Albert algebra - Albert algebra

v matematika, an Albert algebra je 27-dimenzionální výjimečný Jordan algebra. Jsou pojmenovány po Abraham Adrian Albert, který byl průkopníkem ve studiu neasociativní algebry, obvykle pracují přes reálná čísla. Přes reálná čísla existují tři takové jordánské algebry až do izomorfismus.^[1] Jeden z nich, o kterém se poprvé zmínil Pascual Jordan, John von Neumann, a Eugene Wigner  (1934 ) a studoval Albert (1934), je sada 3 × 3 samoadjung matice nad octonions, vybavené binární operací

${ displaystyle x circ y = { frac {1} {2}} (x cdot y + y cdot x),}$

kde ${ displaystyle cdot}$ označuje násobení matice. Jiný je definován stejným způsobem, ale pomocí rozdělené octoniony místo octonionů. Finále je konstruováno z nerozdělených oktonionů pomocí jiné standardní involuce.

Přes všechny algebraicky uzavřené pole, existuje pouze jedna algebra Albert a její skupina automorfismu G je jednoduchá rozdělená skupina typu F₄.^[2][3] (Například složitosti ze tří alberb alberb přes reálná čísla jsou izomorfní algebry alberb přes komplexní čísla.) Z tohoto důvodu pro obecné pole F, algebry Albert jsou klasifikovány podle Galoisova kohomologie skupina H¹(F,G).^[4]

The Kantor – Koecher – Prsa aplikovaný na algebru Albert dává formu E7 Lie algebra. Rozdělená algebra Albert se používá při konstrukci 56-dimenzionální strukturovatelná algebra jehož skupina automorfismu má komponentu identity jednoduše připojenou algebraickou skupinu typu E₆.^[5]

Prostor cohomologické invarianty Albert algebry pole F (charakteristiky ne 2) s koeficienty v Z/2Z je bezplatný modul nad cohomologickým prstenem F se základem 1, F₃, F₅, stupňů 0, 3, 5.^[6] Kohomologické invarianty s 3-torzními koeficienty mají základ 1, G₃ stupňů 0, 3.^[7] Invarianty F₃ a G₃ jsou primární součásti Rost invariantní.

Viz také

• Euklidovská Jordanova algebra pro jordánské algebry uvažované Jordanem, von Neumannem a Wignerem
• Euklidovská Hurwitzova algebra pro podrobnosti o konstrukci algebry Albert pro octonions

Poznámky

Reference

• Albert, A. Adrian (1934), „O určité algebře kvantové mechaniky“, Annals of Mathematics, Druhá série, 35 (1): 65–73, doi:10.2307/1968118, ISSN  0003-486X, JSTOR  1968118
• Garibaldi, přeskočit; Merkurjev, Alexander; Serre, Jean-Pierre (2003), Cohomological invariants in Galois cohomology, Univerzitní přednáškový cyklus, 28, Providence, RI: American Mathematical Society, ISBN  978-0-8218-3287-5, PAN  1999383
• Garibaldi, přeskočit (2009). Kohomologické invarianty: výjimečné skupiny a skupiny Spin. Monografie Americké matematické společnosti. 200. doi:10.1090 / poznámka / 0937. ISBN  978-0-8218-4404-5.
• Jordan, Pascual; Neumann, John von; Vůdce, Eugene (1934), „O algebraické generalizaci kvantového mechanického formalismu“, Annals of Mathematics, 35 (1): 29–64, doi:10.2307/1968117, JSTOR  1968117
• Knus, Max-Albert; Merkurjev, Alexander; Rost, Markus; Tignol, Jean-Pierre (1998), Kniha involucí, Publikace kolokvia, 44„S předmluvou J. Titsa, Providence, RI: Americká matematická společnost, ISBN  978-0-8218-0904-4, Zbl  0955.16001
• McCrimmon, Kevin (2004), Chuť jordánských algeber Universitext, Berlín, New York: Springer-Verlag, doi:10.1007 / b97489, ISBN  978-0-387-95447-9, PAN  2014924
• Springer, Tonny A.; Veldkamp, ​​Ferdinand D. (2000) [1963], Octonions, Jordan algebry a výjimečné skupiny Springer Monografie z matematiky, Berlín, New York: Springer-Verlag, ISBN  978-3-540-66337-9, PAN  1763974

Další čtení

• Petersson, Holger P .; Racine, Michel L. (1994), „Albert algebras“, v Kaup, Wilhelm (ed.), Jordan algebry. Sborník z konference konané v německém Oberwolfachu ve dnech 9. – 15. Srpna 1992, Berlín: de Gruyter, s. 197–207, Zbl  0810.17021
• Petersson, Holger P. (2004). "Věty o struktuře Jordanových algeber stupně tři nad poli libovolných charakteristik". Komunikace v algebře. 32 (3): 1019–1049. CiteSeerX  10.1.1.496.2136. doi:10.1081 / AGB-120027965. S2CID  34280968.
• Albert algebra na Encyclopedia of Mathematics.