Rozdělovač G2 - G2 manifold
v diferenciální geometrie, a G2 potrubí je sedmrozměrný Riemannovo potrubí s holonomy skupina obsaženo v G2. The skupina je jedním z pěti výjimečných jednoduché Lieovy skupiny. Lze jej popsat jako automorfická skupina z octonions, nebo ekvivalentně jako správná podskupina speciální ortogonální skupina SO (7), které zachovává a spinor v osmi-dimenzionální spinorová reprezentace nebo konečně jako podskupina obecná lineární skupina GL (7), který zachovává nedegenerovanou 3-formu , asociativní forma. The Hodge dual, je pak paralelní 4-forma, koassociativní forma. Tyto formy jsou kalibrace ve smyslu Reese Harvey a H. Blaine Lawson,[1] a definovat tak speciální třídy 3- a 4-dimenzionálních podmanifoldů.
Vlastnosti
Žádný -manifold je:
- 7-dimenzionální,
- Ricci-byt,
- orientovatelný, a
- A roztočit potrubí.
Navíc jakékoli kompaktní potrubí s holonomy rovné má
- konečný základní skupina,
- nenulová první Třída Pontryagin, a
- nenulová třetí a čtvrtá Betti čísla.
Dějiny
Skutečnost, že by mohla být holonomická skupina určitých Riemannovských 7-variet, byla poprvé navržena klasifikační větou z roku 1955 Marcel Berger, a to zůstalo v souladu se zjednodušeným důkazem, který později poskytl Jim Simons v roce 1962. Ačkoli dosud nebyl objeven jediný příklad takového potrubí, Edmond Bonan nicméně užitečně přispěl tím, že ukázal, že pokud by takovéto potrubí ve skutečnosti existovalo, mělo by paralelní 3-formu a paralelní 4-formu a že by nutně bylo Ricci-flat.[2]
První místní příklady 7-variet s holonomy byly nakonec postaveny kolem roku 1984 Robert Bryant a jeho úplný důkaz o jejich existenci se objevil v Annals v roce 1987.[3] Dále dokončete (ale stále nekompaktní) 7-potrubí s holonomy byly postaveny Bryantem a Simonem Salamonem v roce 1989.[4] První kompaktní 7-rozdělovače s holonomy byly postaveny Dominic Joyce v roce 1994. Kompaktní potrubí jsou proto někdy známá jako "potrubí Joyce", zejména ve fyzikální literatuře.[5]
V roce 2015 nová konstrukce kompaktní potrubí, kvůli Alessio Corti „Mark Haskins, Johannes Nordstrőm a Tommaso Pacini spojili myšlenku lepení, kterou navrhli Simon Donaldson s novými algebro-geometrickými a analytickými technikami pro konstrukci Rozdělovače Calabi – Yau s válcovými konci, což má za následek desítky tisíc typů difeomorfismu nových příkladů.[6]
Spojení s fyzikou
Tato potrubí jsou důležitá v teorie strun. Rozbíjejí originál supersymetrie na 1/8 původní částky. Například, M-teorie zhuštěný na a potrubí vede k realistické čtyřrozměrné (11-7 = 4) teorii s N = 1 supersymetrií. Výsledná nízkoenergetická účinnost supergravitace obsahuje jedinou supergravitaci supermultiplet, počet chirální supermultiplety rovná se třetímu Betti číslo z potrubí a počet U (1) vektorové supermultiplety rovná se druhému číslu Betti.
Viz také
Reference
- ^ Harvey, Reese; Lawson, H. Blaine (1982), "Calibrated geometries", Acta Mathematica, 148: 47–157, doi:10.1007 / BF02392726, PAN 0666108.
- ^ Bonan, Edmonde (1966), „Sur les variétés riemanniennes à groupe d'holonomie G2 ou Spin (7)“, Komptuje Rendus de l'Académie des Sciences, 262: 127–129.
- ^ Bryant, Robert L. (1987), „Metriky s výjimečnou holonomií“, Annals of Mathematics, 126 (2): 525–576, doi:10.2307/1971360, JSTOR 1971360.
- ^ Bryant, Robert L.; Salamon, Simon M. (1989), „O konstrukci některých úplných metrik s výjimečnou holonomií“, Duke Mathematical Journal, 58: 829–850, doi:10.1215 / s0012-7094-89-05839-0, PAN 1016448.
- ^ Joyce, Dominic D. (2000), Kompaktní rozdělovače se speciální holonomiíOxfordské matematické monografie, Oxford University Press, ISBN 0-19-850601-5.
- ^ Corti, Alessio; Haskins, Mark; Nordström, Johannes; Pacini, Tommaso (2015). "Rozdělovače G2 a asociativní dílčí rozdělovače prostřednictvím 3-násobných semi-Fano". Duke Mathematical Journal. 164: 1971–2092.
Další čtení
- Becker, Katrin; Becker, Melanie; Schwarz, John H. (2007), „Rozdělovače s G2 a Spin (7) holonomy ", String Theory and M-Theory: A Modern Introduction, Cambridge University Press, str. 433–455, ISBN 978-0-521-86069-7.
- Fernandez, M .; Gray, A. (1982), „Riemannovy potrubí se strukturní skupinou G2", Ann. Rohož. Pura Appl., 32: 19–845, doi:10.1007 / BF01760975.
- Karigiannis, Spiro (2011), „Co je ... a G2-Rozdělovač? “ (PDF), Oznámení AMS, 58 (04): 580–581.