Weylův vzorec znaků - Weyl character formula

v matematika, Weylův vzorec znaků v teorie reprezentace popisuje postavy neredukovatelných reprezentací kompaktní Lieovy skupiny z hlediska jejich nejvyšší váhy.^[1] Dokázal to Hermann Weyl (1925, 1926a, 1926b ). Existuje úzce související vzorec pro charakter neredukovatelné reprezentace polojednodušé Lieovy algebry.^[2] Ve Weylově přístupu k teorie reprezentace spojených kompaktních Lieových skupin, důkaz vzorce postavy je klíčovým krokem k prokázání, že každý dominantní integrální prvek ve skutečnosti vzniká jako nejvyšší váha nějakého neredukovatelného zastoupení.^[3] Důležitými důsledky znakového vzorce jsou Weylův rozměrový vzorec a Kostantův multiplicitní vzorec.

Podle definice znak ${displaystyle chi}$ reprezentace ${displaystyle pi}$ z G je stopa z ${displaystyle pi (g)}$ , jako funkce prvku skupiny ${displaystyle gin G}$ . Neredukovatelné reprezentace jsou v tomto případě všechny konečně-dimenzionální (je to součást Peter – Weylova věta ); pojem stopa je tedy obvyklý z lineární algebry. Znalost postavy ${displaystyle chi}$ z ${displaystyle pi}$ poskytuje mnoho informací o ${displaystyle pi}$ sám.

Weylův vzorec je a uzavřený vzorec pro postavu ${displaystyle chi}$ , pokud jde o jiné objekty postavené z G a jeho Lež algebra.

Prohlášení o Weylově znakovém vzorci

Znakový vzorec lze vyjádřit pomocí reprezentací složitých polojednodušých Lieových algeber nebo pomocí (v podstatě ekvivalentní) teorie reprezentace kompaktních Lieových skupin.

Komplexní polojednoduché Lieovy algebry

Nechat ${displaystyle pi}$ být neredukovatelnou, konečně-dimenzionální reprezentací komplexu polojednoduchá Lie algebra ${displaystyle {mathfrak {g}}}$ . Předpokládat ${displaystyle {mathfrak {h}}}$ je Cartan subalgebra z ${displaystyle {mathfrak {g}}}$ . Postava ${displaystyle pi}$ je pak funkce ${displaystyle operatorname {ch} _ {pi}: {mathfrak {h}} ightarrow mathbb {C}}$ definován

{displaystyle operatorname {ch} _ {pi} (H) = operatorname {trace} (e ^ {pi (H)}).}

Hodnota znaku v ${displaystyle H = 0}$ je rozměr ${displaystyle pi}$ . Z elementárních důvodů lze znak vypočítat jako

{displaystyle operatorname {ch} _ {pi} (H) = součet _ {mu} m_ {mu} e ^ {mu (H)}}

,

kde součet se pohybuje přes všechny závaží ${displaystyle mu}$ z ${displaystyle pi}$ a kde ${displaystyle m_ {mu}}$ je multiplicita ${displaystyle mu}$ . (Předchozí výraz se někdy považuje za definici znaku.)

Stavy vzorce znaků^[4] že ${displaystyle operatorname {ch} _ {pi} (H)}$ lze také vypočítat jako

{displaystyle operatorname {ch} _ {pi} (H) = {frac {sum _ {win W} varepsilon (w) e ^ {w (lambda + ho) (H)}} {prod _ {alpha in Delta ^ { +}} (e ^ {alfa (H) / 2} -e ^ {- alfa (H) / 2})}}}

kde

${displaystyle W}$ je Weylova skupina;
${displaystyle Delta ^ {+}}$ je množina pozitivní kořeny z kořenový systém ${displaystyle Delta}$ ;
${displaystyle ho}$ je poloviční součet kladných kořenů, často nazývaných Weyl vektor;
${displaystyle lambda}$ je nejvyšší váha neredukovatelné reprezentace ${displaystyle V}$ ;
${displaystyle varepsilon (w)}$ je určujícím činitelem akce ${displaystyle w}$ na Cartan subalgebra ${displaystyle {mathfrak {h}} podmnožina {mathfrak {g}}}$ . To se rovná ${displaystyle (-1) ^ {ell (w)}}$ , kde ${displaystyle ell (w)}$ je délka prvku skupiny Weyl, definovaný jako minimální počet odrazů vzhledem k jednoduchým kořenům, jako je ten ${displaystyle w}$ se rovná součinu těchto odrazů.

Diskuse

Pomocí vzorce Weylova jmenovatele (popsaného níže) lze vzorce znaků přepsat na

{displaystyle operatorname {ch} _ {pi} (H) = {frac {sum _ {win W} varepsilon (w) e ^ {w (lambda + ho) (H)}} {sum _ {win W} varepsilon ( w) e ^ {w (ho) (H)}}}}

,

nebo ekvivalentně

{displaystyle operatorname {ch} _ {pi} (H) {sum _ {win W} varepsilon (w) e ^ {w (ho) (H)}} = součet _ {win W} varepsilon (w) e ^ { w (lambda + ho) (H)}.}

Samotný znak je velkým součtem exponenciálů. V tomto posledním výrazu potom vynásobíme znak střídavým součtem exponenciálních hodnot - což bude mít za následek ještě větší součet exponenciálních hodnot. Překvapivou částí vzorce znaků je, že když vypočítáme tento produkt, ve skutečnosti zůstane jen malý počet výrazů. Mnohem více výrazů, než je toto, se v produktu postavy a Weylova jmenovatele vyskytuje alespoň jednou, ale většina z těchto výrazů se ruší na nulu.^[5] Jediné termíny, které přežijí, jsou termíny, které se vyskytují pouze jednou, a to ${displaystyle e ^ {(lambda + ho) (H)}}$ (který se získá odečtením nejvyšší hmotnosti z ${displaystyle operatorname {ch} _ {pi}}$ a nejvyšší váha od Weylova jmenovatele) a věci na oběžné dráze Weylovy skupiny ${displaystyle e ^ {(lambda + ho) (H)}}$ .

Compact Lie skupiny

Nechat ${displaystyle K}$ být kompaktní, propojená Lieova skupina a nechat ${displaystyle T}$ být maximálním torusem v ${displaystyle K}$ . Nechat ${displaystyle Pi}$ být neredukovatelným zastoupením ${displaystyle K}$ . Poté definujeme charakter ${displaystyle Pi}$ být funkcí

{displaystyle mathrm {X} (x) = operatorname {trace} (Pi (x)), quad xin K.}

Postava je snadno viditelná jako funkce třídy ${displaystyle K}$ a Peter – Weylova věta tvrdí, že znaky tvoří ortonormální základ pro prostor funkcí třídy třídy integrovatelných do čtverce ${displaystyle K}$ .^[6]

Od té doby ${displaystyle mathrm {X}}$ je funkce třídy, je určena omezením na ${displaystyle T}$ . Nyní, pro ${displaystyle H}$ v algebře Lie ${displaystyle {mathfrak {t}}}$ z ${displaystyle T}$ , my máme

{displaystyle operatorname {trace} (Pi (e ^ {H})) = operatorname {trace} (e ^ {pi (H)})}}

,

kde ${displaystyle pi}$ je související reprezentace Lieovy algebry ${displaystyle {mathfrak {k}}}$ z ${displaystyle K}$ . Tedy funkce ${displaystyle Hmapsto operatorname {trace} (Pi (e ^ {H}))}$ je jednoduše charakter přidružené reprezentace ${displaystyle pi}$ z ${displaystyle {mathfrak {k}}}$ , jak je popsáno v předchozím pododdíle. Omezení charakteru ${displaystyle Pi}$ na ${displaystyle T}$ je pak dán stejným vzorcem jako v případě Lie algebry:

{displaystyle mathrm {X} (e ^ {H}) = {frac {sum _ {win W} varepsilon (w) e ^ {w (lambda + ho) (H)}} {sum _ {win W} varepsilon ( w) e ^ {w (ho) (H)}}}.}

Weylovi důkaz vzorce znaků v nastavení kompaktní skupiny je zcela odlišné od algebraického důkazu vzorce znaků v nastavení polojednodušých Lieových algeber.^[7] V nastavení kompaktní skupiny je běžné používat „skutečné kořeny“ a „skutečné váhy“, které se liší faktorem ${displaystyle i}$ od zde použitých kořenů a závaží. Vzorec v nastavení kompaktní skupiny má tedy faktory ${displaystyle i}$ v exponentu.

Případ SU (2)

V případě skupiny SU (2) zvažte: neredukovatelné zastoupení dimenze ${displaystyle m + 1}$ . Pokud vezmeme ${displaystyle T}$ být diagonální podskupinou SU (2), v tomto případě zní vzorec znaků^[8]

{displaystyle mathrm {X} left ({egin {pmatrix} e ^ {i heta} & 0 0 & e ^ {- i heta} end {pmatrix}} ight) = {frac {e ^ {i (m + 1) heta} -e ^ {- i (m + 1) heta}} {e ^ {i heta} -e ^ {- i heta}}} = {frac {sin ((m + 1) heta)} {sin heta}} .}

(Čitatel i jmenovatel ve vzorci znaků mají dva výrazy.) Je poučné ověřit tento vzorec přímo v tomto případě, abychom mohli pozorovat jev zrušení implicitně ve vzorci znaků Weyl.

Protože reprezentace jsou známy velmi explicitně, lze charakter reprezentace zapsat jako

{displaystyle mathrm {X} left ({egin {pmatrix} e ^ {i heta} & 0 0 & e ^ {- i heta} end {pmatrix}} ight) = e ^ {im heta} + e ^ {i (m- 2) heta} + cdots + e ^ {- im heta}.}

Weylův jmenovatel je zatím prostě funkce ${displaystyle e ^ {i heta} -e ^ {- i heta}}$ . Vynásobení postavy Weylovým jmenovatelem dává

{displaystyle mathrm {X} left ({egin {pmatrix} e ^ {i heta} & 0 0 & e ^ {- i heta} end {pmatrix}} ight) (e ^ {i heta} -e ^ {- i heta} ) = left (e ^ {i (m + 1) heta} + e ^ {i (m-1) heta} + cdots + e ^ {- i (m-1) heta} ight) -left (e ^ { i (m-1) heta} + cdots + e ^ {- i (m-1) heta} + e ^ {- i (m + 1) heta} ight).}

Nyní můžeme snadno ověřit, že většina podmínek se ruší mezi dvěma termíny na pravé straně výše, takže nám zbývá pouze

{displaystyle mathrm {X} left ({egin {pmatrix} e ^ {i heta} & 0 0 & e ^ {- i heta} end {pmatrix}} ight) (e ^ {i heta} -e ^ {- i heta} ) = e ^ {i (m + 1) heta} -e ^ {- i (m + 1) heta}}

aby

{displaystyle mathrm {X} left ({egin {pmatrix} e ^ {i heta} & 0 0 & e ^ {- i heta} end {pmatrix}} ight) = {frac {e ^ {i (m + 1) heta} -e ^ {- i (m + 1) heta}} {e ^ {i heta} -e ^ {- i heta}}} = {frac {sin ((m + 1) heta)} {sin heta}} .}

Znak je v tomto případě geometrická řada s ${displaystyle R = e ^ {2i heta}}$ a ten předchozí argument je malá varianta standardní derivace vzorce pro součet konečné geometrické řady.

Weylův jmenovatel

Ve zvláštním případě triviálního jednorozměrného zobrazení je znak 1, takže Weylův znakový vzorec se stává Weylův jmenovatel:^[9]

{displaystyle {sum _ {win W} varepsilon (w) e ^ {w (ho) (H)} = prod _ {alpha v Delta ^ {+}} (e ^ {alpha (H) / 2} -e ^ {-alpha (H) / 2})}.}

Pro speciální unitární skupiny je to ekvivalentní výrazu

{displaystyle sum _ {sigma in S_ {n}} operatorname {sgn} (sigma), X_ {1} ^ {sigma (1) -1} cdots X_ {n} ^ {sigma (n) -1} = prod _ {1leq i

pro Vandermonde determinant.^[10]

Weylův rozměrový vzorec

Vyhodnocením postavy na ${displaystyle H = 0}$ , Weylův vzorec znaků dává Weylův rozměrový vzorec

{displaystyle dim (V_ {lambda}) = {prod _ {alpha in Delta ^ {+}} (lambda + ho, alpha) over prod _ {alpha in Delta ^ {+}} (ho, alpha)}}

pro dimenzi konečné dimenzionální reprezentace ${displaystyle V_ {lambda}}$ s nejvyšší hmotností ${displaystyle lambda}$ . (Jako obvykle je ρ polovina součtu kladných kořenů a produkty procházejí kladnými kořeny α.) Specializace není zcela triviální, protože čitatel i jmenovatel Weylova znakového vzorce mizí ve vysoké hodnotě u prvku identity, takže je nutné vzít limit trasování prvku směřujícího k identitě pomocí verze Pravidlo společnosti L'Hospital.^[11] Ve výše popsaném případě SU (2) můžeme například obnovit dimenzi ${displaystyle m + 1}$ reprezentace pomocí pravidla L'Hospital k vyhodnocení limitu jako ${displaystyle heta}$ má sklon k nule ${displaystyle sin ((m + 1) heta) / sin heta}$ .

Za příklad můžeme považovat složitou polojednoduchou Lie algebru sl (3,C), nebo ekvivalentně kompaktní skupina SU (3). V takovém případě reprezentace jsou označeny dvojicí ${displaystyle (m_ {1}, m_ {2})}$ nezáporných celých čísel. V tomto případě existují tři pozitivní kořeny a není těžké ověřit, že kótovací vzorec má explicitní formu^[12]

{displaystyle dim (V_ {m_ {1}, m_ {2}}) = {frac {1} {2}} (m_ {1} +1) (m_ {2} +1) (m_ {1} + m_ {2} +2)}

Pouzdro ${displaystyle m_ {1} = 1,, m_ {2} = 0}$ je standardní reprezentace a kótovací vzorec dává v tomto případě hodnotu 3.

Kostantův multiplicitní vzorec

Weylův znakový vzorec dává charakter každé reprezentace jako kvocient, kde čitatel i jmenovatel jsou konečnou lineární kombinací exponenciálů. I když tento vzorec v zásadě určuje znak, není zvlášť zřejmé, jak lze tento kvocient vypočítat explicitně jako konečný součet exponenciálů. Již v případě SU (2) popsaném výše není okamžitě zřejmé, jak přejít z Weylova znakového vzorce, který dává znak jako ${displaystyle sin ((m + 1) heta) / sin heta}$ zpět k vzorci pro znak jako součet exponenciálních hodnot:

{displaystyle e ^ {im heta} + e ^ {i (m-2) heta} + cdots + e ^ {- im heta}.}

V tomto případě možná není strašně obtížné ten výraz rozpoznat ${displaystyle sin ((m + 1) heta) / sin heta}$ jako součet konečné geometrické řady, ale obecně potřebujeme systematičtější postup.

Obecně lze dělícího procesu dosáhnout výpočtem formální převrácené hodnoty Weylova jmenovatele a následným vynásobením čitatele ve vzorci Weylových znaků tímto formálním převrácením.^[13] Výsledek dává znaku jako konečný součet exponenciálů. Koeficienty této expanze jsou rozměry váhových prostorů, tedy multiplicity vah. Získali jsme tedy z Weylova znakového vzorce vzorec pro multiplicitu vah, známý jako Kostantův multiplicitní vzorec. V následující části je uveden alternativní vzorec, který je v některých případech výpočetně přijatelnější.

Freudenthalův vzorec

Hans Freudenthal Formulář je rekurzivní vzorec pro váhové multiplicity, který dává stejnou odpověď jako Kostantův multiplicitní vzorec, ale někdy je snadnější jej použít pro výpočty, protože pojmů může být mnohem méně. Vzorec je založen na použití Kazimír prvek a jeho odvození je nezávislé na vzorci znaků. Uvádí^[14]

{displaystyle (| Lambda + ho | ^ {2} - | lambda + ho | ^ {2}) m_ {Lambda} (lambda) = 2sum _ {alpha in Delta ^ {+}} součet _ {jgeq 1} (lambda + jalpha, alpha) m_ {Lambda} (lambda + jalpha)}

kde

Λ je nejvyšší váha,
λ je nějaká jiná váha,
m_Λ(λ) je multiplicita hmotnosti λ v neredukovatelné reprezentaci V_Λ
ρ je Weylův vektor
První součet je přes všechny kladné kořeny α.

Vzorec znaků Weyl – Kac

Weylův znakový vzorec platí také pro integrovatelné reprezentace nejvyšší váhy Kac – Moodyho algebry, pokud je znám jako Vzorec znaků Weyl – Kac. Podobně existuje identita jmenovatele pro Kac – Moodyho algebry, což je v případě afinních Lieových algeber ekvivalentní s Macdonaldovy identity. V nejjednodušším případě afinní Lieovy algebry typu A₁ to je Trojitý produkt Jacobi identita

{displaystyle prod _ {m = 1} ^ {infty} left (1-x ^ {2m} ight) left (1-x ^ {2m-1} yight) left (1-x ^ {2m-1} y ^ {-1} ight) = součet _ {n = -infty} ^ {infty} (- 1) ^ {n} x ^ {n ^ {2}} y ^ {n}.}

Znakový vzorec lze také rozšířit na integrovatelné reprezentace nejvyšší váhy zobecněné algebry Kac – Moody, když je znak dán

{displaystyle {sum _ {win W} (- 1) ^ {ell (w)} w (e ^ {lambda + ho} S) nad e ^ {ho} prod _ {alfa v Delta ^ {+}} (1 -e ^ {- alfa})}.}

Tady S je korekční člen daný z hlediska imaginárních jednoduchých kořenů pomocí

{displaystyle S = součet _ {I} (- 1) ^ {| I |} e ^ {Sigma I},}

kde součet běží přes všechny konečné podmnožiny Já imaginárních jednoduchých kořenů, které jsou párově kolmé a kolmé na nejvyšší váhu λ, a | I | je mohutnost I a ΣJá je součet prvků Já.

Vzorec jmenovatele pro monstrum Lie algebra je produktový vzorec

{displaystyle j (p) -j (q) = left ({1 over p} - {1 over q} ight) prod _ {n, m = 1} ^ {infty} (1-p ^ {n} q ^ {m}) ^ {c_ {nm}}}

pro eliptická modulární funkce j.

Peterson dal rekurzní vzorec pro multiplicitu mult (β) kořenů β symetrizovatelné (zobecněné) Kac – Moodyho algebry, který je ekvivalentní Weyl – Kacovu jmenovatelnému vzorci, ale pro výpočty se používá snadněji:

{displaystyle (eta, eta -2ho) c_ {eta} = součet _ {gamma + delta = eta} (gama, delta) c_ {gamma} c_ {delta},}

kde součet přesahuje kladné kořeny γ, δ a

{displaystyle c_ {eta} = součet _ {ngeq 1} {operatorname {mult} (eta / n) nad n}.}

Vzorec postavy Harish-Chandra

Harish-Chandra ukázal, že Weylův charakterový vzorec připouští zobecnění reprezentací skutečného, reduktivní skupina. Předpokládat ${displaystyle pi}$ je neredukovatelný, přípustné zastoupení skutečné redukční skupiny G s nekonečně malý znak ${displaystyle lambda}$ . Nechat ${displaystyle Theta _ {pi}}$ být Postava Harish-Chandra z ${displaystyle pi}$ ; je to dáno integrací proti analytická funkce na pravidelné sestavě. Pokud H je a Cartan podskupina of G and H 'is the set of regular elements in H, then

{displaystyle Theta _ {pi} | _ {H '} = {sum _ {win W / W_ {lambda}} a_ {w} e ^ {wlambda} nad e ^ {ho} prod _ {alpha v Delta ^ {+ }} (1-e ^ {- alfa})}.}

Tady

W je komplexní Weylova skupina ${displaystyle H_ {mathbb {C}}}$ s ohledem na ${displaystyle G_ {mathbb {C}}}$
${displaystyle W_ {lambda}}$ je stabilizátor ${displaystyle lambda}$ ve W

a zbytek zápisu je jako výše.

Koeficienty ${displaystyle a_ {w}}$ stále nejsou dobře pochopeny. Výsledky těchto koeficientů lze najít v příspěvcích z Bylina, Adams, Schmid a Schmid-Vilonen.

Viz také

Reference

^ Hall 2015 Oddíl 12.4.
^ Hall 2015 Oddíl 10.4.
^ Hall 2015 Oddíl 12.5.
^ Hall 2015 Věta 10.14
^ Hall 2015 Oddíl 10.4.
^ Hall 2015 Oddíl 12.3
^ Vidět Hall 2015 Sekce 10.8 v nastavení Lie Algebra a Sekce 12.4 v nastavení kompaktní skupiny
^ Hall 2015 Příklad 12.23
^ Hall 2015 Lemma 10.28.
^ Hall 2015 Cvičení 9 v kapitole 10.
^ Hall 2015 Oddíl 10.5.
^ Hall 2015 Příklad 10.23
^ Hall 2015 Oddíl 10.6
^ Humphreys 1972 Oddíl 22.3

Fulton, William a Harris, Joe (1991). Teorie reprezentace: první kurz. New York: Springer-Verlag. ISBN 0387974954. OCLC 22861245.^[1]

Hall, Brian C. (2015), Lieovy skupiny, Lieovy algebry a reprezentace: Základní úvod, Postgraduální texty z matematiky, 222 (2. vyd.), Springer, ISBN 978-3319134666
Humphreys, James E. (1972), Úvod do Lie Algebry a teorie reprezentace, Berlín, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90053-7.
Nekonečné dimenzionální Lieovy algebry, V. G. Kac, ISBN 0-521-37215-1
Duncan J. Melville (2001) [1994], „Weyl – Kac charakterový vzorec“, Encyclopedia of Mathematics, Stiskněte EMS
Weyl, Hermann (1925), „Theorie der Darstellung kontinuierlicher halb-einfacher Gruppen durch lineare Transformationen. I“, Mathematische Zeitschrift Springer Berlin / Heidelberg, 23: 271–309, doi:10.1007 / BF01506234, ISSN 0025-5874
Weyl, Hermann (1926a), „Theorie der Darstellung kontinuierlicher halb-einfacher Gruppen durch lineare Transformationen. II“, Mathematische Zeitschrift Springer Berlin / Heidelberg, 24: 328–376, doi:10.1007 / BF01216788, ISSN 0025-5874
Weyl, Hermann (1926b), „Theorie der Darstellung kontinuierlicher halb-einfacher Gruppen durch lineare Transformationen. III“, Mathematische Zeitschrift Springer Berlin / Heidelberg, 24: 377–395, doi:10.1007 / BF01216789, ISSN 0025-5874

^ Fulton, William, 1939- (1991). Teorie reprezentace: první kurz. Harris, Joe, 1951-. New York: Springer-Verlag. ISBN 0387974954. OCLC 22861245.CS1 maint: více jmen: seznam autorů (odkaz)

[1] Hall 2015 Oddíl 12.4.

[2] Hall 2015 Oddíl 10.4.

[3] Hall 2015 Oddíl 12.5.

[4] Hall 2015 Věta 10.14

[5] Hall 2015 Oddíl 10.4.

[6] Hall 2015 Oddíl 12.3

[7] Vidět Hall 2015 Sekce 10.8 v nastavení Lie Algebra a Sekce 12.4 v nastavení kompaktní skupiny

[8] Hall 2015 Příklad 12.23

[9] Hall 2015 Lemma 10.28.

[10] Hall 2015 Cvičení 9 v kapitole 10.

[11] Hall 2015 Oddíl 10.5.

[12] Hall 2015 Příklad 10.23

[13] Hall 2015 Oddíl 10.6

[14] Humphreys 1972 Oddíl 22.3

[15] Fulton, William, 1939- (1991). Teorie reprezentace: první kurz. Harris, Joe, 1951-. New York: Springer-Verlag. ISBN 0387974954. OCLC 22861245.CS1 maint: více jmen: seznam autorů (odkaz)

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]

[1]