Model Wess – Zumino – Witten - Wess–Zumino–Witten model

v teoretická fyzika a matematika, a Wess – Zumino – Witten (WZW) Modelka, také nazývaný a Model Wess – Zumino – Novikov – Witten, je typ teorie dvourozměrného konformního pole pojmenoval podle Julius Wess, Bruno Zumino, Sergej Novikov a Edward Witten.^[1][2][3][4] Model WZW je přidružen k Lež skupina (nebo superskupina ) a jeho symetrická algebra je afinní Lieova algebra postaveno z odpovídajících Lež algebra (nebo Lež superalgebra ). Rozšířením se název modelu WZW někdy používá pro jakoukoli teorii konformního pole, jejíž algebra symetrie je afinní Lieova algebra.^[5]

Akce

Definice

Pro ${ displaystyle Sigma}$ A Riemannův povrch, ${ displaystyle G}$ A Lež skupina, a ${ displaystyle k}$ (obecně složité) číslo, definujme ${ displaystyle G}$-WZW model zapnutý ${ displaystyle Sigma}$ na úrovni ${ displaystyle k}$. Model je a nelineární sigma model jehož akce je funkce pole ${ displaystyle gamma: Sigma až G}$:

${ displaystyle S_ {k} ( gamma) = - { frac {k} {8 pi}} int _ { Sigma} d ^ {2} x , { mathcal {K}} vlevo ( gamma ^ {- 1} částečné ^ { mu} gamma, gamma ^ {- 1} částečné _ { mu} gamma pravé) +2 pi kS ^ { mathrm {W} Z} ( gamma).}$

Tady, ${ displaystyle Sigma}$ je vybaven bytem Euklidovská metrika, ${ displaystyle částečné _ { mu}}$ je parciální derivace, a ${ displaystyle { mathcal {K}}}$ je Formulář zabíjení na Lež algebra z ${ displaystyle G}$. The Wess – Zumino termín akce je

${ displaystyle S ^ { mathrm {W} Z} ( gamma) = - { frac {1} {48 pi ^ {2}}} int _ { mathbf {B} ^ {3}} d ^ {3} y , epsilon ^ {ijk} { mathcal {K}} vlevo ( gamma ^ {- 1} částečné _ {i} gamma, vlevo [ gamma ^ {- 1} částečný _ {j} gamma, gamma ^ {- 1} částečný _ {k} gamma pravý] pravý).}$

Tady ${ displaystyle epsilon ^ {ijk}}$ je zcela anti-symetrický tenzor, a ${ displaystyle [.,.]}$ je Ležící závorka. Termín Wess – Zumino je integrálem v trojrozměrném potrubí ${ displaystyle mathbf {B} ^ {3}}$ jehož hranice je ${ displaystyle částečné mathbf {B} ^ {3} = Sigma}$.

Topologické vlastnosti termínu Wess – Zumino

Aby měl výraz Wess – Zumino smysl, potřebujeme pole ${ displaystyle gamma}$ mít příponu ${ displaystyle mathbf {B} ^ {3}}$. To vyžaduje homotopická skupina ${ displaystyle pi _ {2} (G)}$ být triviální, což platí zejména pro jakoukoli kompaktní Lieovu skupinu ${ displaystyle G}$.

Rozšíření daného ${ displaystyle gamma: Sigma až G}$ na ${ displaystyle mathbf {B} ^ {3}}$ není obecně jedinečný. Aby byl model WZW dobře definovaný, ${ displaystyle e ^ {iS_ {k} ( gamma)}}$ by nemělo záviset na výběru rozšíření. Wess – Zumino termín je neměnný při malých deformacích ${ displaystyle gamma}$, a záleží pouze na jeho třída homotopy. Možné třídy homotopy jsou kontrolovány skupinou homotopy ${ displaystyle pi _ {3} (G)}$.

Pro jakoukoli kompaktní propojenou jednoduchou Lieovu skupinu ${ displaystyle G}$, my máme ${ displaystyle pi _ {3} (G) = mathbb {Z}}$a různá rozšíření ${ displaystyle gamma}$ vést k hodnotám ${ displaystyle S ^ { mathrm {W} Z} ( gamma)}$ které se liší podle celých čísel. Proto vedou ke stejné hodnotě ${ displaystyle e ^ {iS_ {k} ( gamma)}}$ za předpokladu, že hladina poslouchá

${ displaystyle k in mathbb {Z}.}$

Celočíselné hodnoty úrovně také hrají důležitou roli v teorii reprezentace algebry symetrie modelu, která je afinní Lieova algebra. Pokud je úroveň kladné celé číslo, má afinní Lieova algebra jednotnou nejvyšší váhu reprezentace s nejvyšší závaží které jsou dominantním integrálem. Taková reprezentace se rozkládají na konečněrozměrné subreprezentace s ohledem na subalgebry překlenuté každou jednoduchý kořen, odpovídající záporný kořen a jejich komutátor, což je a Generátor kartanu.

V případě nekompaktní jednoduché Lieovy skupiny ${ displaystyle mathrm {SL} (2, mathbb {R})}$, skupina homotopy ${ displaystyle pi _ {3} ( mathrm {SL} (2, mathbb {R}))}$ je triviální a úroveň není omezena na celé číslo.^[6]

Geometrická interpretace termínu Wess – Zumino

Li E_A jsou základní vektory pro Lež algebra, pak ${ displaystyle { mathcal {K}} (e_ {a}, [e_ {b}, e_ {c}])}$ jsou strukturní konstanty lži algebry. Konstanty struktury jsou zcela anti-symetrické, a proto definují a 3-forma na skupinové potrubí z G. Celé číslo výše je tedy pouze zarazit harmonické 3-formy do koule ${ displaystyle mathbf {B} ^ {3}.}$ Označujeme harmonický 3-tvar C a návrat zpět ${ displaystyle gamma ^ {*},}$ jeden pak má

${ displaystyle S ^ { mathrm {W} Z} ( gamma) = int _ { mathbf {B} ^ {3}} gamma ^ {*} c.}$

Tato forma vede přímo k topologické analýze termínu WZ.

Geometricky tento termín popisuje kroucení příslušného potrubí.^[7] Přítomnost této torze je nutná teleparallelism potrubí, a tedy bagatelizace torzních tenzor zakřivení; a tedy zastavení toku renormalizace, an infračervený pevný bod z renormalizační skupina, fenomén nazývaný geometrostáza.

Symetrická algebra

Zobecněná skupinová symetrie

Model Wess-Zumino-Witten je nejen symetrický při globálních transformacích pomocí skupinového prvku v ${ displaystyle G}$, ale má také mnohem bohatší symetrii. Tato symetrie se často nazývá ${ displaystyle G (z) krát G ({ bar {z}})}$ symetrie.^[8] Jmenovitě, vzhledem k jakékoli holomorfní ${ displaystyle G}$-hodnotená funkce ${ displaystyle Omega (z)}$a jakékoli jiné (zcela nezávislé na ${ displaystyle Omega (z)}$) antiholomorfní ${ displaystyle G}$-hodnotená funkce ${ displaystyle { bar { Omega}} ({ bar {z}})}$, kde jsme identifikovali ${ displaystyle z = x + iy}$ a ${ displaystyle { bar {z}} = x-iy}$ ve smyslu euklidovských vesmírných souřadnic ${ displaystyle x, y}$, platí tato symetrie:

${ displaystyle S_ {k} ( gamma) = S_ {k} ( Omega gamma { bar { Omega}} ^ {- 1})}$

Jedním ze způsobů, jak dokázat existenci této symetrie, je opakovaná aplikace identity Polyakov-Wiegmann týkající se produktů společnosti ${ displaystyle G}$-vyhodnocená pole:

${ displaystyle S_ {k} ( alpha beta ^ {- 1}) = S_ {k} ( alpha) + S_ {k} ( beta) + { frac {k} {16 pi ^ {2 }}} int d ^ {2} x { textrm {Tr}} ( alpha ^ {- 1} částečný _ { bar {z}} alpha beta ^ {- 1} částečný _ {z } beta)}$

Holomorfní a anti-holomorfní proudy ${ displaystyle J (z) = - { frac {1} {2}} k ( částečný _ {z} gamma) gamma ^ {- 1}}$ a ${ displaystyle { bar {J}} ({ bar {z}}) = - { frac {1} {2}} k gamma ^ {- 1} částečný _ { bar {z}} gamma}$ jsou konzervované proudy spojené s touto symetrií. Singulární chování produktů těchto proudů s jinými kvantovými poli určuje, jak se tato pole transformují při infintessimálních akcích ${ displaystyle G (z) krát G ({ bar {z}})}$ skupina.

Afinní Lieova algebra

Nechat ${ displaystyle z}$ být lokální komplexní souřadnicí na ${ displaystyle Sigma}$, ${ displaystyle {t ^ {a} }}$ ortonormální základ (s ohledem na Formulář zabíjení ) Lieovy algebry ${ displaystyle G}$, a ${ displaystyle J ^ {a} (z)}$ kvantování pole ${ displaystyle { mathcal {K}} (t ^ {a}, částečný _ {z} gg ^ {- 1})}$. Máme následující rozšíření produktu operátora:

${ displaystyle J ^ {a} (z) J ^ {b} (w) = { frac {k delta ^ {ab}} {(zw) ^ {2}}} + { frac {if_ {c } ^ {ab} J ^ {c} (w)} {zw}} + { mathcal {O}} (1),}$

kde ${ displaystyle f_ {c} ^ {ab}}$ jsou takové koeficienty, že ${ displaystyle [t ^ {a}, t ^ {b}] = f_ {c} ^ {ab} t ^ {c}}$. Ekvivalentně, pokud ${ displaystyle J ^ {a} (z)}$ je rozšířen v režimech

${ displaystyle J ^ {a} (z) = součet _ {n in mathbb {Z}} J_ {n} ^ {a} z ^ {- n-1},}$

pak aktuální algebra generováno uživatelem ${ displaystyle {J_ {n} ^ {a} }}$ je afinní Lieova algebra spojené s Lieovou algebrou ${ displaystyle G}$s úrovní, která se shoduje s úrovní ${ displaystyle k}$ modelu WZW.^[5] Li ${ displaystyle { mathfrak {g}} = mathrm {Lie} (G)}$, zápis pro afinní Lieovu algebru je ${ displaystyle { hat { mathfrak {g}}} _ {k}}$. Komutační vztahy afinní Lieovy algebry jsou

${ displaystyle [J_ {n} ^ {a}, J_ {m} ^ {b}] = f_ {c} ^ {ab} J_ {m + n} ^ {c} + kn delta ^ {ab} delta _ {n + m, 0}.}$

Tato afinní Lieova algebra je chirální symetrická algebra spojená s levými proudy ${ displaystyle { mathcal {K}} (t ^ {a}, částečný _ {z} gg ^ {- 1})}$. Druhá kopie stejné afinní Lieovy algebry je spojena s proudy pohybujícími se vpravo ${ displaystyle { mathcal {K}} (t ^ {a}, g ^ {- 1} částečný _ { bar {z}} g)}$. Generátory ${ displaystyle { bar {J}} ^ {a} (z)}$ druhé kopie jsou antiholomorfní. Plná symetrická algebra modelu WZW je produktem dvou kopií afinní Lieovy algebry.

Konstrukce Sugawara

Konstrukce Sugawara je vložením Virasoro algebra do univerzální obklopující algebry afinní Lieovy algebry. Existence vložení ukazuje, že modely WZW jsou teorie konformních polí. Navíc to vede k Knizhnik-Zamolodchikov rovnice pro korelační funkce.

Konstrukce Sugawara je nejvýstižněji napsána na úrovni proudů: ${ displaystyle J ^ {a} (z)}$ pro afinní Lieovu algebru a tenzor energetické hybnosti ${ displaystyle T (z)}$ pro Virasoro algebru:

${ displaystyle T (z) = { frac {1} {2 (k + h ^ { vee})}} součet _ {a}: J ^ {a} J ^ {a} :( z), }$

Kde ${ displaystyle:}$ označuje normální řazení a ${ displaystyle h ^ { vee}}$ je duální číslo coxeteru. Pomocí OPE proudů a verze Wickova věta lze odvodit, že OPE ${ displaystyle T (z)}$ sama se sebou je dána^[5]

${ displaystyle T (y) T (z) = { frac { frac {c} {2}} {(yz) ^ {4}}} + { frac {2T (z)} {(yz) ^ {2}}} + { frac { částečné T (z)} {yz}} + { mathcal {O}} (1),}$

což je ekvivalentní komutačním vztahům Virasoro algebry. Centrální náboj Virasoro algebry je uveden z hlediska úrovně ${ displaystyle k}$ afinní Lieovy algebry od

${ displaystyle c = { frac {k mathrm {dim} ({ mathfrak {g}})} {k + h ^ { vee}}}.}$

Na úrovni generátorů afinní Lieovy algebry se čte konstrukce Sugawara

${ displaystyle L_ {n neq 0} = { frac {1} {2 (k + h ^ { vee})}} sum _ {a} sum _ {m in mathbb {Z}} J_ {nm} ^ {a} J_ {m} ^ {a},}$

${ displaystyle L_ {0} = { frac {1} {2 (k + h ^ { vee})}} left (2 sum _ {a} sum _ {m = 1} ^ { infty } J _ {- m} ^ {a} J_ {m} ^ {a} + J_ {a} ^ {0} J_ {a} ^ {0} right).}$

kde generátory ${ displaystyle L_ {n}}$ Virasoroovy algebry jsou režimy tenzoru energie-hybnosti, ${ displaystyle T (z) = součet _ {n v mathbb {Z}} L_ {n} z ^ {- n-2}}$.

Spektrum

Modely WZW s kompaktními, jednoduše připojenými skupinami

Pokud skupina Lie ${ displaystyle G}$ je kompaktní a jednoduše propojený, pak je model WZW racionální a diagonální: racionální, protože spektrum je vytvořeno z (na úrovni závislé) konečné sady neredukovatelných reprezentací afinní Lieovy algebry zvané integrovatelné reprezentace s nejvyšší hmotností a úhlopříčka, protože reprezentace algebry pohybující se doleva je spojena se stejnou reprezentací algebry pohybující se doprava.^[5]

Například spektrum ${ displaystyle SU (2)}$ Model WZW na úrovni ${ displaystyle k in mathbb {N}}$ je

${ displaystyle { mathcal {S}} _ {k} = bigoplus _ {j = 0, { frac {1} {2}}, 1, dots, { frac {k} {2}}} { mathcal {R}} _ {j} otimes { bar { mathcal {R}}} _ {j} ,}$

kde ${ displaystyle { mathcal {R}} _ {j}}$ je afinní nejvyšší hmotnostní zastoupení točení ${ displaystyle j}$: reprezentace generovaná státem ${ displaystyle | v rangle}$ takhle

${ displaystyle J_ {n <0} ^ {a} | v rangle = J_ {0} ^ {-} | v rangle = 0 ,}$

kde ${ displaystyle J ^ {-}}$ je proud, který odpovídá generátoru ${ displaystyle t ^ {-}}$ lži algebry ${ displaystyle SU (2)}$.

Modely WZW s jinými typy skupin

Pokud skupina ${ displaystyle G}$ je kompaktní, ale není jednoduše propojený, model WZW je racionální, ale nemusí být nutně diagonální. Například ${ displaystyle SO (3)}$ Model WZW existuje i pro celé čísla ${ displaystyle k in 2 mathbb {N}}$a jeho spektrum je ne-diagonální kombinací konečně mnoha integrovatelných reprezentací s nejvyšší hmotností.^[5]

Pokud skupina ${ displaystyle G}$ není kompaktní, model WZW je neracionální. Jeho spektrum může navíc zahrnovat reprezentace, které nemají nejvyšší hmotnost. Například spektrum ${ displaystyle SL (2, mathbb {R})}$ Model WZW je sestaven z nejvyšších váhových reprezentací a jejich obrazů pod spektrofotometrickými automatickými tvary afinní Lieovy algebry.^[6]

Li ${ displaystyle G}$ je superskupina, spektrum může zahrnovat reprezentace, které nefaktorizují jako tenzorové produkty reprezentací algebry symetrie pohybující se vlevo a vpravo. K tomu dochází například v případě ${ displaystyle G = GL (1 | 1)}$,^[9]a také ve složitějších superskupinách, jako je ${ displaystyle G = PSU (1,1 | 2)}$.^[10]Nefaktorizovatelná reprezentace jsou zodpovědná za skutečnost, že odpovídající modely WZW jsou logaritmické teorie konformních polí.

Další teorie založené na afinních Lieových algebrách

Známé konformní polní teorie založené na afinních Lieových algebrách nejsou omezeny na modely WZW. Například v případě afinní Lieovy algebry ${ displaystyle SU (2)}$ WZW model, modulární invariantní funkce torusového oddílu se řídí klasifikací ADE, kde ${ displaystyle SU (2)}$ Model WZW odpovídá pouze řadě A.^[11] Řada D odpovídá ${ displaystyle SO (3)}$ Model WZW a řada E neodpovídá žádnému modelu WZW.

Dalším příkladem je ${ displaystyle H_ {3} ^ {+}}$ Modelka. Tento model je založen na stejné algebře symetrie jako ${ displaystyle SL (2, mathbb {R})}$ WZW model, s nímž souvisí Wickova rotace. Nicméně ${ displaystyle H_ {3} ^ {+}}$ není striktně řečeno model WZW, as ${ displaystyle H_ {3} ^ {+} = SL (2, mathbb {C}) / SU (2)}$ není skupina, ale coset.^[12]

Pole a korelační funkce

Pole

Vzhledem k jednoduché zastoupení ${ displaystyle rho}$ lži algebry ${ displaystyle G}$, an afinní primární pole ${ displaystyle Phi ^ { rho} (z)}$ je pole, které přijímá hodnoty v reprezentačním prostoru ${ displaystyle rho}$, takový, že

${ displaystyle J ^ {a} (y) Phi ^ { rho} (z) = - { frac { rho (t ^ {a}) Phi ^ { rho} (z)} {yz} } + O (1) .}$

Afinní primární pole je také a primární pole pro Virasoro algebru, která je výsledkem konstrukce Sugawara. Konformní dimenze afinního primárního pole je dána z hlediska kvadratického Kazimíra ${ displaystyle C_ {2} ( rho)}$ reprezentace ${ displaystyle rho}$ (tj. vlastní hodnota kvadratické Kazimír prvek ${ displaystyle K_ {ab} t ^ {a} t ^ {b}}$ kde ${ displaystyle K_ {ab}}$ je inverzní k matici ${ displaystyle { mathcal {K}} (t ^ {a}, t ^ {b})}$ formuláře zabíjení)

${ displaystyle Delta _ { rho} = { frac {C_ {2} ( rho)} {2 (k + h ^ { vee})}} .}$

Například v ${ displaystyle SU (2)}$ WZW model, konformní rozměr primárního pole roztočit ${ displaystyle j}$ je

${ displaystyle Delta _ {j} = { frac {j (j + 1)} {k + 2}} .}$

Podle státní polní korespondence odpovídají afinní primární pole afinní primární stavy, což jsou stavy s nejvyšší hmotností reprezentace s nejvyšší hmotností afinní Lieovy algebry.

Korelační funkce

Pokud skupina ${ displaystyle G}$ je kompaktní, spektrum modelu WZW je tvořeno reprezentacemi s nejvyšší hmotností a všechny korelační funkce lze odvodit z korelačních funkcí afinních primárních polí pomocí Totožnosti sboru.

Pokud Riemann povrch ${ displaystyle Sigma}$ je Riemannova sféra, poslouchají korelační funkce afinních primárních polí Knizhnik-Zamolodchikov rovnice. Na Riemannově povrchu vyššího rodu se korelační funkce řídí Knizhnik-Zamolodchikov-Bernardovy rovnice, které zahrnují deriváty nejen poloh polí, ale také modulů povrchu.^[13]

Kalibrované modely WZW

Vzhledem k podskupině Lie ${ displaystyle H podmnožina G}$, ${ displaystyle G / H}$ měřený model WZW (nebo coset model) je nelineární sigma model, jehož cílovým prostorem je kvocient ${ displaystyle G / H}$ pro adjunkční akce z ${ displaystyle H}$ na ${ displaystyle G}$. Tento měřený model WZW je konformní teorií pole, jehož symetrická algebra je kvocientem dvou afinních Lieových algeber ${ displaystyle G}$ a ${ displaystyle H}$ Modely WZW a jejichž centrální poplatek je rozdílem jejich centrálních poplatků.

Aplikace

Model WZW, jehož skupina Lie je univerzální kryt skupiny ${ displaystyle mathrm {SL} (2, mathbb {R})}$ byl použit uživatelem Juan Maldacena a Hirosi Ooguri popsat bosonic teorie strun na trojrozměrný anti-de Sitterův prostor ${ displaystyle AdS_ {3}}$.^[6] Superstruny zapnuty ${ displaystyle AdS_ {3} krát S ^ {3}}$ jsou popsány modelem WZW v superskupině ${ displaystyle PSU (1,1 | 2)}$, nebo jeho deformace, pokud je zapnut tok Ramond-Ramond.^[14][10]

Pro popis přechodu plató v celém čísle byly navrženy modely WZW a jejich deformace kvantový Hallův jev.^[15]

The ${ displaystyle SL (2, mathbb {R}) / U (1)}$ měřený model WZW má interpretaci v teorie strun tak jako Witten dvourozměrná euklidovská černá díra.^[16]Stejný model také popisuje určité dvourozměrné statistické systémy při kritičnosti, jako je kritický antiferomagnetický Pottsův model.^[17]

Reference