzavřena. Na druhou stranu je obklad otevřený, protože se shoduje se sjednocením interiérů polygonů P_n. Konektivitou musí teselace pokrývat celou horní polovinu roviny.

Chcete-li zjistit, jak zacházet s případem, kdy úhel Δ je pravý úhel, nezapomeňte, že nerovnost

${ displaystyle {1 nad a} + {1 nad b} + {1 nad c} <1}$.

znamená, že pokud je jeden z úhlů pravý úhel, řekněme A = 2, pak oba b a C jsou větší než 2 a jeden z nich, b řekněme, musí být větší než 3. V tomto případě odrazem trojúhelníku přes stranu AB získáme rovnoramenný hyperbolický trojúhelník s úhly π/C, π/C a 2π/b. Pokud 2π/b ≤ π/ 3, tj. b je větší než 5, pak jsou všechny úhly zdvojeného trojúhelníku menší nebo rovny π/ 3. V takovém případě se konstrukce teselace výše prostřednictvím zvětšení konvexních polygonů přizpůsobí slovo od slova tomuto případu, kromě toho, že kolem vrcholu s úhlem 2π/b, pouze b—A ne 2b—Kopie trojúhelníku jsou vyžadovány k vykládání sousedství vrcholu. To je možné, protože zdvojený trojúhelník je rovnoramenný. Teselace pro zdvojnásobený trojúhelník dává výtěžek pro původní trojúhelník při rozřezání všech větších trojúhelníků na polovinu.^[8]

Zbývá léčit případ, kdy b se rovná 4 nebo 5. Pokud b = Tedy 4 C ≥ 5: v tomto případě pokud C ≥ 6, tedy b a C lze přepnout a použije se výše uvedený argument, takže případ zůstane b = 4 a C = 5. Pokud b = 5, tedy C ≥ 4. Případ C ≥ 6 lze zvládnout zaměněním b a C, takže jediný případ navíc je b = 5 a C = 5. Tento poslední rovnoramenný trojúhelník je zdvojnásobenou verzí prvního výjimečného trojúhelníku, takže pouze ten trojúhelník Δ₁—S úhly π/2, π/ 4 a π/ 5 a hyperbolická oblast π/ 20 - je třeba vzít v úvahu (viz níže). Carathéodory (1954) zpracovává tento případ obecnou metodou, která funguje pro všechny pravoúhlé trojúhelníky, pro které jsou dva další úhly menší nebo rovny π/ 4. Předchozí metoda pro konstrukci P₂, P₃, ... je upraven přidáním dalšího trojúhelníku pokaždé, když je úhel 3π/ 2 vzniká na vrcholu. Stejné uvažování platí pro prokázání, že nedochází k překrývání a že obklady pokrývají hyperbolickou horní polovinu roviny.^[8]

Na druhou stranu daná konfigurace vede ke skupině aritmetických trojúhelníků. Ty byly poprvé studovány v Fricke & Klein (1897). a dala vzniknout rozsáhlé literatuře. V roce 1977 Takeuchi získal úplnou klasifikaci aritmetických trojúhelníkových skupin (je jich konečně mnoho) a určil, kdy jsou dvě z nich srovnatelné. Konkrétní příklad souvisí s Přineste křivku a z aritmetické teorie vyplývá, že trojúhelníková skupina pro Δ₁ obsahuje trojúhelníkovou skupinu pro trojúhelník Δ₂ s úhly π/4, π/ 4 a π/ 5 jako neobvyklá podskupina indexu 6.^[9]

Zdvojnásobení trojúhelníků Δ₁ a Δ₂, to znamená, že by měl existovat vztah mezi 6 trojúhelníky Δ₃ s úhly π/2, π/ 5 a π/ 5 a hyperbolická oblast π/ 10 a trojúhelník Δ₄ s úhly π/5, π/ 5 a π/ 10 a hyperbolická oblast 3π/5. Threlfall (1932) vytvořili takový vztah přímo zcela elementárními geometrickými prostředky, bez odkazu na aritmetickou teorii: jak je znázorněno na pátém obrázku níže, čtyřúhelník získaný odrazem přes stranu trojúhelníku typu Δ₄ lze skládat pomocí 12 trojúhelníků typu Δ₃. Teselace trojúhelníky typu Δ₄ lze zpracovat hlavní metodou v této části; to tedy dokazuje existenci mozaiky trojúhelníky typu Δ₃ a Δ₁.^[10]

Trojúhelníky s jedním nebo dvěma hrbolky

V případě Schwarzova trojúhelníku s jedním nebo dvěma vrcholy se proces obkládání stává jednodušším; ale je jednodušší použít jinou metodu, která se vrací zpět Hecke dokázat, že tyto vyčerpávají hyperbolickou horní polovinu roviny.

V případě jednoho hrotu a nenulových úhlů π/A, π/b s A, b celá čísla větší než jedna, obklady lze předpokládat na jednotkovém disku s vrcholem majícím úhel π/A na počátku. Obklady začínají přidáním 2A - 1 kopie trojúhelníku na počátku postupnými odrazy. Výsledkem je mnohoúhelník P₁ s 2A vrcholy a mezi každým dvěma 2A vrcholy každý s úhlem π/b. Polygon je proto konvexní. Pro každý neideální vrchol P₁, jedinečný trojúhelník s tímto vrcholem může být podobně odražen kolem tohoto vrcholu, a tak přidat 2b - 1 nové trojúhelníky, 2b - 1 nový ideální bod a 2 b - 1 nové vrcholy s úhlem π/A. Výsledný mnohoúhelník P₂ se tedy skládá ze 2A(2b - 1) hrbolky a stejný počet vrcholů, každý s úhlem π/A, tak je konvexní. Proces může tímto způsobem pokračovat, aby se získaly konvexní polygony P₃, P₄, a tak dále. Mnohoúhelník P_n bude mít vrcholy mající úhly střídavě mezi 0 a π/A pro n sudé a mezi 0 a π/b pro n zvláštní. Konstrukcí se trojúhelníky překrývají pouze na hranách nebo vrcholech, takže tvoří obklad.^[11]

Případ, kdy má trojúhelník dva vrcholy a jeden nenulový úhel π/A lze redukovat na případ jednoho hrotu pozorováním, že trinale je dvojník trojúhelníku s jedním hrotem a nenulovými úhly π/A a π/b s b = 2. Obklady pak pokračují jako dříve.^[12]

Abychom dokázali, že dávají mozaiky, je pohodlnější pracovat v horní polovině roviny. Oba případy lze léčit současně, protože případ dvou vrcholů se získá zdvojnásobením trojúhelníku s jedním hrotem a nenulovými úhly π/A a π/ 2. Vezměme tedy geodetický trojúhelník v horní polovině roviny s úhly 0, π/A, π/b s A, b celá čísla větší než jedna. Vnitřek takového trojúhelníku lze realizovat jako region X v horní polovině roviny ležící mimo disk jednotky |z| ≤ 1 a mezi dvěma přímkami rovnoběžnými s imaginární osou procházejícími body u a proti na jednotkovém kruhu. Nechť Γ je skupina trojúhelníků generovaná třemi odrazy po stranách trojúhelníku.

Abychom dokázali, že následné odrazy trojúhelníku pokrývají horní polovinu roviny, stačí to ukázat pro každou z v horní polovině roviny je a G v takovém G(z) leží v X. Z toho vyplývá argument Evans (1973), zjednodušeno z teorie Hecke skupiny. Nechť λ = Re A a μ = Re b takže bez ztráty obecnosti λ <0 ≤ μ. Tři odrazy po stranách jsou dány vztahem

${ displaystyle R_ {1} (z) = {1 over { overline {z}}}, , , R_ {2} (z) = - { overline {z}} + lambda, , , R_ {3} (z) = - { overline {z}} + mu.}$

Tím pádem T = R₃∘R₂ je překlad μ - λ. Z toho vyplývá, že pro všechny z₁ v horní polovině roviny je prvek G₁ v podskupině Γ₁ z Γ generováno T takhle w₁ = G₁(z₁) vyhovuje λ ≤ Re w₁ ≤ μ, tj. Tento pás je a základní doména pro překladovou skupinu Γ₁. Pokud |w₁| ≥ 1, pak w₁ leží v X a výsledek je prokázán. Jinak nechte z₂ = R₁(w₁) a najít G₂Γ₁ takhle w₂ = G₂(z₂) vyhovuje λ ≤ Re w₂ ≤ μ. Pokud |w₂| ≥ 1, pak je výsledek prokázán. Pokračování tímto způsobem, buď některé w_n vyhovuje |w_n| ≥ 1, v takovém případě je výsledek prokázán; nebo |w_n| <1 pro všechny n. Nyní od té doby G_{n + 1} leží v Γ₁ a |w_n| < 1,

${ displaystyle { mathrm {I} m} , g_ {n + 1} (z_ {n + 1}) = { mathrm {I} m} , z_ {n + 1} = { mathrm {I } m} , {w_ {n} over | w_ {n} | ^ {2}} = {{ mathrm {I} m} , w_ {n} over | w_ {n} | ^ {2 }}.}$

Zejména

${ displaystyle { mathrm {I} m} , w_ {n + 1} geq { mathrm {I} m} , w_ {n}}$

a

${ displaystyle {{ mathrm {I} m} , w_ {n + 1} přes { mathrm {I} m} , w_ {n}} = | w_ {n} | ^ {- 2} geq 1.}$

Z výše uvedené nerovnosti tedy body (w_n) leží v kompaktní sadě |z| ≤ 1, λ ≤ Re z ≤ μ a Im z ≥ Im w ₁. Z toho vyplývá, že |w_n| inklinuje k 1; pokud ne, pak by existovala r <1 takový, že |w_m| ≤ r pro nespočetně mnoho m a pak by poslední výše uvedená rovnice znamenala, že Im w_n má sklon k nekonečnu, rozpor.

Nechat w být mezním bodem w_n, takže |w| = 1. Tedy w leží na oblouku jednotkové kružnice mezi u a proti. Li w ≠ u, proti, pak R₁ w_n bude ležet v X pro n dostatečně velký, na rozdíl od předpokladu. Proto w =u nebo proti. Proto pro n dostatečně velký w_n leží blízko u nebo proti a proto musí ležet v jednom z odrazů trojúhelníku kolem vrcholu u nebo proti, protože tyto vyplňují sousedství u a proti. Existuje tedy prvek G v takovém G(w_n) leží v X. Protože podle konstrukce w_n je na or-oběžné dráze z₁, z toho vyplývá, že na této oběžné dráze leží nějaký bod X, podle potřeby.^[13]

Ideální trojúhelníky

Teselace pro ideální trojúhelník se všemi jeho vrcholy na jednotkové kružnici a všemi jeho úhly 0 lze považovat za speciální případ teselace pro trojúhelník s jedním hrotem a dvěma nyní nulovými úhly π/ 3 a π/ 2. Ideální trojúhelník je skutečně vytvořen ze šesti kopií trojúhelníku s jednou špičkou, který je získán odrazem menšího trojúhelníku kolem vrcholu s úhlem π/3.

D je harmonický konjugát C s ohledem na A a B

Odraz ideálního trojúhelníku na jedné z jeho stran

Každý krok obkladu je však jednoznačně určen pozicemi nových hrbolků na kruhu nebo ekvivalentně skutečné osy; a tyto body lze chápat přímo ve smyslu Farey série Následující Series (2015), Hatcher (2013) a Hardy & Wright (2008). To začíná od základního kroku, který generuje mozaikování, odraz ideálního trojúhelníku na jedné z jeho stran. Reflexe odpovídá procesu inverze v projektivní geometrii a převzetí projektivní harmonický konjugát, které lze definovat z hlediska křížový poměr. Ve skutečnosti, pokud p, q, r, s jsou odlišné body v Riemannově sféře, pak existuje jedinečná komplexní Möbiova transformace G odesílání p, q a s na 0, ∞ a 1. Křížový poměr (p, q; r, s) je definován jako G(r) a je dán vzorcem

${ displaystyle (p, q; r, s) = {(p-r) (q-s) nad (p-s) (q-r)}.}$

Podle definice je invariantní za Möbiových transformací. Li A, b leží na skutečné ose, harmonický konjugát C s ohledem na A a b je definováno jako jedinečné reálné číslo d takový, že (A, b; C, d) = -1. Například například A = 1 a b = –1, konjugát r je 1 /r. Möbiovu invariance lze obecně použít k získání explicitního vzorce pro d ve smyslu A, b a C. Opravdu, překládat střed t = (A + b) / 2 kruhu s průměrem majícím koncové body A a b na 0, d – t je harmonický konjugát C – t s ohledem na A - t a b – t. Poloměr kruhu je ρ = (b – A) / 2 tak (d - t) / ρ je harmonický konjugát (C – t) / ρ vzhledem k 1 a -1. Tím pádem

${ displaystyle (d-t) / rho = [(c-t) / rho] ^ {- 1}}$

aby

${ displaystyle d = { rho ^ {2} nad r-t} + t = {(c-a) b + (c-b) a nad (c-a) + (c-b)}.}$

Nyní se ukáže, že existuje parametrizace takových ideálních trojúhelníků daných racionály v redukované formě

${ displaystyle a = {p_ {1} nad q_ {1}}, , , b = {p_ {1} + p_ {2} nad q_ {1} + q_ {2}}, , , c = {p_ {2} nad q_ {2}}}$

s A a C splnění „sousedské podmínky“ p₂q₁ − q₂p₁ = 1.

Střednědobý termín b se nazývá Farey součet nebo zprostředk vnějších podmínek a písemné

${ displaystyle b = a oplus c.}$

Vzorec pro odražený trojúhelník dává

${ displaystyle d = {p_ {1} + 2p_ {2} nad q_ {1} + 2q_ {2}} = a oplus b.}$

Podobně odražený trojúhelník ve druhém půlkruhu dává nový vrchol b ⊕ C. To je okamžitě ověřeno A a b uspokojit podmínku souseda, stejně jako b a C.

Nyní lze tento postup použít ke sledování trojúhelníků získaných postupným odrážením základního trojúhelníku Δ s vrcholy 0, 1 a ∞. Stačí vzít v úvahu proužek s 0 ≤ Re z ≤ 1, protože stejný obraz je reprodukován v paralelních pásech použitím odrazů v řádcích Re z = 0 a 1. Ideální trojúhelník s vrcholy 0, 1, ∞ se odráží v půlkruhu se základnou [0,1] do trojúhelníku s vrcholy A = 0, b = 1/2, C = 1. Tedy A = 0/1 a C = 1/1 jsou sousedé a b = A ⊕ C. Půlkruh je rozdělen na dva menší půlkruhy se základnami [A,b] a [b,C]. Každý z těchto intervalů se stejným procesem rozděluje na dva intervaly, což má za následek 4 intervaly. Pokračování tímto způsobem má za následek rozdělení do 8, 16, 32 intervalů atd. Na nth stage, there are 2ⁿ sousední intervaly s 2ⁿ + 1 koncové body. Konstrukce výše ukazuje, že po sobě jdoucí koncové body splňují podmínku souseda, takže nové koncové body vyplývající z odrazu jsou dány vzorcem Fareyova součtu.

Abychom dokázali, že obklad pokrývá celou hyperbolickou rovinu, stačí ukázat, že každý racionální v [0,1] se nakonec vyskytuje jako koncový bod. Existuje několik způsobů, jak to vidět. Jedna z nejelementárnějších metod je popsána v Graham, Knuth & Patashnik (1994) při jejich vývoji - bez použití pokračující zlomky —O teorii Stern-Brocot strom, který kodifikuje nové racionální koncové body, které se objevují na nth fáze. Dávají přímý důkaz že se objeví každý rozum. Počínaje {0 / 1,1 / 1} jsou po sobě zavedeny po sobě jdoucí koncové body na úrovni n+1 přidáním Fareyových součtů nebo mediánů (p+r)/(q+s) mezi všemi po sobě následujícími obdobími p/q, r/s na nth úroveň (jak je popsáno výše). Nechat X = A/b být racionální ležet mezi 0 a 1 s A a b coprime. Předpokládejme, že na určité úrovni X je vloženo mezi po sobě jdoucí termíny p/q < X < r/s. Tyto nerovnosti jsou silové vod – bp ≥ 1 a br – tak jako ≥ 1 a tedy od té doby rp – qs = 1,

${ displaystyle a + b = (r + s) (ap-bq) + (p + q) (br-as) geq p + q + r + s.}$

Tím se stanoví horní hranice součtu čitatelů a jmenovatelů. Na druhé straně zprostředkovatel (p+r)/(q+s) lze zavést a buď se rovná X, v tom případě racionální X se objeví na této úrovni; nebo mediant poskytuje nový interval obsahující X s přísně větším součtem čitatele a jmenovatele. Proces proto musí být ukončen maximálně po A + b kroky, což dokazuje X objeví se.^[14]

Druhý přístup se opírá o modulární skupina G = SL (2,Z).^[15] Euklidovský algoritmus naznačuje, že tato skupina je generována maticemi

${ displaystyle S = { begin {pmatrix} 0 & 1 - 1 & 0 end {pmatrix}}, , , , T = { begin {pmatrix} 1 & 1 0 & 1 end {pmatrix}}.}$

Ve skutečnosti nechte H být podskupinou G generováno uživatelem S a T. Nechat

${ displaystyle g = { begin {pmatrix} a & b c & d end {pmatrix}}}$

být prvkem SL (2,Z). Tím pádem inzerát − cb = 1, takže A a C jsou coprime. Nechat

${ displaystyle v = { begin {pmatrix} a c end {pmatrix}}, , , , u = { begin {pmatrix} 1 0 end {pmatrix}}.}$

Přihlašování S v případě potřeby lze předpokládat, že |A| > |C| (rovnost není možná coprimeness). Píšeme A = mc + r s0 ≤ r ≤ |C|. Ale pak

${ displaystyle T ^ {- m} { begin {pmatrix} a c end {pmatrix}} = { begin {pmatrix} r c end {pmatrix}}.}$

Tento proces může pokračovat, dokud jeden ze záznamů není 0, v tom případě je druhý nutně ± 1. Použití síly S v případě potřeby z toho vyplývá proti = h u pro některé h v H. Proto

${ displaystyle h ^ {- 1} g = { begin {pmatrix} 1 & p 0 & q end {pmatrix}}}$

s p, q celá čísla. Jasně p = 1, takže h⁻¹G = T^q. Tím pádem G = h T^q leží v H podle potřeby.

K prokázání, že všechny racionály v [0,1] nastanou, to stačí ukázat G nese Δ na trojúhelníky v mozaikování. Z toho vyplývá, že si to nejprve všimneme S a T nést Δ na takový trojúhelník: skutečně jako Möbiovy transformace, S(z) = –1/z a T(z) = z + 1, so these give reflections of Δ in two of its sides. Ale pak S a T conjugate the reflections in the sides of Δ into reflections in the sides of SΔ and TΔ, which lie in Γ. Tím pádem G normalizes Γ. Since triangles in the tessellation are exactly those of the form GΔ with G in Γ, it follows that S a T, and hence all elements of G, permute triangles in the tessellation. Since every rational is of the form G(0) for G v G, every rational in [0,1] is the vertex of a triangle in the tessellation.

The reflection group and tessellation for an ideal triangle can also be regarded as a limiting case of the Schottky group for three disjoint unnested circles on the Riemann sphere. Again this group is generated by hyperbolic reflections in the three circles. In both cases the three circles have a common circle which cuts them orthogonally. Using a Möbius transformation, it may be assumed to be the unit circle or equivalently the real axis in the upper half plane.^[16]

Approach of Siegel

In this subsection the approach of Carl Ludwig Siegel to the tessellation theorem for triangles is outlined. Siegel's less elementary approach does not use convexity, instead relying on the theory of Riemannovy povrchy, pokrývající prostory a verze monodromy theorem for coverings. It has been generalized to give proofs of the more general Poincaré polygon theorem. (Note that the special case of tiling by regular n-gons with interior angles 2π/n is an immediate consequence of the tessellation by Schwarz triangles with angles π/n, π/n a π/2.)^[17][18]

Let Γ be the free product Z₂ ∗ Z₂ ∗ Z₂. If Δ = ABC is a Schwarz triangle with angles π/A, π/b a π/C, kde A, b, C ≥ 2, then there is a natural map of Γ onto the group generated by reflections in the sides of Δ. Elements of Γ are described by a product of the three generators where no two adjacent generators are equal. At the vertices A, B a C the product of reflections in the sides meeting at the vertex define rotations by angles 2π/A, 2π/b a 2π/C; Nechat G_A, G_B a G_C be the corresponding products of generators of Γ = Z₂ ∗ Z₂ ∗ Z₂. Let Γ₀ be the normal subgroup of index 2 of Γ, consisting of elements that are the product of an even number of generators; and let Γ₁ be the normal subgroup of Γ generated by (G_A)^A, (G_B)^b a (G_C)^C. These act trivially on Δ. Nechat Γ = Γ/Γ₁ a Γ₀ = Γ₀/Γ₁.

The disjoint union of copies of Δ indexed by elements of Γ with edge identifications has the natural structure of a Riemann surface Σ. At an interior point of a triangle there is an obvious chart. As a point of the interior of an edge the chart is obtained by reflecting the triangle across the edge. At a vertex of a triangle with interior angle π/n, the chart is obtained from the 2n copies of the triangle obtained by reflecting it successively around that vertex. Skupina Γ acts by deck transformations of Σ, with elements in Γ₀ acting as holomorphic mappings and elements not in Γ₀ acting as antiholomorphic mappings.

There is a natural map P of Σ into the hyperbolic plane. The interior of the triangle with label G v Γ is taken onto G(Δ), edges are taken to edges and vertices to vertices. It is also easy to verify that a neighbourhood of an interior point of an edge is taken into a neighbourhood of the image; and similarly for vertices. Tím pádem P is locally a homeomorphism and so takes open sets to open sets. Obrázek P(Σ), i.e. the union of the translates G(Δ), is therefore an open subset of the upper half plane. On the other hand, this set is also closed. Indeed, if a point is sufficiently close to Δ it must be in a translate of Δ. Indeed, a neighbourhood of each vertex is filled out the reflections of Δ and if a point lies outside these three neighbourhoods but is still close to Δ it must lie on the three reflections of Δ in its sides. Thus there is δ > 0 such that if z lies within a distance less than δ from Δ, pak z lies in a Γ-translate of Δ. Since the hyperbolic distance is Γ-invariant, it follows that if z lies within a distance less than δ from Γ(Δ) it actually lies in Γ(Δ), so this union is closed. By connectivity it follows that P(Σ) is the whole upper half plane.

Na druhou stranu, P is a local homeomorphism, so a covering map. Since the upper half plane is simply connected, it follows that P is one-one and hence the translates of Δ tessellate the upper half plane. This is a consequence of the following version of the monodromy theorem for coverings of Riemann surfaces: if Q is a covering map between Riemann surfaces Σ₁ and Σ₂, then any path in Σ₂ can be lifted to a path in Σ₁ and any two homotopic paths with the same end points lift to homotopic paths with the same end points; an immediate corollary is that if Σ₂ is simply connected, Q must be a homeomorphism.^[19] To apply this, let Σ₁ = Σ, let Σ₂ be the upper half plane and let Q = P. By the corollary of the monodromy theorem, P must be one-one.

Z toho také vyplývá G(Δ) = Δ if and only if G lies in Γ₁, so that the homomorphism of Γ₀ into the Möbius group is faithful.

Conformal mapping of Schwarz triangles

In this section Schwarz's explicit conformal mapping from the unit disc or the upper half plane to the interior of a Schwarz triangle will be constructed as the ratio of solutions of a hypergeometric ordinary differential equation, following Carathéodory (1954), Nehari (1975) a Hille (1976).

Poznámky

Reference

• Ahlfors, Lars V. (1966), Complex Analysis (2nd ed.), McGraw Hill
• Beardon, Alan F. (1983), The geometry of discrete groups, Postgraduální texty z matematiky, 91, Springer-Verlag, ISBN  0-387-90788-2
• Beardon, A. F. (1984), "A primer on Riemann surfaces", Série přednášek London Mathematical Society, Cambridge University Press, 78, ISBN  0521271045
• Berger, Marcel (2010), Geometry revealed. A Jacob's ladder to modern higher geometry, translated by Lester Senechal, Springer, ISBN  978-3-540-70996-1
• Bruce C., Berndt; Knopp, Marvin I. (2008), Hecke's theory of modular forms and Dirichlet series, Monographs in Number Theory, 5, Světově vědecký, ISBN  978-981-270-635-5
• Busemann, Herbert (1955), The geometry of geodesics, Academic Press
• Carathéodory, C. (1954), Theory of functions of a complex variable. Sv. 2., translated by F. Steinhardt., Chelsea Publishing Company
• Chandrasekharan, K. (1985), Eliptické funkceGrundlehren der Mathematischen Wissenschaften, 281, Springer-Verlag, ISBN  3-540-15295-4
• Davis, Michael W. (2008), The geometry and topology of Coxeter groups, London Mathematical Society Monographs, 32, Princeton University Press, ISBN  978-0-691-13138-2
• de Rham, G. (1971), "Sur les polygones générateurs de groupes fuchsiens", Enseignement Math., 17: 49–61
• Evans, Ronald (1973), "A fundamental region for Hecke's modular group", J. Teorie čísel, 5: 108–115, doi:10.1016/0022-314x(73)90063-2
• Ford, Lester R. (1951), Automorphic Functions, Americká matematická společnost, ISBN  0821837419, reprint of 1929 edition
• Fricke, Robert; Klein, Felix (1897), Vorlesungen über die Theorie der automorphen Functionen. Erster Band; Die gruppentheoretischen Grundlagen. (in German), Leipzig: B. G. Teubner, ISBN  978-1-4297-0551-6, JFM  28.0334.01
• Graham, Ronald L.; Knuth, Donald E.; Patashnik, Oren (1994), Konkrétní matematika (Second ed.), Addison-Wesley, pp. 116–118, ISBN  0-201-55802-5
• Hardy, G. H.; Wright, E. M. (2008), Úvod do teorie čísel (Sixth ed.), Oxford University Press, ISBN  978-0-19-921986-5
• Hatcher, Allen (2013), Topology of Numbers (PDF), Cornell University, vyvoláno 21. února 2017
• Hecke, E. (1935), "Über die Bestimmung Dirichletscher Reihen durch ihre Funktionalgleichung", Mathematische Annalen (v němčině), 112: 664–699, doi:10.1007/bf01565437
• Helgason, Sigurdur (2000), Groups and geometric analysis. Integral geometry, invariant differential operators, and spherical functionsMatematické průzkumy a monografie 83, Americká matematická společnost, ISBN  0-8218-2673-5
• Hille, Einar (1976), Ordinary differential equations in the complex domain, Wiley-Interscience
• Ince, E. L. (1944), Obyčejné diferenciální rovnice, Dover Publications
• Iversen, Birger (1992), Hyperbolická geometrie, London Mathematical Society Student Texts, 25, Cambridge University Press, ISBN  0-521-43508-0
• Lehner, Joseph (1964), Discontinuous groups and automorphic functions, Mathematical Surveys, 8, Americká matematická společnost
• Magnus, Wilhelm (1974), Noneuclidean tesselations and their groupsČistá a aplikovaná matematika, 61, Academic Press
• Maskit, Bernard (1971), "On Poincaré's theorem for fundamental polygons", Pokroky v matematice, 7: 219–230, doi:10.1016/s0001-8708(71)80003-8
• McMullen, Curtis T. (1998), "Hausdorff dimension and conformal dynamics. III. Computation of dimension", Amer. J. Math., 120: 691–721, doi:10.1353/ajm.1998.0031
• Mumford, David; Series, Caroline; Wright, David (2015), Indra's pearls. The vision of Felix Klein, Cambridge University Press, ISBN  978-1-107-56474-9
• Nehari, Zeev (1975), Konformní mapování, Dover Publications
• Sansone, Giovanni; Gerretsen, Johan (1969), Lectures on the theory of functions of a complex variable. II: Geometric theory, Groningen: Wolters-Noordhoff
• Series, Caroline (1985), "The modular surface and continued fractions", J. London Math. Soc., 31: 69–80
• Series, Caroline (2015), Continued fractions and hyperbolic geometry, Loughborough LMS Summer School (PDF), vyvoláno 15. února 2017
• Siegel, C. L. (1971), Topics in complex function theory, Vol. II. Automorphic functions and abelian integrals, translated by A. Shenitzer; M. Tretkoff, Wiley-Interscience, pp. 85–87, ISBN  0-471-60843-2
• Takeuchi, Kisao (1977), "Arithmetic triangle groups", J. Math. Soc. Japonsko, 29: 91–106, doi:10.2969/jmsj/02910091
• Takeuchi, Kisao (1977), "Commensurability classes of arithmetic triangle groups", J. Fac. Sci. Univ. Tokyo Sect. IA Math., 24: 201–212
• Threlfall, W. (1932), "Gruppenbilder" (PDF), Abh. Math.-Phys. Kl. Sächs. Akad. Wiss., Leipzig: Hirzel, 41: 1–59
• Thurston, William P. (1997), Silvio Levy (ed.), Three-dimensional geometry and topology. Sv. 1., Princeton Mathematical Series, 35, Princeton University Press, ISBN  0-691-08304-5
• Weber, Matthias (2005), "Kepler's small stellated dodecahedron as a Riemann surface", Pacific J. Math., 220: 167–182, doi:10.2140/pjm.2005.220.167
• Wolf, Joseph A. (2011), Spaces of constant curvature (Sixth ed.), AMS Chelsea Publishing, ISBN  978-0-8218-5282-8