Zásadní zastoupení - Fundamental representation

v teorie reprezentace z Lež skupiny a Lež algebry, a základní zastoupení je neredukovatelná konečně-dimenzionální reprezentace a polojednoduchý Lie groupor Lie algebra jehož nejvyšší váha je základní váha. Například definující modul a klasická Lieova skupina je základní reprezentace. Libovolná konečně-dimenzionální neredukovatelná reprezentace polojednodušé Lieovy skupiny nebo Lieovy algebry může být vytvořena ze základních reprezentací procedurou kvůli Élie Cartan. V určitém smyslu jsou tedy základní reprezentace základními stavebními kameny pro libovolné konečně-dimenzionální reprezentace.

Příklady

• V případě obecná lineární skupina, jsou všechny základní reprezentace vnější síly definujícího modulu.
• V případě speciální jednotné skupiny SU (n), n - 1 základní reprezentací jsou klínové výrobky ${ displaystyle operatorname {Alt} ^ {k} { mathbb {C}} ^ {n}}$ skládající se z střídavé tenzory, pro k = 1, 2, ..., n − 1.
• The rotační reprezentace dvojitého krytu lichého ortogonální skupina, divný spinová skupina, a dvě poloviční rotace reprezentace dvojitého krytu sudé ortogonální skupiny, sudé spinorové skupiny, jsou základní reprezentace, které nelze realizovat v prostoru tenzorů.
• The adjunkční reprezentace jednoduché Lieovy skupiny typu E₈ je základní reprezentace.

Vysvětlení

The neredukovatelné reprezentace a jednoduše připojeno kompaktní Lež skupina jsou indexovány podle svých nejvyšších závaží. Tyto váhy jsou mřížové body v orthantu Q₊ v váhová mřížka skupiny Lie, sestávající z dominantních integrálních vah. Dá se dokázat, že existuje sada základní váhyindexované vrcholy Dynkinův diagram, takže jakákoli dominantní integrální váha je nezáporná celočíselná lineární kombinace základních vah.^[1] Odpovídající neredukovatelné reprezentace jsou základní reprezentace skupiny Lie. Z expanze dominantní váhy, pokud jde o základní váhy, lze vzít odpovídající tenzorový součin základních reprezentací a extrahovat jednu kopii neredukovatelné reprezentace odpovídající této dominantní hmotnosti.^[2]

Jiná použití

Mimo teorii Lie, termín základní zastoupení se někdy volně používá k označení věrného zobrazení nejmenší dimenze, i když se tomu také často říká Standard nebo definování reprezentace (termín odkazující spíše na historii, než aby měl přesně definovaný matematický význam).

Reference

• Fulton, William; Harris, Joe (1991). Teorie reprezentace. První kurz. Postgraduální texty z matematiky, Čtení z matematiky. 129. New York: Springer-Verlag. doi:10.1007/978-1-4612-0979-9. ISBN  978-0-387-97495-8. PAN  1153249. OCLC  246650103.
• Hall, Brian C. (2015), Lie Groups, Lie Algebras, and Reprezentations: An Elementary Introduction, Postgraduální texty z matematiky, 222 (2. vyd.), Springer, ISBN  978-0-387-40122-5.

Charakteristický