Nelineární sigma model - Non-linear sigma model

v kvantová teorie pole, a nelineární σ Modelka popisuje a skalární pole Σ který přebírá hodnoty v nelineárním potrubí zvaném cílové potrubí  T. Nelineární σ-model představil Gell-Mann & Lévy (1960, část 6), který jej pojmenoval podle pole, které odpovídá volanému bezzubému mezonu σ v jejich modelu.^[1] Tento článek se zabývá především kvantizací nelineárního modelu sigma; viz základní článek na webu sigma model pro obecné definice a klasické (nekvantové) formulace a výsledky.

Popis

Cílové potrubí T je vybaven a Riemannova metrika  G. Σ je rozlišitelná mapa od Minkowského prostor M (nebo nějaký jiný prostor) doT.

The Lagrangeova hustota v současné chirální formě^[2] je dána

${ displaystyle { mathcal {L}} = {1 nad 2} g ( částečné ^ { mu} Sigma, částečné _ { mu} Sigma) -V ( Sigma)}$

kde jsme použili + - - - metrický podpis a parciální derivace ∂Σ je dána částí svazek trysek z T×M a PROTI je potenciál.

V souřadnicovém zápisu se souřadnicemi Σ^A, A = 1, ..., n kde n je rozměrT,

${ displaystyle { mathcal {L}} = {1 nad 2} g_ {ab} ( Sigma) ( částečné ^ { mu} Sigma ^ {a}) ( částečné _ { mu} Sigma ^ {b}) - V ( Sigma).}$

Ve více než dvou dimenzích, nelineární σ modely obsahují dimenzionální vazebnou konstantu, a proto nejsou rušivě renormalizovatelné. Přesto vykazují netriviální ultrafialový pevný bod renormalizační skupiny jak v mřížkové formulaci^[3][4] a v dvojité expanzi původně navržené Kenneth G. Wilson.^[5]

V obou přístupech byl nalezen pevný bod netriviální skupiny renormalizace Na)-symetrický model je vidět, že jednoduše popisuje v dimenzích větších než dvě kritický bod oddělující uspořádanou od neuspořádané fáze. Kromě toho lze vylepšené předpovědi teorie mřížky nebo kvantové teorie pole porovnat s laboratorními experimenty kritické jevy, protože Na) model popisuje fyzickou Heisenbergovy feromagnety a související systémy. Výše uvedené výsledky proto poukazují na selhání naivní teorie poruch při správném popisu fyzického chování Na)- symetrický model nad dvěma dimenzemi a potřeba složitějších neporušujících metod, jako je mřížková formulace.

To znamená, že mohou vzniknout pouze jako efektivní teorie pole. Nová fyzika je nutná v měřítku vzdálenosti, kde oba body směřují připojená korelační funkce je stejného řádu jako zakřivení cílového potrubí. Tomu se říká UV dokončení teorie. Existuje speciální třída nelineárních modelů σ s vnitřní symetrie skupinaG *. Li G je Lež skupina a H je Lež podskupina, pak kvocientový prostor G/H je potrubí (s výhradou určitých technických omezení, jako je H jako uzavřená podmnožina) a je také a homogenní prostor z G nebo jinými slovy, a nelineární realizace zG. V mnoha případech, G/H mohou být vybaveny a Riemannova metrika který je G-variantní. To je vždy případ, například pokud G je kompaktní. Nelineární model σ s G / H jako cílovým potrubím s a G-invariantní Riemannova metrika a nulový potenciál se nazývá kvocientový prostor (nebo cosetův prostor) nelineární σ Modelka.

Při výpočtu integrály cesty, funkční měřítko musí být "váženo" druhou odmocninou určující zG,

${ displaystyle { sqrt { det g}} { mathcal {D}} Sigma.}$

Renormalizace

Tento model se ukázal být relevantní v teorii strun, kde je pojmenován dvourozměrný potrubí světový list. Ocenění její všeobecné renormalizovatelnosti poskytl Daniel Friedan.^[6] Ukázal, že teorie připouští renormalizační skupinovou rovnici v hlavním pořadí poruchové teorie ve formě

${ displaystyle lambda { frac { částečné g_ {ab}} { částečné lambda}} = beta _ {ab} (T ^ {- 1} g) = R_ {ab} + O (T ^ { 2}) ~,}$

R_ab být Ricciho tenzor cílového potrubí.

To představuje a Ricciho tok poslouchat Einsteinovy ​​rovnice pole pro cílové potrubí jako pevný bod. Existence takového pevného bodu je relevantní, protože to v tomto pořadí poruchové teorie zaručuje konformní invariance není ztracen kvůli kvantovým korekcím, takže kvantová teorie pole tohoto modelu je rozumné (renormalizovatelné).

Další přidávání nelineárních interakcí představujících aroma-chirální anomálie vede k Model Wess – Zumino – Witten,^[7] který rozšiřuje geometrii toku, aby zahrnoval kroucení, zachování renormalizovatelnosti a vedoucí k infračervený pevný bod také z důvodu teleparallelism („geometrostáza“).^[8]

O (3) nelineární sigma model

Oslavovaným příkladem, který je obzvláště zajímavý díky svým topologickým vlastnostem, je O (3) nelineární σ-model v rozměrech 1 + 1, s Lagrangeovou hustotou

${ displaystyle { mathcal {L}} = { tfrac {1} {2}} částečné ^ { mu} { klobouk {n}} cdot částečné _ { mu} { klobouk {n }}}$

kde n̂=(n₁, n₂, n₃) s omezením n̂⋅n̂= 1 a μ=1,2.

Tento model umožňuje řešení topologické konečné akce, protože v nekonečném časoprostoru musí Lagrangeova hustota zmizet, což znamená n̂ = konstantní v nekonečnu. Proto ve třídě řešení konečných akcí lze identifikovat body v nekonečnu jako jediný bod, tj. Že časoprostor lze identifikovat pomocí Riemannova koule.

Protože n̂- pole také žije na kouli, mapování S²→ S.² je důkaz, jehož řešení jsou klasifikována druhou homotopická skupina 2-koule: Tato řešení se nazývají O (3) Instantony.

Tento model lze také uvažovat v dimenzích 1 + 2, kde topologie nyní pochází pouze z prostorových řezů. Ty jsou modelovány jako R ^ 2 s bodem v nekonečnu, a proto mají stejnou topologii jako okamžiky O (3) v rozměrech 1 + 1. Nazývají se hrudky modelu sigma.

Viz také

• Model Sigma
• Chirální model
• Malý Higgs
• Skyrmion, soliton v nelineárních sigma modelech
• Model WZW
• Fubini - metrika studia, metrika často používaná u nelineárních sigma modelů
• Ricciho tok
• Měřítko invariance

Reference

externí odkazy

• Ketov, Sergei (2009). „Nelineární model Sigma“. Scholarpedia. 4 (1): 8508. Bibcode:2009SchpJ ... 4,8508K. doi:10,4249 / scholarpedia.8508.
• Kulshreshtha, U .; Kulshreshtha, D. S. (2002). „Přední forma Hamiltonian, Path Integral a BRST formulace nelineárního modelu Sigma“. International Journal of Theoretical Physics. 41 (10): 1941–1956. doi:10.1023 / A: 1021009008129. S2CID  115710780.