Superkonformní algebra - Superconformal algebra

Tento článek může vyžadovat vyčištění setkat se s Wikipedií standardy kvality. Specifický problém je: Tento útržek je napsán pozoruhodně špatně a měl by být opraven tak, aby se četl pedagogičtěji Prosím pomozte vylepšit tento článek jestli můžeš. (Květen 2015) (Zjistěte, jak a kdy odstranit tuto zprávu šablony)

v teoretická fyzika, superkonformní algebra je klasifikovaná Lieova algebra nebo superalgebra který kombinuje konformní algebra a supersymetrie. Ve dvou dimenzích je superkonformní algebra nekonečně dimenzionální. Ve vyšších dimenzích jsou superkonformní algebry konečně trojrozměrné a generují superkonformní skupina (ve dvou euklidovských rozměrech, Lež superalgebra negeneruje žádné Lež nadskupina ).

Superkonformní algebra v dimenzi větší než 2

Konformní skupina ${ displaystyle (p + q)}$-rozměrný prostor ${ displaystyle mathbb {R} ^ {p, q}}$ je ${ displaystyle SO (p + 1, q + 1)}$ a jeho Lieova algebra je ${ displaystyle { mathfrak {so}} (p + 1, q + 1)}$. Superkonformní algebra je Lieova superalgebra obsahující bosonický faktor ${ displaystyle { mathfrak {so}} (p + 1, q + 1)}$ a jejichž liché generátory se transformují do spinorových reprezentací ${ displaystyle { mathfrak {so}} (p + 1, q + 1)}$. Vzhledem k Kačově klasifikaci konečněrozměrných jednoduchých Lieových superalgeber se to může stát jen u malých hodnot ${ displaystyle p}$ a ${ displaystyle q}$. Seznam (možná neúplný) je

• ${ displaystyle { mathfrak {osp}} ^ {*} (2N | 2,2)}$ za 3 + 0D díky ${ displaystyle { mathfrak {usp}} (2,2) simeq { mathfrak {so}} (4,1)}$;
• ${ displaystyle { mathfrak {osp}} (N | 4)}$ za 2 + 1D díky ${ displaystyle { mathfrak {sp}} (4, mathbb {R}) simeq { mathfrak {so}} (3,2)}$;
• ${ displaystyle { mathfrak {su}} ^ {*} (2N | 4)}$ za 4 + 0D díky ${ displaystyle { mathfrak {su}} ^ {*} (4) simeq { mathfrak {so}} (5,1)}$;
• ${ displaystyle { mathfrak {su}} (2,2 | N)}$ za 3 + 1D díky ${ displaystyle { mathfrak {su}} (2,2) simeq { mathfrak {so}} (4,2)}$;
• ${ displaystyle { mathfrak {sl}} (4 | N)}$ ve 2 + 2D díky ${ displaystyle { mathfrak {sl}} (4, mathbb {R}) simeq { mathfrak {so}} (3,3)}$;
• skutečné formy ${ displaystyle F (4)}$ v pěti rozměrech
• ${ displaystyle { mathfrak {osp}} (8 ^ {*} | 2N)}$ v 5 + 1D, díky tomu, že spinor a základní reprezentace ${ displaystyle { mathfrak {so}} (8, mathbb {C})}$ jsou vzájemně mapovány vnějšími automatismy.

Superkonformní algebra ve 3 + 1D

Podle ^[1][2] superkonformní algebra s ${ displaystyle { mathcal {N}}}$ supersymetrie v rozměrech 3 + 1 je dána bosonickými generátory ${ displaystyle P _ { mu}}$, ${ displaystyle D}$, ${ displaystyle M _ { mu nu}}$, ${ displaystyle K _ { mu}}$, U (1) R-symetrie ${ displaystyle A}$, SU (N) R-symetrie ${ displaystyle T_ {j} ^ {i}}$ a fermionické generátory ${ displaystyle Q ^ { alpha i}}$, ${ displaystyle { overline {Q}} _ {i} ^ { dot { alpha}}}$, ${ displaystyle S_ {i} ^ { alpha}}$ a ${ displaystyle { overline {S}} ^ {{ dot { alpha}} i}}$. Tady, ${ displaystyle mu, nu, rho, tečky}$ označte časoprostorové indexy; ${ displaystyle alpha, beta, tečky}$ levoruké Weyl spinorovy indexy; ${ displaystyle { dot { alpha}}, { dot { beta}}, dots}$ pravice Weyl spinor indexy; a ${ displaystyle i, j, tečky}$ vnitřní indexy R-symetrie.

Ležící superspony bosonic konformní algebra jsou dány

${ displaystyle [M _ { mu nu}, M _ { rho sigma}] = eta _ { nu rho} M _ { mu sigma} - eta _ { mu rho} M _ { nu sigma} + eta _ { nu sigma} M _ { rho mu} - eta _ { mu sigma} M _ { rho nu}}$

${ displaystyle [M _ { mu nu}, P _ { rho}] = eta _ { nu rho} P _ { mu} - eta _ { mu rho} P _ { nu}}$

${ displaystyle [M _ { mu nu}, K _ { rho}] = eta _ { nu rho} K _ { mu} - eta _ { mu rho} K _ { nu}}$

${ displaystyle [M _ { mu nu}, D] = 0}$

${ displaystyle [D, P _ { rho}] = - P _ { rho}}$

${ displaystyle [D, K _ { rho}] = + K _ { rho}}$

${ displaystyle [P _ { mu}, K _ { nu}] = - 2M _ { mu nu} +2 eta _ { mu nu} D}$

${ displaystyle [K_ {n}, K_ {m}] = 0}$

${ displaystyle [P_ {n}, P_ {m}] = 0}$

kde η je Minkowského metrika; zatímco ty pro fermionické generátory jsou:

${ displaystyle left {Q _ { alpha i}, { overline {Q}} _ { dot { beta}} ^ {j} right } = 2 delta _ {i} ^ {j} sigma _ { alpha { dot { beta}}} ^ { mu} P _ { mu}}$

${ displaystyle left {Q, Q right } = left {{ overline {Q}}, { overline {Q}} right } = 0}$

${ displaystyle left {S _ { alpha} ^ {i}, { overline {S}} _ {{ dot { beta}} j} right } = 2 delta _ {j} ^ { i} sigma _ { alpha { dot { beta}}} ^ { mu} K _ { mu}}$

${ displaystyle left {S, S right } = left {{ overline {S}}, { overline {S}} right } = 0}$

${ displaystyle left {Q, S right } =}$

${ displaystyle left {Q, { overline {S}} right } = left {{ overline {Q}}, S right } = 0}$

Bosonické konformní generátory nenesou žádné R-poplatky, protože dojíždějí s generátory R-symetrie:

${ displaystyle [A, M] = [A, D] = [A, P] = [A, K] = 0}$

${ displaystyle [T, M] = [T, D] = [T, P] = [T, K] = 0}$

Ale fermionické generátory nesou R-náboj:

${ displaystyle [A, Q] = - { frac {1} {2}} Q}$

${ displaystyle [A, { overline {Q}}] = { frac {1} {2}} { overline {Q}}}$

${ displaystyle [A, S] = { frac {1} {2}} S}$

${ displaystyle [A, { overline {S}}] = - { frac {1} {2}} { overline {S}}}$

${ displaystyle [T_ {j} ^ {i}, Q_ {k}] = - delta _ {k} ^ {i} Q_ {j}}$

${ displaystyle [T_ {j} ^ {i}, { overline {Q}} ^ {k}] = delta _ {j} ^ {k} { overline {Q}} ^ {i}}$

${ displaystyle [T_ {j} ^ {i}, S ^ {k}] = delta _ {j} ^ {k} S ^ {i}}$

${ displaystyle [T_ {j} ^ {i}, { overline {S}} _ {k}] = - delta _ {k} ^ {i} { overline {S}} _ {j}}$

Při bosonických konformních transformacích se fermionické generátory transformují jako:

${ displaystyle [D, Q] = - { frac {1} {2}} Q}$

${ displaystyle [D, { overline {Q}}] = - { frac {1} {2}} { overline {Q}}}$

${ displaystyle [D, S] = { frac {1} {2}} S}$

${ displaystyle [D, { overline {S}}] = { frac {1} {2}} { overline {S}}}$

${ displaystyle [P, Q] = [P, { overline {Q}}] = 0}$

${ displaystyle [K, S] = [K, { overline {S}}] = 0}$

Superkonformní algebra ve 2D

Existují dvě možné algebry s minimální supersymetrií ve dvou rozměrech; algebra Neveu – Schwarz a algebra Ramond. Je možná další supersymetrie, například N = 2 superkonformní algebra.

Viz také

• Konformní symetrie
• Super Virasoro algebra
• Supersymetrická algebra

Reference