Polyakovova akce - Polyakov action

v fyzika, Polyakovova akce je akce z teorie dvourozměrného konformního pole popisující světový list řetězce v teorie strun. To bylo představeno Stanley Deser a Bruno Zumino a nezávisle na L. Brink, P. Di Vecchia a P. S. Howe (v „Lokálně supersymetrické a reparametrizační invariantní akci pro rotující řetězec“, Fyzikální písmena B, 65, s. 369, respektive 471) a je spojen s Alexander Polyakov poté, co to využil při kvantování řetězce (v části „Kvantová geometrie bosonického řetězce“), Fyzikální písmena B, 103, 1981, s. 207). Akce čte

{ displaystyle { mathcal {S}} = {T nad 2} int mathrm {d} ^ {2} sigma { sqrt {-h}} h ^ {ab} g _ { mu nu} (X) částečné _ {a} X ^ { mu} ( sigma) částečné _ {b} X ^ { nu} ( sigma)}

kde ${ displaystyle T}$ je řetězec napětí, ${ displaystyle g _ { mu nu}}$ je metrika cílové potrubí, ${ displaystyle h_ {ab}}$ je metrika světového listu, ${ displaystyle h ^ {ab}}$ jeho inverzní a ${ displaystyle h}$ je určující ${ displaystyle h_ {ab}}$ . The metrický podpis je vybrán tak, aby časové směry byly + a vesmírné směry byly -. Volá se vesmírná souřadnice světového listu ${ displaystyle sigma}$ zatímco se volá časově podobná souřadnice světového listu ${ displaystyle tau}$ . Toto je také známé jako nelineární sigma model.^[1]

Akce Polyakov musí být doplněna Liouville akce popsat fluktuace řetězců.

Globální symetrie

Pozn .: Zde se říká, že symetrie je lokální nebo globální z pohledu dvourozměrné teorie (na světovém listu). Například Lorentzovy transformace, které jsou lokálními symetriemi časoprostoru, jsou globální symetrie teorie na světovém listu.

Akce je neměnný pod časoprostorem překlady a infinitezimální Lorentzovy transformace:

(i)

{ displaystyle X ^ { alpha} rightarrow X ^ { alpha} + b ^ { alpha}}

ii)

{ displaystyle X ^ { alpha} rightarrow X ^ { alpha} + omega _ { beta} ^ { alpha} X ^ { beta}}

kde ${ displaystyle omega _ { mu nu} = - omega _ { nu mu}}$ a ${ displaystyle b ^ { alpha}}$ je konstanta. Toto tvoří Poincarého symetrie cílového potrubí.

Invariance podle bodu (i) následuje od akce ${ displaystyle { mathcal {S}}}$ záleží pouze na první derivaci ${ displaystyle X ^ { alpha}}$ . Důkaz invariance podle bodu (ii) je následující:

${ displaystyle { mathcal {S}} ',}$	${ displaystyle = {T přes 2} int mathrm {d} ^ {2} sigma { sqrt {-h}} h ^ {ab} g _ { mu nu} částečný _ {a} vlevo (X ^ { mu} + omega _ { delta} ^ { mu} X ^ { delta} vpravo) částečné _ {b} vlevo (X ^ { nu} + omega _ { delta} ^ { nu} X ^ { delta} vpravo) ,}$
	${ displaystyle = { mathcal {S}} + {T nad 2} int mathrm {d} ^ {2} sigma { sqrt {-h}} h ^ {ab} left ( omega _ { mu delta} částečné _ {a} X ^ { mu} částečné _ {b} X ^ { delta} + omega _ { nu delta} částečné _ {a} X ^ { delta} částečné _ {b} X ^ { nu} vpravo) + O ( omega ^ {2}) ,}$
	${ displaystyle = { mathcal {S}} + {T nad 2} int mathrm {d} ^ {2} sigma { sqrt {-h}} h ^ {ab} left ( omega _ { mu delta} + omega _ { delta mu} vpravo) částečné _ {a} X ^ { mu} částečné _ {b} X ^ { delta} + O ( omega ^ { 2}) = { mathcal {S}} + O ( omega ^ {2})}$

Místní symetrie

Akce je neměnný pod světovým listem difeomorfismy (nebo transformace souřadnic) a Weylovy transformace.

Difeomorfismy

Předpokládejme následující transformaci:

{ displaystyle sigma ^ { alpha} rightarrow { tilde { sigma}} ^ { alpha} left ( sigma, tau right)}

Transformuje metrický tenzor následujícím způsobem:

{ displaystyle h ^ {ab} ( sigma) rightarrow { tilde {h}} ^ {ab} = h ^ {cd} ({ tilde { sigma}}) { frac { částečný { sigma } ^ {a}} { parciální { tilde { sigma}} ^ {c}}} { frac { parciální { sigma} ^ {b}} { parciální { tilde { sigma}} ^ {d}}}}

Je vidět, že:

{ displaystyle { tilde {h}} ^ {ab} { frac { částečné} { částečné { sigma} ^ {a}}} X ^ { mu} ({ tilde { sigma}}) { frac { částečné} { částečné { sigma} ^ {b}}} X ^ { nu} ({ tilde { sigma}}) = h ^ {cd} ({ tilde { sigma} }) { frac { částečné { sigma} ^ {a}} { částečné { tilde { sigma}} ^ {c}}} { frac { částečné { sigma} ^ {b}} { částečná { tilde { sigma}} ^ {d}}} { frac { částečná} { částečná { sigma} ^ {a}}} X ^ { mu} ({ tilde { sigma} }) { frac { částečné} { částečné { sigma} ^ {b}}} X ^ { nu} ({ tilde { sigma}}) = h ^ {ab} ({ tilde { sigma}}) { frac { částečné} { částečné { tilde { sigma}} ^ {a}}} X ^ { mu} ({ tilde { sigma}}) { frac { částečné } { částečné { tilde { sigma}} ^ {b}}} X ^ { nu} ({ tilde { sigma}})}

Jeden ví, že Jacobian této transformace je dána:

{ displaystyle mathrm {J} = mathrm {det} vlevo ({ frac { částečné { tilde { sigma}} ^ { alfa}} { částečné sigma ^ { beta}}}} že jo)}

což vede k:

{ displaystyle mathrm {d} ^ {2} { tilde { sigma}} = mathrm {J} mathrm {d} ^ {2} sigma ,}

{ displaystyle h = mathrm {det} left (h_ {ab} right) rightarrow { tilde {h}} = mathrm {J} ^ {2} h ,}

a jeden vidí, že:

{ displaystyle { sqrt {- { tilde {h}}}} mathrm {d} ^ {2} { sigma} = { sqrt {-h ({ tilde { sigma}})}}} mathrm {d} ^ {2} { tilde { sigma}}}

shrnující tuto transformaci a rebranding ${ displaystyle { tilde { sigma}} = sigma}$ vidíme, že akce je neměnná.

Weylova transformace

Předpokládejme Weylova transformace:

{ displaystyle h_ {ab} rightarrow { tilde {h}} _ {ab} = Lambda ( sigma) h_ {ab}}

pak:

{ displaystyle { tilde {h}} ^ {ab} = Lambda ^ {- 1} ( sigma) h ^ {ab}}

{ displaystyle mathrm {det} ({ tilde {h}} _ {ab}) = Lambda ^ {2} ( sigma) mathrm {det} (h_ {ab})}

A nakonec:

${ displaystyle { mathcal {S}} ',}$	${ displaystyle = {T přes 2} int mathrm {d} ^ {2} sigma { sqrt {- { tilde {h}}}} { tilde {h}} ^ {ab} g_ { mu nu} (X) částečné _ {a} X ^ { mu} ( sigma) částečné _ {b} X ^ { nu} ( sigma) ,}$
	${ displaystyle = {T přes 2} int mathrm {d} ^ {2} sigma { sqrt {-h}} vlevo ( Lambda Lambda ^ {- 1} vpravo) h ^ {ab } g _ { mu nu} (X) částečné _ {a} X ^ { mu} ( sigma) částečné _ {b} X ^ { nu} ( sigma) = { mathcal {S} }}$

A je vidět, že akce je neměnná pod Weylova transformace. Pokud vezmeme v úvahu n-dimenzionální (prostorově) rozšířené objekty, jejichž působení je úměrné jejich ploše / hyperoblasti světového listu, pokud n = 1, odpovídající Polyakovova akce by obsahovala další termín rozbíjející Weylovou symetrii.

Lze definovat tenzor napětí a energie:

{ displaystyle T ^ {ab} = { frac {-2} { sqrt {-h}}} { frac { delta S} { delta h_ {ab}}}}

Pojďme definovat:

{ displaystyle { hat {h}} _ {ab} = exp left ( phi ( sigma) right) h_ {ab}}

Kvůli Weylova symetrie akce nezávisí na ${ displaystyle phi}$ :

{ displaystyle { frac { delta S} { delta phi}} = { frac { delta S} { delta { hat {h}} _ {ab}}} { frac { delta { hat {h}} _ {ab}} { delta phi}} = - { frac {1} {2}} { sqrt {-h}} , T_ {ab} , e ^ { phi} , h ^ {ab} = - { frac {1} {2}} { sqrt {-h}} , T _ { a} ^ {a} , e ^ { phi} = 0 Rightarrow T _ { a} ^ {a} = 0,}

kde jsme použili funkční derivace řetězové pravidlo.

Vztah s akcí Nambu – Goto

Psaní Euler-Lagrangeova rovnice pro metrický tenzor ${ displaystyle h ^ {ab}}$ jeden získá, že:

{ displaystyle { frac { delta S} { delta h ^ {ab}}} = T_ {ab} = 0}

S vědomím, že:

{ displaystyle delta { sqrt {-h}} = - { frac {1} {2}} { sqrt {-h}} h_ {ab} delta h ^ {ab}}

Lze napsat variační derivaci akce:

{ displaystyle { frac { delta S} { delta h ^ {ab}}} = { frac {T} {2}} { sqrt {-h}} left (G_ {ab} - { frac {1} {2}} h_ {ab} h ^ {cd} G_ {cd} right)}

kde ${ displaystyle G_ {ab} = g _ { mu nu} částečné _ {a} X ^ { mu} částečné _ {b} X ^ { nu}}$ což vede k:

{ displaystyle T_ {ab} = T vlevo (G_ {ab} - { frac {1} {2}} h_ {ab} h ^ {cd} G_ {cd} vpravo) = 0}

{ displaystyle G_ {ab} = { frac {1} {2}} h_ {ab} h ^ {cd} G_ {cd}}

{ displaystyle G = mathrm {det} left (G_ {ab} right) = { frac {1} {4}} h left (h ^ {cd} G_ {cd} right) ^ {2 }}

Pokud pomocný světový list metrický tenzor ${ displaystyle { sqrt {-h}}}$ se počítá z pohybových rovnic:

{ displaystyle { sqrt {-h}} = { frac {2 { sqrt {-G}}} {h ^ {cd} G_ {cd}}}}

a nahrazen zpět do akce, stane se Akce Nambu – Goto:

{ displaystyle S = {T nad 2} int mathrm {d} ^ {2} sigma { sqrt {-h}} h ^ {ab} G_ {ab} = {T nad 2} int mathrm {d} ^ {2} sigma { frac {2 { sqrt {-G}}} {h ^ {cd} G_ {cd}}} h ^ {ab} G_ {ab} = T int mathrm {d} ^ {2} sigma { sqrt {-G}}}

Akce Polyakov je však jednodušší kvantováno protože to je lineární.

Pohybové rovnice

Použitím difeomorfismy a Weylova transformace, s Minkowskianský cílový prostor lze provést fyzicky nevýznamnou transformaci ${ displaystyle { sqrt {-h}} h ^ {ab} rightarrow eta ^ {ab}}$ , čímž zapsal akci do konformní rozchod:

{ displaystyle { mathcal {S}} = {T nad 2} int mathrm {d} ^ {2} sigma { sqrt {- eta}} eta ^ {ab} g _ { mu nu} (X) částečný _ {a} X ^ { mu} ( sigma) částečný _ {b} X ^ { nu} ( sigma) = {T nad 2} int mathrm {d } ^ {2} sigma left ({ dot {X}} ^ {2} -X '^ {2} right)}

kde ${ displaystyle eta _ {ab} = vlevo ({ začátek {pole} {cc} 1 a 0 0 & -1 konec {pole}} doprava)}$

Mějte to na paměti ${ displaystyle T_ {ab} = 0}$ lze odvodit omezení:

{ displaystyle T_ {01} = T_ {10} = { dot {X}} X '= 0}

{ displaystyle T_ {00} = T_ {11} = { frac {1} {2}} left ({ dot {X}} ^ {2} + X '^ {2} right) = 0}

.

Střídání ${ displaystyle X ^ { mu} pravá šipka X ^ { mu} + delta X ^ { mu}}$ jeden získá:

{ displaystyle delta { mathcal {S}} = T int mathrm {d} ^ {2} sigma eta ^ {ab} částečné _ {a} X ^ { mu} částečné _ {b } delta X _ { mu} =}

{ displaystyle = -T int mathrm {d} ^ {2} sigma eta ^ {ab} částečné _ {a} částečné _ {b} X ^ { mu} delta X _ { mu} + left (T int d tau X ' delta X right) _ { sigma = pi} - left (T int d tau X' delta X right) _ { sigma = 0 } = 0}

A následně:

{ displaystyle square X ^ { mu} = eta ^ {ab} částečné _ {a} částečné _ {b} X ^ { mu} = 0}

S okrajovými podmínkami, aby byla uspokojena druhá část variace akce.

Uzavřené struny

Periodické okrajové podmínky:

{ displaystyle X ^ { mu} ( tau, sigma + pi) = X ^ { mu} ( tau, sigma) }

Otevřete řetězce

(i) Neumannovy okrajové podmínky:

{ displaystyle částečné _ { sigma} X ^ { mu} ( tau, 0) = 0, částečné _ { sigma} X ^ { mu} ( tau, pi) = 0}

ii) Dirichletovy okrajové podmínky:

{ displaystyle X ^ { mu} ( tau, 0) = b ^ { mu}, X ^ { mu} ( tau, pi) = b '^ { mu} }

Pracuji v souřadnice světelného kužele ${ displaystyle xi ^ { pm} = tau pm sigma}$ můžeme pohybové rovnice přepsat jako:

{ displaystyle částečné _ {+} částečné _ {-} X ^ { mu} = 0}

{ displaystyle ( částečné _ {+} X) ^ {2} = ( částečné _ {-} X) ^ {2} = 0}

Řešení tedy lze zapsat jako ${ displaystyle X ^ { mu} = X _ {+} ^ { mu} ( xi ^ {+}) + X _ {-} ^ { mu} ( xi ^ {-})}$ a tenzor energie napětí je nyní úhlopříčný. Podle Fourierova expanze řešení a uložení kanonické komutační vztahy na koeficienty použití druhé pohybové rovnice motivuje definici operátorů Virasoro a vede k Virasoro omezení které zmizí při působení na fyzikální stavy.

Viz také

Poznámky

^ Friedan, D. (1980). „Nelineární modely v rozměrech 2 + ε“ (PDF). Dopisy o fyzické kontrole. 45: 1057. Bibcode:1980PhRvL..45.1057F. doi:10.1103 / PhysRevLett.45.1057.

Reference

Polchinski (listopad 1994). Co je teorie strun, NSF-ITP-94-97, 153pp, arXiv: hep-th / 9411028v1
Ooguri, Yin (únor 1997). Přednášky TASI o poruchách strunových teorií, UCB-PTH-96/64, LBNL-39774, 80pp, arXiv: hep-th / 9612254v3

[Frie80-1] Friedan, D. (1980). „Nelineární modely v rozměrech 2 + ε“ (PDF). Dopisy o fyzické kontrole. 45: 1057. Bibcode:1980PhRvL..45.1057F. doi:10.1103 / PhysRevLett.45.1057.

[1]