Smyčková algebra - Loop algebra

v matematika, smyčkové algebry jsou určité typy Lež algebry, se zvláštním zájmem o teoretická fyzika.

Definice

Li G je Lieova algebra, tenzorový produkt z G s C^∞(S¹), algebra z (komplex) plynulé funkce přes kruh potrubí S¹ (ekvivalentně, plynulý s komplexním hodnocením periodické funkce daného období),

${ displaystyle { mathfrak {g}} další C ^ { infty} (S ^ {1})}$,

je nekonečně trojrozměrná Lieova algebra s Ležící závorka dána

${ displaystyle [g_ {1} otimes f_ {1}, g_ {2} otimes f_ {2}] = [g_ {1}, g_ {2}] otimes f_ {1} f_ {2}}$.

Tady G₁ a G₂ jsou prvky G a F₁ a F₂ jsou prvky C^∞(S¹).

To není přesně to, co by odpovídalo přímý produkt nekonečně mnoha kopií G, jeden pro každý bod v S¹, kvůli omezení hladkosti. Místo toho to lze považovat za pojmy hladká mapa z S¹ na G; plynulá parametrizovaná smyčka G, jinými slovy. Proto se tomu říká smyčková algebra.

Skupina smyček

Podobně sada všech hladkých map z S¹ do a Lež skupina G tvoří nekonečně dimenzionální Lieovu skupinu (Lieovu skupinu ve smyslu, který můžeme definovat funkční deriváty nad ním) volal skupina smyček. Lieova algebra skupiny smyček je odpovídající smyčková algebra.

Fourierova transformace

Můžeme si vzít Fourierova transformace na této smyčkové algebře definováním

${ displaystyle g mnohokrát t ^ {n}}$

tak jako

${ displaystyle g další e ^ {- v sigma}}$

kde

0 ≤ σ <2π

je koordinace S¹.

Aplikace

Li G je polojednoduchá Lie algebra, pak netriviální centrální prodloužení jeho smyčkové algebry vede k afinní Lieova algebra.

Reference

• Fuchs, Jurgen (1992), Affine Lie Algebras a kvantové skupiny, Cambridge University Press, ISBN  0-521-48412-X

Tento algebra související článek je a pahýl. Wikipedii můžete pomoci pomocí rozšiřovat to.