Zrcadlová symetrie (teorie strun) - Mirror symmetry (string theory)

Teorie strun
Základní objekty
Tětiva Brane D-brane
Perturbativní teorie
Bosonic Superstruna (Typ I., Typ II, Heterotické )
Neporušující výsledky
S-dualita T-dualita U-dualita M-teorie F-teorie Korespondence AdS / CFT
Fenomenologie
Fenomenologie Kosmologie Krajina
Matematika
Zrcadlová symetrie Monstrózní měsíční svit
Související pojmy Teorie všeho Konformní teorie pole Kvantová gravitace Supersymetrie Supergravitace Twistorová teorie strun N = 4 supersymetrická teorie Yang – Mills Teorie Kaluza – Klein Multiverse Holografický princip
Teoretici Aganagić Arkani-Hamed Atiyah Banky Berenstein Bousso Sekáček Přímo Dijkgraaf Distler Douglas Duff Ferrara Fischler Friedane Brány Gliozzi Gopakumar Zelená Greene Hrubý Gubser Gukov Guth Hanson Harvey Hořava Gibbons Kachru Kaku Kallosh Kaluza Kapustin Klebanov Knizhnik Kontsevich Klein Linde Maldacena Mandelstam Marolf Martinec Minwalla Moore Motl Mukhi Myers Nanopoulos Năstase Nekrasov Neveu Nielsen van Nieuwenhuizen Novikov Olivový Ooguri Ovrut Polchinski Polyakov Rajaraman Ramond Randall Randjbar-Daemi Roček Rohm Scherku Schwarz Seiberg Sen Shenker Siegel Silverstein Syn Staudacher Steinhardt Strominger Sluneční buben Susskind 't Hooft Townsend Trivedi Turok Vafa Veneziano Verlinde Verlinde Wess Witten Yau Yoneya Zamolodchikov Zamolodchikov Zaslow Zumino Zwiebach
Dějiny Glosář

v algebraická geometrie a teoretická fyzika, zrcadlová symetrie je vztah mezi geometrický objekty zvané Rozdělovače Calabi – Yau. Termín odkazuje na situaci, kdy dva potrubí Calabi – Yau vypadají geometricky velmi odlišně, ale jsou si ekvivalentní, pokud jsou použity jako další rozměry z teorie strun.

Časné případy zrcadlové symetrie objevili fyzici. Matematici se o tento vztah začali zajímat kolem roku 1990 Philip Candelas, Xenia de la Ossa, Paul Green a Linda Parkes ukázali, že by to mohlo být použito jako nástroj v enumerativní geometrie, obor matematiky zabývající se počítáním počtu řešení geometrických otázek. Candelas a jeho spolupracovníci ukázali, že k počítání lze použít zrcadlovou symetrii racionální křivky na potrubí Calabi – Yau, čímž se vyřešil dlouhodobý problém. Ačkoli původní přístup k zrcadlové symetrii byl založen na fyzikálních nápadech, které nebyly pochopeny matematicky přesným způsobem, některé z jeho matematických předpovědí byly od té doby důsledně prokázáno.

Dnes je zrcadlová symetrie hlavním výzkumným tématem v čistá matematika a matematici pracují na vývoji matematického porozumění vztahu založeného na intuici fyziků. Zrcadlová symetrie je také základním nástrojem pro výpočty v teorii strun a používá se k pochopení aspektů kvantová teorie pole, formalismus, který fyzici používají k popisu elementární částice. Mezi hlavní přístupy k zrcadlové symetrii patří homologická zrcadlová symetrie program Maxim Kontsevich a SYZ domněnka z Andrew Strominger, Shing-Tung Yau, a Eric Zaslow.

Přehled

Struny a zhutnění

Základní objekty teorie strun jsou otevřené a uzavřené struny.

Ve fyzice teorie strun je teoretický rámec ve kterém bodové částice z částicová fyzika jsou nahrazeny jednorozměrnými objekty zvanými struny. Tyto řetězce vypadají jako malé segmenty nebo smyčky běžného řetězce. Teorie strun popisuje, jak se řetězce šíří prostorem a vzájemně na sebe působí. Na stupnicích vzdálenosti větších než měřítko řetězce bude řetězec vypadat jako obyčejná částice Hmotnost, nabít a další vlastnosti určené vibračním stavem řetězce. Rozdělení a rekombinace řetězců odpovídá emisi a absorpci částic, což vede k interakcím mezi částicemi.^[1]

Mezi světem popsaným teorií strun a světem každodenním existují výrazné rozdíly. V každodenním životě existují tři známé dimenze prostoru (nahoru / dolů, vlevo / vpravo a vpřed / vzad) a existuje jedna dimenze času (později / dříve). Takže v jazyce moderní fyziky se to říká vesmírný čas je čtyřrozměrný.^[2] Jedním ze zvláštních rysů teorie strun je, že to vyžaduje další rozměry časoprostoru pro jeho matematickou konzistenci. v teorie superstrun, verze teorie, která zahrnuje teoretickou myšlenku zvanou supersymetrie, kromě čtyř, které jsou známé z každodenních zkušeností, existuje šest dalších dimenzí časoprostoru.^[3]

Jedním z cílů současného výzkumu teorie strun je vyvinout modely, ve kterých řetězce představují částice pozorované při experimentech fyziky vysokých energií. Aby byl takový model konzistentní s pozorováním, musí být jeho časoprostor na příslušných stupnicích vzdálenosti čtyřrozměrný, takže je třeba hledat způsoby, jak omezit další rozměry na menší měřítka. Ve většině realistických modelů fyziky založených na teorii strun je toho dosaženo pomocí procesu zvaného zhutnění, ve kterých se předpokládá, že se další dimenze „uzavírají“ na sebe a vytvářejí kruhy.^[4] V limitu, kde se tyto stočené rozměry stanou velmi malými, získáme teorii, ve které má časoprostor účinně nižší počet dimenzí. Standardní analogií je uvažovat o vícerozměrném objektu, jako je zahradní hadice. Pokud se na hadici díváte z dostatečné vzdálenosti, zdá se, že má pouze jeden rozměr, svou délku. Jakmile se však člověk přiblíží k hadici, zjistí, že obsahuje druhou dimenzi, její obvod. Mravenec plazící se po povrchu hadice by se tak pohyboval ve dvou dimenzích.^[5]

Rozdělovače Calabi – Yau

Průřez quintic Rozdělovač Calabi – Yau

Zhutnění lze použít ke konstrukci modelů, ve kterých je časoprostor skutečně čtyřrozměrný. Ne každý způsob zhutnění extra dimenzí však vytváří model se správnými vlastnostmi k popisu přírody. V životaschopném modelu částicové fyziky musí být kompaktní rozměry navíc tvarovány jako a Rozdělovač Calabi – Yau.^[4] Calabi – Yau potrubí je zvláštní prostor což je v aplikacích teorie strun obvykle považováno za šestrozměrné. Je pojmenována podle matematiků Eugenio Calabi a Shing-Tung Yau.^[6]

Poté, co potrubí Calabi – Yau vstoupilo do fyziky jako způsob, jak zhutnit další dimenze, mnoho fyziků začalo studovat tato potrubí. Na konci 80. let Lance Dixon Wolfgang Lerche, Cumrun Vafa a Nick Warner si všimli, že vzhledem k takovému zhutnění teorie strun není možné jedinečně rekonstruovat odpovídající potrubí Calabi – Yau.^[7] Místo toho se volaly dvě různé verze teorie strun teorie strun typu IIA a typ IIB lze zhutnit na zcela odlišných rozdělovačích Calabi – Yau, což vede ke stejné fyzice.^[8] V této situaci se potrubí nazývají zrcadlové potrubí a vztah mezi dvěma fyzickými teoriemi se nazývá zrcadlová symetrie.^[9]

Vztah zrcadlové symetrie je konkrétním příkladem toho, co fyzici nazývají a fyzická dualita. Obecně platí, že termín fyzická dualita odkazuje na situaci, kdy se dvě zdánlivě odlišné fyzikální teorie ukázaly jako rovnocenné netriviálním způsobem. Pokud lze jednu teorii transformovat, takže vypadá stejně jako jiná teorie, říká se, že v rámci této transformace jsou dvě. Jinými slovy, obě teorie jsou matematicky odlišnými popisy stejných jevů.^[10] Takové duality hrají důležitou roli v moderní fyzice, zejména v teorii strun.^[11]

Bez ohledu na to, zda Calabi – Yauovy kompilace teorie strun poskytují správný popis přírody, má existence zrcadlové duality mezi různými teoriemi strun významné matematické důsledky.^[12] Zajímavé jsou rozdělovače Calabi – Yau používané v teorii strun čistá matematika a zrcadlová symetrie umožňuje matematikům řešit problémy v enumerativní algebraická geometrie, obor matematiky zabývající se počítáním počtů řešení geometrických otázek. Klasickým problémem výčtu geometrie je výčet racionální křivky na rozdělovači Calabi – Yau, jako je ten, který je znázorněn výše. Použitím zrcadlové symetrie matematici převedli tento problém na ekvivalentní problém pro zrcadlo Calabi – Yau, což se ukázalo být snazší vyřešit.^[13]

Ve fyzice je zrcadlová symetrie oprávněná z fyzikálních důvodů.^[14] Matematici to však obecně vyžadují přísné důkazy které nevyžadují odvolání na fyzickou intuici. Z matematického hlediska je výše popsaná verze zrcadlové symetrie stále pouze domněnkou, ale existuje jiná verze zrcadlové symetrie v kontextu topologická teorie strun, zjednodušená verze teorie strun zavedená Edward Witten,^[15] což bylo důsledně prokázáno matematiky.^[16] V kontextu topologické teorie strun zrcadlová symetrie uvádí, že dvě teorie se nazývají A-model a B-model jsou rovnocenné v tom smyslu, že je zde dualita.^[17] Dnes je zrcadlová symetrie aktivní oblastí výzkumu v matematice a matematici pracují na vývoji úplnějšího matematického porozumění zrcadlové symetrie na základě intuice fyziků.^[18]

Dějiny

Myšlenka zrcadlové symetrie lze vysledovat až do poloviny 80. let, kdy bylo zjištěno, že řetězec šířící se v kruhu o poloměru ${ displaystyle R}$ je fyzicky ekvivalentní řetězci šířícímu se v kruhu o poloměru ${ displaystyle 1 / R}$ nemístný Jednotky.^[19] Tento jev je nyní známý jako T-dualita a rozumí se, že úzce souvisí se zrcadlovou symetrií.^[20] V příspěvku z roku 1985 Philip Candelas, Gary Horowitz, Andrew Strominger a Edward Witten ukázali, že zhutněním teorie strun na potrubí Calabi – Yau získáme teorii zhruba podobnou standardní model částicové fyziky který také důsledně zahrnuje myšlenku zvanou supersymetrie.^[21] Po tomto vývoji začali mnozí fyzici studovat zhutnění Calabi – Yau v naději, že vytvoří konstruktivní modely částicové fyziky založené na teorii strun. Cumrun Vafa a další si všimli, že na základě takového fyzického modelu není možné jedinečně rekonstruovat odpovídající potrubí Calabi – Yau. Místo toho existují dvě potrubí Calabi – Yau, která vedou ke stejné fyzice.^[22]

Studiem vztahu mezi rozdělovači Calabi – Yau a jistými teorie konformního pole zvané modely Gepner, Brian Greene a Ronen Plesser našli netriviální příklady zrcadlového vztahu.^[23] Další důkazy pro tento vztah pocházejí z práce Philipa Candelasa, Moniky Lynkerové a Rolfa Schimmrigka, kteří pomocí počítače prozkoumali velké množství potrubí Calabi – Yau a zjistili, že přicházejí ve dvojicích zrcadel.^[24]

Matematici se začali zajímat o zrcadlovou symetrii kolem roku 1990, kdy fyzici Philip Candelas, Xenia de la Ossa, Paul Green a Linda Parkes ukázali, že zrcadlovou symetrii lze použít k řešení problémů v enumerativní geometrii^[25] která odolávala řešení po celá desetiletí.^[26] Tyto výsledky byly prezentovány matematikům na konferenci v Výzkumný ústav matematických věd (MSRI) v Berkeley, Kalifornie v květnu 1991. Během této konference bylo zjištěno, že jedno z čísel, která Candelas vypočítal pro počítání racionálních křivek, nesouhlasil s počtem získaným Norština matematici Geir Ellingsrud a Stein Arild Strømme pomocí zdánlivě přísnějších technik.^[27] Mnoho matematiků na konferenci předpokládalo, že Candelasova práce obsahuje chybu, protože nebyla založena na přísných matematických argumentech. Po prozkoumání jejich řešení však Ellingsrud a Strømme objevili chybu v jejich počítačovém kódu a po opravě kódu dostali odpověď, která souhlasila s odpovědí získanou Candelasem a jeho spolupracovníky.^[28]

V roce 1990 představil Edward Witten topologickou teorii strun,^[15] zjednodušená verze teorie strun a fyzici ukázali, že pro topologickou teorii strun existuje verze zrcadlové symetrie.^[29] Toto tvrzení o topologické teorii strun se obvykle bere jako definice zrcadlové symetrie v matematické literatuře.^[30] Na adresu na adrese Mezinárodní kongres matematiků v roce 1994 matematik Maxim Kontsevich představil novou matematickou domněnku založenou na fyzikální myšlence zrcadlové symetrie v teorii topologických strun. Známý jako homologická zrcadlová symetrie, tato domněnka formalizuje zrcadlovou symetrii jako ekvivalenci dvou matematických struktur: odvozená kategorie z koherentní snopy na potrubí Calabi – Yau a Kategorie Fukaya jeho zrcadla.^[31]

Také kolem roku 1995 Kontsevich analyzoval výsledky Candelas, který dal obecný vzorec pro problém počítání racionálních křivek na quintic trojí, a tyto výsledky přeformuloval jako přesnou matematickou domněnku.^[32] V roce 1996 Alexander Givental zveřejnil článek, který tvrdil, že dokazuje tuto domněnku Kontseviče.^[33] Zpočátku mnoho matematiků považovalo tento článek za těžké pochopit, takže o jeho správnosti existovaly pochybnosti. Následně Bong Lian, Kefeng Liu a Shing-Tung Yau zveřejnili nezávislý důkaz v sérii článků.^[34] Navzdory polemikám o tom, kdo publikoval první důkaz, jsou tyto práce nyní kolektivně považovány za poskytnutí matematického důkazu výsledků původně získaných fyziky pomocí zrcadlové symetrie.^[35] V roce 2000 poskytli Kentaro Hori a Cumrun Vafa další fyzický důkaz zrcadlové symetrie založené na T-dualitě.^[14]

Práce na zrcadlové symetrii dnes pokračuje s významným vývojem v kontextu řetězců na povrchy s hranicemi.^[18] Kromě toho zrcadlová symetrie souvisí s mnoha aktivními oblastmi matematického výzkumu, jako je například Korespondence McKay, topologická kvantová teorie pole a teorie podmínky stability.^[36] Zároveň se základní otázky i nadále trápí. Například matematikům stále chybí porozumění tomu, jak konstruovat příklady zrcadlových párů Calabi – Yau, ačkoli v porozumění této problematice došlo k pokroku.^[37]

Aplikace

Enumerativní geometrie

Kruhy Apollonius: Osm barevných kruhů se dotýká tří černých kruhů.

Mnoho důležitých matematických aplikací zrcadlové symetrie patří do oboru matematiky nazývaného enumerativní geometrie. V enumerativní geometrii se člověk zajímá spočítáním počtu řešení geometrických otázek, obvykle pomocí technik algebraická geometrie. Jeden z prvních problémů enumerativní geometrie nastal kolem roku 200 BCE starořecký matematik Apollonius, který se zeptal, kolik kruhů v rovině je tečna ke třem daným kruhům. Obecně platí, že řešení problém Apollónia je, že takových kruhů je osm.^[38]

The Clebsch kubický

Enumerativní problémy v matematice se často týkají třídy geometrických objektů zvaných algebraické odrůdy které jsou definovány zmizením polynomy. Například Clebsch krychlový (viz obrázek) je definován pomocí určitého polynomu stupeň tři ze čtyř proměnných. Oslavovaný výsledek matematiků z devatenáctého století Arthur Cayley a George Salmon uvádí, že existuje přesně 27 přímek, které leží úplně na takovém povrchu.^[39]

Zobecněním tohoto problému se můžeme zeptat, kolik čar lze nakreslit na kvintickém potrubí Calabi – Yau, jako je ten, který je znázorněn výše, který je definován polynomem stupně pět. Tento problém vyřešil německý matematik devatenáctého století Hermann Schubert, kteří zjistili, že takových řádků je přesně 2 875. V roce 1986 geometr Sheldon Katz dokázal, že počet křivek, jako jsou kružnice, které jsou definovány polynomy stupně dva a leží zcela v kvintice, je 609 250.^[38]

Do roku 1991 byla většina klasických problémů enumerativní geometrie vyřešena a zájem o enumerativní geometrii začal klesat. Podle matematika Marka Grossa: „Jakmile byly staré problémy vyřešeny, lidé se vrátili zpět, aby zkontrolovali Schubertovy počty pomocí moderních technik, ale to už dost zatuchlo.“^[40] Pole bylo znovu oživeno v květnu 1991, kdy fyzici Philip Candelas, Xenia de la Ossa, Paul Green a Linda Parkes ukázali, že pomocí zrcadlové symetrie lze spočítat počet křivek stupně tři na kvintickém Calabi – Yau. Candelas a jeho spolupracovníci zjistili, že tyto šestrozměrné rozdělovače Calabi – Yau mohou obsahovat přesně 317 206 375 křivek stupně tři.^[40]

Kromě počítání křivek stupně tři na kvintickém trojnásobku získal Candelas a jeho spolupracovníci řadu obecnějších výsledků pro počítání racionálních křivek, které šly daleko za výsledky získané matematiky.^[41] Ačkoli metody použité v této práci byly založeny na fyzické intuici, matematici pokračovali důsledně prokázat některé předpovědi zrcadlové symetrie. Zejména byly pečlivě prokázány výčty předpovědí zrcadlové symetrie.^[35]

Teoretická fyzika

Kromě aplikací v enumerativní geometrii je zrcadlová symetrie základním nástrojem pro výpočty v teorii strun. V A-modelu topologické teorie strun jsou fyzicky zajímavé veličiny vyjádřeny nekonečně mnoha volanými čísly Gromov – Wittenovy invarianty, které je extrémně obtížné vypočítat. V B-modelu lze výpočty redukovat na klasické integrály a jsou mnohem jednodušší.^[42] Použitím zrcadlové symetrie mohou teoretici převést obtížné výpočty v A-modelu na ekvivalentní, ale technicky jednodušší výpočty v B-modelu. Tyto výpočty se poté používají k určení pravděpodobností různých fyzikálních procesů v teorii strun. Zrcadlovou symetrii lze kombinovat s dalšími dualitami a převést výpočty v jedné teorii do ekvivalentních výpočtů v jiné teorii. Tím, že tímto způsobem outsourcují výpočty do různých teorií, mohou teoretici vypočítat veličiny, které nelze vypočítat bez použití dualit.^[43]

Mimo teorii strun se zrcadlová symetrie používá k pochopení aspektů kvantová teorie pole, formalismus, který fyzici používají k popisu elementární částice. Například, měřicí teorie jsou třída vysoce symetrických fyzikálních teorií, které se objevují ve standardním modelu částicové fyziky a dalších částech teoretické fyziky. Některé teorie měřidel, které nejsou součástí standardního modelu, ale které jsou přesto důležité z teoretických důvodů, vycházejí z řetězců propagujících téměř singulární pozadí. Pro takové teorie je zrcadlová symetrie užitečným výpočetním nástrojem.^[44] Zrcadlovou symetrii lze skutečně použít k provádění výpočtů v důležité teorii měřidla ve čtyřech dimenzích časoprostoru, kterou studoval Nathan Seiberg a Edward Witten a je také obeznámen s matematikou v kontextu Donaldsonovy invarianty.^[45] Existuje také generalizace zrcadlové symetrie 3D zrcadlová symetrie který spojuje dvojice teorií kvantového pole ve třech dimenzích časoprostoru.^[46]

Přístupy

Homologická zrcadlová symetrie

Otevřete řetězce připojené k páru D-brány

V teorii strun a souvisejících teorií ve fyzice, a brane je fyzický objekt, který zobecňuje pojem bodové částice do vyšších dimenzí. Například na bodovou částici lze pohlížet jako na branu dimenze nula, zatímco na řetězec lze nahlížet jako na branu dimenze jedna. Je také možné uvažovat o vyšších dimenzích bran. Slovo brane pochází ze slova „membrána“, které označuje dvourozměrnou brane.^[47]

V teorii strun může být řetězec otevřený (tvořící segment se dvěma koncovými body) nebo uzavřený (tvořící uzavřenou smyčku). D-brány jsou důležitou třídou bran, které vznikají, když uvažujeme o otevřených řetězcích. Protože se otevřený řetězec šíří prostoročasem, jeho koncové body musí ležet na D-braně. Písmeno "D" v D-brane označuje podmínku, kterou splňuje, Dirichletova okrajová podmínka.^[48]

Matematicky lze brány popsat pomocí pojmu a kategorie.^[49] Jedná se o matematickou strukturu skládající se z předmětya pro jakoukoli dvojici objektů sadu morfismy mezi nimi. Ve většině příkladů jsou objekty matematické struktury (například sady, vektorové prostory nebo topologické prostory ) a morfismy jsou funkce mezi těmito strukturami.^[50] Lze také zvážit kategorie, kde objekty jsou D-brány a morfismy mezi dvěma branami ${ displaystyle alpha}$ a ${ displaystyle beta}$ jsou státy otevřených řetězců natažených mezi nimi ${ displaystyle alpha}$ a ${ displaystyle beta}$.^[51]

V B-modelu topologické teorie strun jsou D-brany komplexní dílčí potrubí Calabi – Yau spolu s dalšími daty, která fyzicky vznikají z poplatků v koncových bodech řetězců.^[51] Intuitivně si lze podmanifold představit jako povrch vložený do Calabi – Yau, ačkoli podmanifold může existovat také v odlišných dimenzích než dvě.^[26] V matematickém jazyce je kategorie, která má tyto brany jako své objekty, známá jako odvozená kategorie koherentních snopů na Calabi-Yau.^[52] V A-modelu lze D-brany opět považovat za podmanifold potrubí Calabi – Yau. Zhruba řečeno, jsou to to, co matematici nazývají speciální Lagrangian submanifolds.^[52] To mimo jiné znamená, že mají poloviční rozměr prostoru, ve kterém sedí, a minimalizují délku, plochu nebo objem.^[53] Kategorie s těmito branami jako objekty se nazývá kategorie Fukaya.^[52]

Odvozená kategorie koherentních svazků je konstruována pomocí nástrojů od složitá geometrie, obor matematiky, který popisuje geometrické křivky v algebraických termínech a řeší geometrické problémy pomocí algebraické rovnice.^[54] Na druhou stranu je kategorie Fukaya konstruována pomocí symplektická geometrie, obor matematiky, který vznikl studiem klasická fyzika. Symplektická geometrie studuje prostory vybavené a symlektická forma, matematický nástroj, který lze použít k výpočtu plocha ve dvojrozměrných příkladech.^[17]

Homologická domněnka zrcadlové symetrie Maxima Kontsevicha uvádí, že odvozená kategorie koherentních svazků na jednom potrubí Calabi – Yau je v určitém smyslu ekvivalentní kategorii Fukaya jeho zrcadla.^[55] Tato ekvivalence poskytuje přesnou matematickou formulaci zrcadlové symetrie v teorii topologických strun. Kromě toho poskytuje neočekávaný most mezi dvěma větvemi geometrie, konkrétně složitou a symplektickou geometrií.^[56]

Dominger Strominger – Yau – Zaslow

A torus lze zobrazit jako svaz nekonečně mnoha kruhů, například červené na obrázku. Pro každý bod na růžovém kruhu existuje jeden takový kruh.

Další přístup k pochopení zrcadlové symetrie navrhli Andrew Strominger, Shing-Tung Yau a Eric Zaslow v roce 1996.^[20] Podle jejich domněnky, nyní známé jako domněnka SYZ, lze zrcadlovou symetrii pochopit rozdělením potrubí Calabi – Yau na jednodušší části a jejich transformací, aby se získalo zrcadlové Calabi – Yau.^[57]

Nejjednodušší příklad potrubí Calabi – Yau je dvourozměrný torus nebo tvar koblihy.^[58] Zvažte kruh na tomto povrchu, který jednou prochází otvorem koblihy. Příkladem je červený kruh na obrázku. Na torusu je nekonečně mnoho podobných kruhů; ve skutečnosti je celý povrch a svaz takových kruhů.^[59]

Lze zvolit pomocný kruh ${ displaystyle B}$ (růžový kruh na obrázku) tak, že každý z nekonečně mnoha kruhů rozkládajících torus prochází bodem ${ displaystyle B}$. Tento pomocný kruh se říká parametrizovat kruhy rozkladu, což znamená, že mezi nimi a body ${ displaystyle B}$. Kruh ${ displaystyle B}$ je více než jen seznam, protože také určuje, jak jsou tyto kruhy uspořádány na torusu. Tento pomocný prostor hraje důležitou roli v domněnce SYZ.^[53]

Myšlenku rozdělení torusu na kousky parametrizované pomocným prostorem lze zobecnit. Zvyšováním dimenze ze dvou na čtyři skutečné dimenze se Calabi – Yau stává a Povrch K3. Stejně jako byl torus rozložen na kruhy, lze čtyřrozměrný povrch K3 rozložit na dvourozměrný tori. V tomto případě prostor ${ displaystyle B}$ je obyčejný koule. Každý bod na kouli odpovídá jednomu z dvojrozměrných tori, kromě dvaceti čtyř „špatných“ bodů odpovídajících „sevření“ nebo jednotné číslo Tori.^[53]

Calabi – Yau různá potrubí primárního zájmu v teorii strun mají šest dimenzí. Lze rozdělit takové potrubí na 3-tori (trojrozměrné objekty, které zobecňují pojem torus) parametrizované pomocí a 3 koule ${ displaystyle B}$ (trojrozměrné zobecnění koule). Každý bod ${ displaystyle B}$ odpovídá 3-torusu, kromě nekonečně mnoha „špatných“ bodů, které tvoří mřížkovitý vzor segmentů na Calabi – Yau a odpovídají singulárnímu tori.^[60]

Jakmile je rozdělovač Calabi – Yau rozložen na jednodušší části, lze zrcadlovou symetrii pochopit intuitivním geometrickým způsobem. Jako příklad zvažte výše popsaný torus. Představte si, že tento torus představuje „časoprostor“ pro a fyzikální teorie. Základní objekty této teorie budou řetězce šířící se časoprostorem podle pravidel kvantová mechanika. Jednou ze základních dualit teorie strun je T-dualita, která uvádí, že řetězec se šíří kolem kruhu o poloměru ${ displaystyle R}$ je ekvivalentní řetězci šířenému kolem kruhu o poloměru ${ displaystyle 1 / R}$ v tom smyslu, že všechny pozorovatelné veličiny v jednom popisu jsou identifikovány s veličinami v dvojím popisu.^[61] Například řetězec má hybnost jak se šíří kolem kruhu, a může také kroužit kolem kruhu jednou nebo vícekrát. Počet opakování řetězce kolem kruhu se nazývá číslo vinutí. Pokud má řetězec hybnost ${ displaystyle p}$ a číslo vinutí ${ displaystyle n}$ v jednom popisu to bude mít hybnost ${ displaystyle n}$ a číslo vinutí ${ displaystyle p}$ ve dvojím popisu.^[61] Při současném použití T-duality na všechny kruhy, které rozkládají torus, se poloměry těchto kruhů stávají obrácenými a jedné se ponechává nový torus, který je „tlustší“ nebo „hubenější“ než originál. Tento torus je zrcadlem původního Calabi – Yau.^[62]

T-dualitu lze rozšířit z kruhů na dvourozměrné tori, které se objevují v rozkladu povrchu K3, nebo na trojrozměrné tori, které se objevují v rozkladu šestrozměrného potrubí Calabi – Yau. Obecně platí, že dohad SYZ uvádí, že zrcadlová symetrie je ekvivalentní současné aplikaci T-duality na tyto tori. V každém případě prostor ${ displaystyle B}$ poskytuje jakýsi plán, který popisuje, jak jsou tyto tori sestaveny do potrubí Calabi – Yau.^[63]

Viz také

• Donaldson – Thomasova teorie
• Překračování zdi

Poznámky

Reference

Další čtení

Popularizace

• Yau, Shing-Tung; Nadis, Steve (2010). Tvar vnitřního prostoru: teorie strun a geometrie skrytých dimenzí vesmíru. Základní knihy. ISBN  978-0-465-02023-2.
• Zaslow, Eric (2005). „Fyzika“. arXiv:fyzika / 0506153.
• Zaslow, Eric (2008). "Zrcadlová symetrie". V Gowers, Timothy (ed.). Princetonský společník matematiky. ISBN  978-0-691-11880-2.

Učebnice

• Aspinwall, Paul; Bridgeland, Tom; Craw, Alastair; Douglas, Michael; Gross, Mark; Kapustin, Anton; Moore, Gregory; Segal, Graeme; Szendröi, Balázs; Wilson, P.M.H., eds. (2009). Dirichletovy branky a zrcadlová symetrie. Americká matematická společnost. ISBN  978-0-8218-3848-8.
• Cox, David; Katz, Sheldon (1999). Zrcadlová symetrie a algebraická geometrie. Americká matematická společnost. ISBN  978-0-8218-2127-5.
• Hori, Kentaro; Katz, Sheldon; Klemm, Albrecht; Pandharipande, Rahul; Thomas, Richard; Vafa, Cumrun; Vakil, Ravi; Zaslow, Eric, eds. (2003). Zrcadlová symetrie (PDF). Americká matematická společnost. ISBN  0-8218-2955-6. Archivovány od originálu 2006-09-19.CS1 maint: BOT: stav původní adresy URL neznámý (odkaz)