Cliffordova analýza - Clifford analysis - Wikipedia

Tento článek obsahuje a seznam doporučení, související čtení nebo externí odkazy, ale její zdroje zůstávají nejasné, protože jí chybí vložené citace. Prosím pomozte zlepšit tento článek představuji přesnější citace. (Dubna 2009) (Zjistěte, jak a kdy odstranit tuto zprávu šablony)

Cliffordova analýza, použitím Cliffordské algebry pojmenoval podle William Kingdon Clifford, je studie o Dirac operátoři a operátory typu Dirac v analýze a geometrii spolu s jejich aplikacemi. Mezi příklady operátorů typu Dirac patří mimo jiné operátor Hodge – Dirac, ${ displaystyle d + { star} d { star}}$ na Riemannovo potrubí, Diracův operátor v euklidovském prostoru a jeho inverze ${ displaystyle C_ {0} ^ { infty} ( mathbf {R} ^ {n})}$ a jejich konformní ekvivalenty na sféře, Laplacian v euklidovštině n-prostor a Atiyah –Singer –dirac operátor na a roztočit potrubí, Operátoři typu Rarita – Schwinger / Stein – Weiss, konformní Laplaciani, rotační Laplaciani a Diracovi operátoři na Roztočit^C rozdělovače, systémy operátorů Dirac, Operátor Paneitz, Operátoři Dirac hyperbolický prostor hyperbolické Laplaciánské a Weinsteinovy ​​rovnice.

Euklidovský prostor

V euklidovském prostoru má formu Diracův operátor

${ displaystyle D = suma _ {j = 1} ^ {n} e_ {j} { frac { částečné} { částečné x_ {j}}}}$

kde E₁, ..., E_n je ortonormální základ pro Rⁿ, a Rⁿ je považován za vložený do komplexu Cliffordova algebra, Cl_n(C) aby E_j² = −1.

To dává

${ displaystyle D ^ {2} = - Delta _ {n}}$

kde Δ_n je Laplacian v n-euklidovský prostor.

The zásadní řešení k euklidovskému Diracovi operátorovi je

${ displaystyle G (x-y): = { frac {1} { omega _ {n}}} { frac {x-y} { | x-y | ^ {n}}}}$

kde ω_n je povrchová plocha jednotkové koule Sⁿ⁻¹.

Všimněte si, že

${ displaystyle D { frac {1} {(n-2) omega _ {n} | x-y | ^ {n-2}}} = G (x-y)}$

kde

${ displaystyle { frac {1} {(n-2) ; omega _ {n} ; | x-y | ^ {n-2}}}}$

je zásadní řešení na Laplaceova rovnice pro n ≥ 3.

Nejzákladnějším příkladem operátora Dirac je Cauchy – Riemannův operátor

${ displaystyle { frac { částečné} { částečné x}} + i { frac { částečné} { částečné y}}}$

v komplexní rovině. Opravdu mnoho základních vlastností jedné proměnné komplexní analýza sledujte mnoho operátorů typu Dirac první objednávky. V euklidovském prostoru to zahrnuje a Cauchyova věta, a Cauchyho integrální vzorec, Morerova věta, Taylor série, Laurentova řada a Liouvilleova věta. V tomto případě Cauchyovo jádro je G(X−y). Důkaz Cauchyho integrální vzorec je stejný jako v jedné komplexní proměnné a využívá skutečnosti, že každý nenulový vektor X v euklidovském prostoru má multiplikativní inverzi v Cliffordově algebře, a to

${ displaystyle - { frac {x} { | x | ^ {2}}} v mathbf {R} ^ {n}.}$

Až do znaménka je tato inverzní hodnota Kelvin inverzní z X. Řešení euklidovské Diracovy rovnice Df = 0 se nazývá (vlevo) monogenní funkce. Monogenní funkce jsou speciální případy harmonické spinory na roztočit potrubí.

Ve 3 a 4 dimenzích se Cliffordova analýza někdy označuje jako kvartérní analýza. Když n = 4, je Diracův operátor někdy označován jako Cauchy – Riemann – Fueterův operátor. Dále jsou některé aspekty Cliffordovy analýzy označovány jako hyperkomplexní analýza.

Cliffordova analýza má obdoby Cauchy transformuje, Bergmanova jádra, Szegő jádra, Operátoři Plemelj, Odolné prostory, a Kerzman – Steinův vzorec a Π, nebo Beurling – Ahlfors, přeměnit. Všichni našli řešení při řešení problémy s hraniční hodnotou, včetně problémů s posouváním okrajových hodnot, singulární integrály a klasická harmonická analýza. K řešení byla jistě použita zejména Cliffordova analýza Sobolevovy prostory, problém plné vodní vlny ve 3D. Tato metoda funguje ve všech dimenzích větších než 2.

Hodně z Cliffordovy analýzy funguje, pokud komplex vyměníme Cliffordova algebra skutečným Cliffordova algebra, Cl_n. Není tomu tak, když se musíme vypořádat s interakcí mezi Dirac operátor a Fourierova transformace.

Fourierova transformace

Když vezmeme v úvahu horní polovinu prostoru R^n,+ s hranicí Rⁿ⁻¹rozpětí E₁, ..., E_n−1, pod Fourierova transformace symbol operátora Dirac

${ displaystyle D_ {n-1} = součet _ {j = 1} ^ {n-1} { frac { částečný} { částečný x_ {j}}}}$

je iζ kde

${ displaystyle zeta = zeta _ {1} e_ {1} + cdots + zeta _ {n-1} e_ {n-1}.}$

V tomto nastavení Plemeljovy vzorce jsou

${ displaystyle pm { tfrac {1} {2}} + G (x-y) | _ { mathbf {R} ^ {n-1}}}$

a symboly pro tyto operátory jsou až do znaménka,

${ displaystyle { frac {1} {2}} vlevo (13 i i frac { zeta} { | zeta |}} vpravo).}$

Jedná se o operátory projekce, jinak známé jako vzájemně ničící idempotenty, do prostoru Cl_n(C) hodnotné čtvercové integrovatelné funkce na Rⁿ⁻¹.

Všimněte si, že

${ displaystyle G | _ { mathbf {R} ^ {n}} = součet _ {j = 1} ^ {n-1} e_ {j} R_ {j}}$

kde R_j je j-tý Rieszův potenciál,

${ displaystyle { frac {x_ {j}} { | x | ^ {n}}}.}$

Jako symbol ${ displaystyle G | _ { mathbf {R} ^ {n}}}$ je

${ displaystyle { frac {i zeta} { | zeta |}}}$

z Cliffordova násobení se to snadno určí

${ displaystyle sum _ {j = 1} ^ {n-1} R_ {j} ^ {2} = 1.}$

Takže operátor konvoluce ${ displaystyle G | _ { mathbf {R} ^ {n}}}$ je přirozené zobecnění euklidovského prostoru Hilbertova transformace.

Předpokládat U′ Je doména v Rⁿ⁻¹ a G(X) je Cl_n(C) oceněn skutečná analytická funkce. Pak G má Rozšíření Cauchy – Kovalevskaia do Diracova rovnice na nějakém sousedství U' v Rⁿ. Přípona je výslovně dána

${ displaystyle sum _ {j = 0} ^ { infty} left (x_ {n} e_ {n} ^ {- 1} D_ {n-1} right) ^ {j} g (x). }$

Když je toto rozšíření aplikováno na proměnnou X v

${ displaystyle e ^ {- i langle x, zeta rangle} left ({ tfrac {1} {2}} left (1 pm i { frac { zeta} { | zeta |}} doprava) doprava)}$

máme to

${ displaystyle e ^ {- i langle x, zeta rangle}}$

je omezení na Rⁿ⁻¹ z E₊ + E₋ kde E₊ je monogenní funkce v horní polovině prostoru a E₋ je monogenní funkce ve spodní polovině prostoru.

Je tam také Paley – Wienerova věta v n-Euklidovský prostor vznikající při Cliffordově analýze.

Konformní struktura

Mnoho operátorů typu Dirac má kovarianci při konformní změně metriky. To platí pro operátor Dirac v euklidovském prostoru a operátor Dirac ve sféře pod Möbiově transformací. Toto tedy platí pro provozovatele Dirac konformně ploché rozdělovače a konformní potrubí které jsou současně rozdělovací potrubí.

Cayleyova transformace (stereografická projekce)

The Cayleyova transformace nebo stereografická projekce z Rⁿ do sféry jednotek Sⁿ transformuje euklidovský Diracův operátor na sférický Diracův operátor D_S. Výslovně

${ displaystyle D_ {S} = x left ( Gamma _ {n} + { frac {n} {2}} right)}$

kde Γ_n je sférický operátor Beltrami – Dirac

${ displaystyle sum nolimits _ {1 leq i$

a X v Sⁿ.

The Cayleyova transformace přes n-prostor je

${ displaystyle y = C (x) = (e_ {n + 1} x + 1) (x + e_ {n + 1}) ^ {- 1}, qquad x in mathbf {R} ^ {n }.}$

Jeho inverzní je

${ displaystyle x = (- e_ {n + 1} +1) (y-e_ {n + 1}) ^ {- 1}.}$

Pro funkci F(X) definované v doméně U v n-euklidovský prostor a řešení Diracova rovnice, pak

${ displaystyle J (C ^ {- 1}, y) f (C ^ {- 1} (y))}$

je zničen D_S, na C(U) kde

${ displaystyle J (C ^ {- 1}, y) = { frac {y-e_ {n + 1}} { | y-e_ {n + 1} | ^ {n}}}.}$

Dále

${ displaystyle D_ {S} (D_ {S} -x) = trojúhelník _ {S},}$

konformní operátor Laplacian nebo Yamabe zapnutý Sⁿ. Výslovně

${ displaystyle trojúhelník _ {S} = - trojúhelník _ {LB} + { tfrac {1} {4}} n (n-2)}$

kde ${ displaystyle trojúhelník _ {LB}}$ je Operátor Laplace – Beltrami na Sⁿ. Operátor ${ displaystyle trojúhelník _ {S}}$ je prostřednictvím Cayleyovy transformace konformně ekvivalentní euklidovskému Laplacianu. Taky

${ displaystyle D_ {s} (D_ {S} -x) (D_ {S} -x) (D_ {S} -2x)}$

je operátor Paneitz,

${ displaystyle - trojúhelník _ {S} ( trojúhelník _ {S} +2),}$

na n-koule. Prostřednictvím Cayleyovy transformace je tento operátor shodně ekvivalentní s bi-Laplacian, ${ displaystyle trojúhelník _ {n} ^ {2}}$. Toto jsou všechny příklady operátorů typu Dirac.

Möbiova transformace

A Möbiova transformace přes n-euklidovský prostor lze vyjádřit jako

${ displaystyle { frac {ax + b} {cx + d}},}$

kde A, b, C a d ∈ Cl_n a uspokojit určitá omezení. Přidružené 2 × 2 matice se nazývá matice Ahlfors – Vahlen. Li

${ displaystyle y = M (x) + { frac {ax + b} {cx + d}}}$

a Df(y) = 0 tedy ${ displaystyle J (M, x) f (M (x))}$ je řešení Diracovy rovnice kde

${ displaystyle J (M, x) = { frac { widetilde {cx + d}} { | cx + d | ^ {n}}}}$

a ~ je základní antiautomorfismus působící na Cliffordova algebra. Provozovatelé D^knebo Δ_n^k/2 když k je dokonce, vystavovat podobné kovarianty pod Möbiova transformace včetně Cayleyova transformace.

Když sekera+b a cx+d jsou nenulové, oba jsou členy Cliffordova skupina.

Tak jako

${ displaystyle { frac {ax + b} {cx + d}} = { frac {-ax-b} {- cx-d}}}$

pak máme na výběr přihlašovací jméno při definování J(M, X). To znamená, že pro a konformně ploché potrubí M potřebujeme spinová struktura na M za účelem definice a spinorský svazek na jejichž úsecích můžeme dovolit operátorovi Dirac jednat. Mezi explicitní jednoduché příklady patří n- válec, Hopf potrubí získáno od n-euklidovský prostor minus počátek a zobecnění k- manipulované torusy získané z horní poloviny prostoru tím, že ji rozdělí působením zobecněných modulárních skupin působících na horní polovinu prostoru zcela diskontinuálně. A Dirac operátor lze zavést v těchto kontextech. Tito operátoři Diracu jsou speciálními příklady operátorů Atiyah – Singer – Dirac.

Provozovatel Atiyah – Singer – Dirac

Vzhledem k roztočit potrubí M s spinorský svazek S a hladký řez s(X) v S pak, pokud jde o místní ortonormální základ E₁(X), ..., E_n(X) tangenta svazku M, operátor Atiyah – Singer – Dirac s je definován jako

${ displaystyle Ds (x) = součet _ {j = 1} ^ {n} e_ {j} (x) { tilde { Gamma}} _ {e_ {j} (x)} s (x), }$

kde ${ displaystyle { widetilde { Gamma}}}$ je spin připojení, zvedání do S z Připojení Levi-Civita na M. Když M je n-euklidovský prostor, vrátíme se do euklidovského prostoru Dirac operátor.

Od operátora Atiyah – Singer – Dirac D máme Lichnerowiczův vzorec

${ displaystyle D ^ {2} = Gamma ^ {*} Gamma + { tfrac { tau} {4}},}$

kde τ je skalární zakřivení na potrubí a Γ^∗ je adjungem Γ. Operátor D² je známý jako spinorial Laplacian.

Li M je kompaktní a τ ≥ 0 a τ > 0 někde pak nejsou žádné netriviální harmonické spinory na potrubí. Toto je Lichnerowiczova věta. Je snadno vidět, že Lichnerowiczova věta je zobecněním Liouvilleova věta z jedné variabilní komplexní analýzy. To nám umožňuje poznamenat, že v prostoru hladkých spinorových sekcí operátor D je invertibilní takové potrubí.

V případech, kdy je operátor Atiyah – Singer – Dirac invertibilní v prostoru hladkých spinorových sekcí s kompaktní podporou, lze zavést

${ displaystyle C (x, y): = D ^ {- 1} * delta _ {y}, qquad x neq y v M,}$

kde δ_y je Diracova delta funkce hodnoceno na y. To vede k a Cauchyovo jádro, který je zásadní řešení tomuto operátorovi Dirac. Z toho lze získat a Cauchyho integrální vzorec pro harmonické spinory. S tímto jádrem se mnoho z toho, co je popsáno v první části tohoto záznamu, provádí pro invertibilní operátory Atiyah – Singer – Dirac.

Použitím Stokesova věta Jinak lze dále určit, že při konformní změně metriky jsou Dirac operátory spojené s každou metrikou navzájem úměrné, a tedy i jejich inverze, pokud existují.

To vše poskytuje potenciální odkazy na teorii indexů Atiyah – Singer a další aspekty geometrické analýzy zahrnující operátory typu Dirac.

Provozovatelé hyperbolického typu Dirac

V Cliffordově analýze se uvažuje také o diferenciálních operátorech na horní polovině prostoru, disku nebo hyperbole s ohledem na hyperbolický, nebo Poincarého metrika.

Pro horní polovinu prostoru jeden rozdělí Cliffordova algebra, Cl_n do Cl_n−1 + Cl_n−1E_n. Tak pro A v Cl_n jeden může vyjádřit A tak jako b + ce_n s A, b v Cl_n−1. Jeden pak má projekční operátory P a Q definováno následovně P(A) = b a Q(A) = C. Operátor Hodge – Dirac působící na funkci F s ohledem na hyperbolickou metriku v horní polovině prostoru je nyní definována jako

${ displaystyle Mf = Df + { frac {n-2} {x_ {n}}} Q (f)}$.

V tomto případě

${ displaystyle M ^ {2} f = - trojúhelník _ {n} P (f) + { frac {n-2} {x_ {n}}} { frac { částečný P (f)} { částečné x_ {n}}} - vlevo ( trojúhelník _ {n} Q (f) - { frac {n-2} {x_ {n}}} { frac { částečné Q (f)} { částečné x_ {n}}} + { frac {n-2} {x_ {n} ^ {2}}} Q (f) vpravo) e_ {n}}$.

Operátor

${ displaystyle trojúhelník _ {n} - { frac {n-2} {x_ {n}}} { frac { částečné} { částečné x_ {n}}}}$

je Laplacian s respektem k Poincarého metrika zatímco druhý operátor je příkladem Weinsteinova operátoru.

The hyperbolický Laplacian je invariantní pod akcemi konformní skupiny, zatímco hyperbolický Diracův operátor je kovariantní pod takovými akcemi.

Operátoři Rarita – Schwinger / Stein – Weiss

Operátoři Rarita – Schwinger, známé také jako Stein – Weissovy operátory, vznikají v teorii reprezentace pro Spin a Připnout skupiny. Operátor R_k je konformně kovariantní operátor diferenciálu prvního řádu. Tady k = 0, 1, 2, .... Kdy k = 0, operátor Rarita – Schwinger je pouze operátor Dirac. V teorii reprezentace pro ortogonální skupina, O (n) je běžné uvažovat o funkcích, které mají hodnoty v homogenních prostorech harmonické polynomy. Když to člověk zjemní teorie reprezentace na dvojitý krycí kolík (n) O (n) jeden nahradí mezery homogenních harmonických polynomů mezerami k homogenní polynom řešení Diracovy rovnice, jinak známé jako k monogenní polynomy. Jeden uvažuje o funkci F(X, u) kde X v U, doména v Rⁿ, a u mění se Rⁿ. Dále F(X, u) je k-monogenní polynom v u. Nyní použijte operátor Dirac D_X v X na F(X, u). Protože Cliffordova algebra není komutativní D_XF(X, u) pak tato funkce již není k monogenní, ale je homogenním harmonickým polynomem v u. Nyní pro každý harmonický polynom h_k homogenní stupně k tady je Almansi-Fischerův rozklad

${ displaystyle h_ {k} (x) = p_ {k} (x) + xp_ {k-1} (x)}$

kde p_k a p_k−1 jsou příslušně k a k−1 monogenní polynomy. Nechat P být projekcí h_k na p_k pak je definován operátor Rarita – Schwinger PD_k, a je označen R_k. To může určit použití Eulerovy lemmy

${ displaystyle D_ {u} up_ {k-1} (u) = (- n-2k + 2) p_ {k-1}.}$

Tak

${ displaystyle R_ {k} = left (I + { frac {1} {n + 2k-2}} uD_ {u} right) D_ {x}.}$

Konference a časopisy

Kolem Cliffordu a Geometric Algebras existuje živá a interdisciplinární komunita s širokou škálou aplikací. Mezi hlavní konference týkající se tohoto tématu patří Mezinárodní konference o Cliffordových algebrách a jejich aplikacích v matematické fyzice (ICCA) a Aplikace geometrické algebry v informatice a inženýrství (AGACSE) série. Hlavním výstupem publikace je časopis Springer Pokroky v aplikované Cliffordské algebře.

Viz také

• Cliffordova algebra
• Složitá struktura odstřeďování
• Konformní potrubí
• Konformně ploché potrubí
• Dirac operátor
• Poincarého metrika
• Spin skupina
• Struktura točení
• Spinor svazek

Reference

• Ahlfors, L.V. (1981), Möbiovy transformace v několika dimenzích„Ordway profesorské přednášky z matematiky, University of Minnesota, hdl:2027 / mdp. 39015015619276, OCLC  681384835.
• Ahlfors, L. (1986), „Mobius transformations in Rⁿ vyjádřeno pomocí 2 × 2 matic Cliffordových čísel ", Složité proměnné, 5: 215–224, doi:10.1080/17476938608814142.
• Brackx, F .; Delanghe, R .; Sommen, F. (1982), Cliffordova analýza, Pitman Research Notes in Mathematics, Longman, ISBN  0-273-08535-2.
• Bures, J .; Sommen, F .; Souček, V .; VanLancker, P. (2001), „operátoři typu Rarita – Schwinger v Cliffordově analýze“, Journal of Functional Analysis, 185 (2): 425–455, doi:10.1006 / jfan.2001.3781.
• Colombo, F .; Sabadini, I .; Sommen, F .; Struppa, D. (2004), Analýza Diracových systémů a výpočetní algebryPokrok v matematické fyzice, Birkhauser Verlag, ISBN  0-8176-4255-2.
• Eastwood, M .; Ryan, J. (2007), "Aspekty provozovatelů Dirac v analýze", Milan Journal of Mathematics, 75 (1): 91–116, doi:10.1007 / s00032-007-0077-5.
• Friedrich, T. (2000), Diracoví operátoři v Riemannově geometrii, Postgraduální studium matematiky, 25, Americká matematická společnost.
• Jefferies, B. (2004), Spektrální vlastnosti nezávazných operátorůPřednášky z matematiky, 1843, Springer Verlag, ISBN  3-540-21923-4.
• Krausshar, R. S. (2004), Zobecněné analytické automorfní formy v hyperkomplexním prostoru, Frontiers in Mathematics, Birkhauser Verlag, ISBN  3-7643-7059-9.
• Lawson, H. B .; Michelsohn, M.-L. (1989), Geometrie točení, Princetonská matematická řada, 38, Princeton University Press, ISBN  0-691-08542-0.
• McIntosh, A. (1996), „Clifford algebras, Fourierova teorie, singulární integrály a harmonické funkce na Lipschitzových doménách“, Ryan, J. (ed.), Clifford Algebras v analýze a souvisejících tématech„Studium pokročilé matematiky, CRC Press, str. 33–87, ISBN  0-8493-8481-8.
• Mitrea, M. (1994), Singulární integrály, Hardy Spaces a Clifford WaveletsPřednášky z matematiky, 1575, Springer Verlag, ISBN  0-387-57884-6.
• Roe, J. (1998), Eliptické operátory, topologie a asymptotické metody, Pitman Research Notes in Mathematics, 395 Longman (2. vyd.), Harlow, ISBN  0-582-32502-1.
• Ryan, J. (1996), Clifford Algebras v Analýze a souvisejících tématech„Studium pokročilé matematiky, CRC Press, ISBN  0-8493-8481-8.
• Stein, E .; Weiss, G. (1968), „Zevšeobecnění Cauchy Riemannovy rovnice a reprezentace rotační skupiny ", American Journal of Mathematics, 90 (1): 163–196, doi:10.2307/2373431, JSTOR  2373431.
• Sudbery, A. (1979), "Kvartérní analýza", Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society, 85 (02): 199–225, Bibcode:1979 MPCPS..85..199S, doi:10.1017 / S0305004100055638.
• Tao, T. (1996), "Konvoluční operátoři na grafech Lipschitz s harmonickými jádry ", Pokroky v aplikované Cliffordské algebře, 6: 207–218, ISSN  0188-7009.
• Wu, S. (1999), „Well-posedness in Sobolevovy prostory problému plné vodní vlny ve 3-D ", Journal of the American Mathematical Society, 12 (02): 445–495, doi:10.1090 / S0894-0347-99-00290-8.

externí odkazy

• Poznámky k přednášce o operátorech Dirac v oblasti analýzy a geometrie
• Calderbank, David M.J. (1997-12-19), Dirac operátoři a Clifford analýza na potrubí s hranicí, Danish Mathematical Society, DMF-1997-12-007 PP-1997-53, archivovány od originál dne 13. 8. 2009