Dvoustranná hypergeometrická řada - Bilateral hypergeometric series

V matematice, a dvoustranná hypergeometrická řada je série ΣA_n shrnuto Všechno celá čísla na takový, že poměr

A_n/A_n+1

dvou termínů je a racionální funkce z n. Definice zobecněná hypergeometrická řada je podobný, až na to, že výrazy jsou záporné n musí zmizet; dvoustranná řada bude mít obecně nekonečný počet nenulových podmínek pro pozitivní i negativní n.

Bilaterální hypergeometrická řada nedokáže konvergovat pro většinu racionálních funkcí, i když v ní lze analyticky pokračovat na funkci definovanou pro většinu racionálních funkcí. Existuje několik součtových vzorců udávajících jeho hodnoty pro speciální hodnoty, kde konverguje.

Definice

Bilaterální hypergeometrická řada _pH_p je definováno

${displaystyle {} _ {p} H_ {p} (a_ {1}, ldots, a_ {p}; b_ {1}, ldots, b_ {p}; z) = {} _ {p} H_ {p} left ({egin {matrix} a_ {1} & ldots & a_ {p} b_ {1} & ldots & b_ {p} end {matrix}}; zight) = sum _ {n = -infty} ^ {infty} {frac {(a_ {1}) _ {n} (a_ {2}) _ {n} ldots (a_ {p}) _ {n}} {(b_ {1}) _ {n} (b_ {2}) _ {n} ldots (b_ {p}) _ {n}}} z ^ {n}}$

kde

${displaystyle (a) _ {n} = a (a + 1) (a + 2) cdots (a + n-1),}$

je rostoucí faktoriál nebo Pochhammer symbol.

Obvykle proměnná z je považována za 1, v takovém případě je z notace vynechána. Je možné definovat řadu _pH_q s různými p a q podobným způsobem, ale to buď nedokáže konvergovat, nebo může být redukováno na obvyklou hypergeometrickou řadu změnami proměnných.

Konvergence a analytické pokračování

Předpokládejme, že žádná z proměnných A nebo b jsou celá čísla, takže všechny členy řady jsou konečné a nenulové. Pak podmínky s n<0 se liší, pokud |z| <1 a podmínky s n> 0 se liší, pokud |z| > 1, takže řada nemůže konvergovat, pokud |z| = 1. Když |z| = 1, řada konverguje, pokud

${displaystyle Re (b_ {1} + cdots b_ {n} -a_ {1} -cdots -a_ {n})> 1.}$

V bilaterální hypergeometrické řadě lze analyticky pokračovat k vícehodnotové meromorfní funkci několika proměnných, jejichž singularity jsou odbočné body na z = 0 a z= 1 a jednoduché póly v A_i = -1, -2, ... a b_i = 0, 1, 2, ... To lze provést následovně. Předpokládejme, že žádný z nich A nebo b proměnné jsou celá čísla. Podmínky s n pozitivní konvergovat pro |z| <1 na funkci splňující nehomogenní lineární rovnici se singularitami v z = 0 a z= 1, takže lze pokračovat na funkci s více hodnotami, přičemž tyto body jsou body větvení. Podobně podmínky s n záporná konvergence pro |z| > 1 na funkci splňující nehomogenní lineární rovnici se singularitami v z = 0 a z= 1, takže lze také pokračovat na funkci s více hodnotami, přičemž tyto body jsou body větvení. Součet těchto funkcí dává analytické pokračování bilaterální hypergeometrické řady ke všem hodnotám z jiné než 0 a 1, a splňuje a lineární diferenciální rovnice v z podobně jako hypergeometrická diferenciální rovnice.

Sčítací vzorce

Dougallova bilaterální částka

${displaystyle {} _ {2} H_ {2} (a, b; c, d; 1) = součet _ {n = -infty} ^ {infty} {frac {(a) _ {n} (b) _ {n}} {(c) _ {n} (d) _ {n}}} = {frac {Gamma (d) Gamma (c) Gamma (1-a) Gamma (1-b) Gamma (c + dab -1)} {Gama (ca) Gama (cb) Gama (da) Gama (db)}}}$

(Dougall 1907 )

Toto je někdy psáno v ekvivalentní formě

${displaystyle sum _ {n = -infty} ^ {infty} {frac {Gamma (a + n) Gamma (b + n)} {Gamma (c + n) Gamma (d + n)}} = {frac {pi ^ {2}} {sin (pi a) sin (pi b)}} {frac {Gamma (c + dab-1)} {Gamma (ca) Gamma (da) Gamma (cb) Gamma (db)}}. }$

Baileyho vzorec

(Bailey 1959 ) dal následující zobecnění Dougallova vzorce:

${displaystyle {} _ {3} H_ {3} (a, b, f + 1; d, e, f; 1) = součet _ {n = -infty} ^ {infty} {frac {(a) _ { n} (b) _ {n} (f + 1) _ {n}} {(d) _ {n} (e) _ {n} (f) _ {n}}} = lambda {frac {Gamma ( d) Gama (e) Gama (1-a) Gama (1-b) Gama (d + eab-2)} {Gama (da) Gama (db) Gama (ea) Gama (eb)}}}$

kde

${displaystyle lambda = f ^ {- 1} left [(f-a) (f-b) - (1 + f-d) (1 + f-e )ight].}$

Viz také

• Základní bilaterální hypergeometrická řada

Reference

• Bailey, W. N. (1959), „Na součtu konkrétní bilaterální hypergeometrické řady ₃H₃", Quarterly Journal of Mathematics. Oxford. Druhá série, 10: 92–94, doi:10.1093 / qmath / 10.1.92, ISSN  0033-5606, PAN  0107727
• Dougall, J. (1907), „K Vandermondově teorému a několika obecnějších expanzích“, Proc. Edinburgh Math. Soc., 25: 114–132, doi:10.1017 / S0013091500033642
• Slater, Lucy Joan (1966), Zobecněné hypergeometrické funkce, Cambridge, Velká Británie: Cambridge University Press, ISBN  0-521-06483-X, PAN  0201688 (existuje brožovaná brožura z roku 2008 s ISBN  978-0-521-09061-2)