Freudenthal magický čtverec - Freudenthal magic square

A B	${ displaystyle mathbb {R}}$	${ displaystyle mathbb {C}}$	${ displaystyle mathbb {H}}$	${ displaystyle mathbb {O}}$
${ displaystyle mathbb {R}}$	A1	A2	C3	F4
${ displaystyle mathbb {C}}$	A2	A2 × A2	A5	E6
${ displaystyle mathbb {H}}$	C3	A5	D6	E7
${ displaystyle mathbb {O}}$	F4	E6	E7	E8

v matematika, Freudenthal magický čtverec (nebo Freudenthal – Prsa magický čtverec) je konstrukce týkající se několika Lež algebry (a jejich přidružené Lež skupiny ). Je pojmenován po Hans Freudenthal a Jacques prsa, kteří tuto myšlenku vyvinuli samostatně. Přiřazuje Lieovu algebru k dvojici dělících algeber A, B. Výsledné Lieovy algebry mají Dynkinovy ​​diagramy podle tabulky vpravo. „Magie“ magického čtverce Freudenthal spočívá v tom, že konstruovaná Lieova algebra je symetrická A a B, i když původní konstrukce není symetrická Vinbergova symetrická metoda dává symetrickou konstrukci.

Freudenthalův magický čtverec zahrnuje všechny výjimečné Lie skupiny na rozdíl od G₂, a poskytuje jeden možný přístup k ospravedlnění tvrzení, že „všechny výjimečné Lieovy skupiny existují kvůli octonions ": G₂ sám o sobě je automorfická skupina octonionů (také je v mnoha ohledech jako a klasická Lieova skupina protože je to stabilizátor obecné 3-formy na 7-dimenzionálním vektorovém prostoru - viz prehomogenní vektorový prostor ).

Stavby

Vidět Dějiny pro kontext a motivaci. Ty byly původně postaveny kolem roku 1958 Freudenthalem a Titsem, v pozdějších letech následovaly elegantnější formulace.^[1]

Přístup kozy

Kozí přístup, objeven kolem roku 1958 a publikován v (Prsa 1966 ), je následující.

Spojeno s jakýmkoli normovaným skutečným divize algebra A (tj. R, C, H nebo O) existuje a Jordan algebra, J₃(A), 3 × 3 A-Hermitovské matice. Pro jakýkoli pár (A, B) takových dělících algeber lze definovat a Lež algebra

${ displaystyle L = left ({ mathfrak {der}} (A) oplus { mathfrak {der}} (J_ {3} (B)) right) oplus left (A_ {0} otimes J_ {3} (B) _ {0} vpravo)}$

kde ${ displaystyle { mathfrak {der}}}$ označuje Lieovu algebru z derivace algebry a dolní index 0 označuje bez stop část. Lieova algebra L má ${ displaystyle { mathfrak {der}} (A) oplus { mathfrak {der}} (J_ {3} (B))}$ jako subalgebra, a to přirozeně působí ${ displaystyle A_ {0} čast J_ {3} (B) _ {0}}$. Držák Lie zapnutý ${ displaystyle A_ {0} čast J_ {3} (B) _ {0}}$ (což není subalgebra) není zřejmé, ale Tits ukázal, jak by to mohlo být definováno, a že vytvořil následující tabulku kompaktní Lieovy algebry.

	B	R	C	H	Ó
A	der(A / B)	0	0	${ displaystyle { mathfrak {sp}} _ {1}}$	${ displaystyle { mathfrak {g}} _ {2}}$
R	0	${ displaystyle { mathfrak {so}} _ {3}}$	${ displaystyle { mathfrak {su}} _ {3}}$	${ displaystyle { mathfrak {sp}} _ {3}}$	${ displaystyle { mathfrak {f}} _ {4}}$
C	0	${ displaystyle { mathfrak {su}} _ {3}}$	${ displaystyle { mathfrak {su}} _ {3} oplus { mathfrak {su}} _ {3}}$	${ displaystyle { mathfrak {su}} _ {6}}$	${ displaystyle { mathfrak {e}} _ {6}}$
H	${ displaystyle { mathfrak {sp}} _ {1}}$	${ displaystyle { mathfrak {sp}} _ {3}}$	${ displaystyle { mathfrak {su}} _ {6}}$	${ displaystyle { mathfrak {so}} _ {12}}$	${ displaystyle { mathfrak {e}} _ {7}}$
Ó	${ displaystyle { mathfrak {g}} _ {2}}$	${ displaystyle { mathfrak {f}} _ {4}}$	${ displaystyle { mathfrak {e}} _ {6}}$	${ displaystyle { mathfrak {e}} _ {7}}$	${ displaystyle { mathfrak {e}} _ {8}}$

Podle konstrukce je řádek tabulky s A=R dává ${ displaystyle { mathfrak {der}} (J_ {3} (B))}$, a podobně naopak.

Vinbergova symetrická metoda

„Magie“ magického čtverce Freudenthal spočívá v tom, že konstruovaná Lieova algebra je symetrická A a B. To není z konstrukce Tits zřejmé. Ernest Vinberg dal konstrukci, která je zjevně symetrická, v (Vinberg 1966 ). Namísto použití Jordanovy algebry používá algebru zkresleně poustevnických matic bez stop se záznamy v A ⊗ B, označeno ${ displaystyle { mathfrak {sa}} _ {3} (A otimes B)}$. Vinberg definuje strukturu Lieovy algebry

${ displaystyle { mathfrak {der}} (A) oplus { mathfrak {der}} (B) oplus { mathfrak {sa}} _ {3} (A otimes B).}$

Když A a B nemají žádné derivace (tj. R nebo C), toto je jen držák Lie (komutátor) ${ displaystyle { mathfrak {sa}} _ {3} (A otimes B)}$. V přítomnosti derivací tvoří tyto subalgebry působící přirozeně ${ displaystyle { mathfrak {sa}} _ {3} (A otimes B)}$ jako v konstrukci Tits a držák komutátoru bez stop ${ displaystyle { mathfrak {sa}} _ {3} (A otimes B)}$ je upraven výrazem s hodnotami v ${ displaystyle { mathfrak {der}} (A) oplus { mathfrak {der}} (B)}$.

Soudnost

Novější stavba, kvůli Pierre Ramond (Ramond 1976 ) chyba harv: žádný cíl: CITEREFRamond1976 (Pomoc) a Bruce Allison (Allison 1978 ) a vyvinutý Chrisem Bartonem a Anthony Sudbery, používá soudnost ve formě vyvinuté John Frank Adams; toto bylo představeno v (Barton & Sudbery 2000 ) a ve zjednodušené podobě v (Barton & Sudbery 2003 ). Zatímco Vinbergova konstrukce je založena na automorfických skupinách divizní algebry A (nebo spíše jejich Lieovy algebry odvozenin), Barton a Sudbery používají skupinu automorfismů odpovídající triability. Zkušenost je trilineární mapa

${ displaystyle A_ {1} krát A_ {2} krát A_ {3} to mathbf {R}}$

získáno pořízením tří kopií divizní algebry Aa použití vnitřního produktu na A k zdvojnásobení násobení. Skupina automorfismu je podskupinou SO (A₁) × SO (A₂) × SO (A₃) zachování této trilineární mapy. Označuje se Tri (A). Následující tabulka porovnává jeho Lieovu algebru s Lieovou algebrou derivací.

A:	R	C	H	Ó
${ displaystyle { mathfrak {der}} (A)}$	0	0	${ displaystyle { mathfrak {sp}} _ {1}}$	${ displaystyle { mathfrak {g}} _ {2}}$
${ displaystyle { mathfrak {tri}} (A)}$	0	${ displaystyle { mathfrak {u}} _ {1} oplus { mathfrak {u}} _ {1}}$	${ displaystyle { mathfrak {sp}} _ {1} oplus { mathfrak {sp}} _ {1} oplus { mathfrak {sp}} _ {1}}$	${ displaystyle { mathfrak {so}} _ {8}}$

Barton a Sudbery poté identifikují magický čtverec Lie algebry odpovídající (A,B) se strukturou Lieovy algebry ve vektorovém prostoru

${ displaystyle { mathfrak {tri}} (A) oplus { mathfrak {tri}} (B) oplus (A_ {1} otimes B_ {1}) oplus (A_ {2} otimes B_ { 2}) oplus (A_ {3} krát B_ {3}).}$

Držák Lie je kompatibilní s Z₂ × Z₂ známkování, s tri(A) a tri(B) ve stupních (0,0) a tři kopie A ⊗ B ve stupních (0,1), (1,0) a (1,1). Konzola se zachová tri(A) a tri(B) a tyto působí přirozeně na tři výtisky A ⊗ B, stejně jako v jiných konstrukcích, ale závorky mezi těmito třemi kopiemi jsou omezenější.

Například když A a B jsou oktoniony, zkouškou je to u Spinu (8), dvojitého krytu SO (8) a výtěžek popisu Barton-Sudbery

${ displaystyle { mathfrak {e}} _ {8} cong { mathfrak {so}} _ {8} oplus { widehat { mathfrak {so}}} _ {8} oplus (V otimes { widehat {V}}) oplus (S _ {+} otimes { widehat {S}} _ {+}) oplus (S _ {-} otimes { widehat {S}} _ {-}) }$

kde V, S₊ a S.₋ jsou tři 8-dimenzionální reprezentace ${ displaystyle { mathfrak {so}} _ {8}}$ (základní reprezentace a dva rotační reprezentace ) a objekty s kloboukem jsou izomorfní kopií.

S ohledem na jednu z Z₂ známkování, první tři sčítání dávají dohromady ${ displaystyle { mathfrak {so}} _ {16}}$ a poslední dva společně tvoří jednu ze svých spinových reprezentací Δ₊¹²⁸ (horní index označuje dimenzi). To je dobře známé symetrický rozklad z E8.

Konstrukce Barton – Sudbery to rozšiřuje na další Lieovy algebry na magickém náměstí. Zejména pro výjimečné Lieovy algebry v posledním řádku (nebo sloupci) jsou symetrické rozklady:

${ displaystyle { mathfrak {f}} _ {4} cong { mathfrak {so}} _ {9} oplus Delta ^ {16}}$

${ displaystyle { mathfrak {e}} _ {6} cong ({ mathfrak {so}} _ {10} oplus { mathfrak {u}} _ {1}) oplus Delta ^ {32} }$

${ displaystyle { mathfrak {e}} _ {7} cong ({ mathfrak {so}} _ {12} oplus { mathfrak {sp}} _ {1}) oplus Delta _ {+} ^ {64}}$

${ displaystyle { mathfrak {e}} _ {8} cong { mathfrak {so}} _ {16} oplus Delta _ {+} ^ {128}.}$

Zobecnění

Rozdělit složení algebry

Navíc k normované dělení algebry, existují i ​​další složení algebry přes R, jmenovitě rozdělená komplexní čísla, rozdělené čtveřice a split-octonions. Pokud je někdo použije namísto komplexních čísel, čtveřic a oktonionů, získá následující variantu magického čtverce (kde jsou rozdělené verze dělících algeber označeny pomlčkou).

A B	R	C'	H '	Ó'
R	${ displaystyle { mathfrak {so}} _ {3}}$	${ displaystyle { mathfrak {sl}} _ {3} ( mathbf {R})}$	${ displaystyle { mathfrak {sp}} _ {6} ( mathbf {R})}$	${ displaystyle { mathfrak {f}} _ {4 (4)}}$
C'	${ displaystyle { mathfrak {sl}} _ {3} ( mathbf {R})}$	${ displaystyle { mathfrak {sl}} _ {3} ( mathbf {R}) oplus { mathfrak {sl}} _ {3} ( mathbf {R})}$	${ displaystyle { mathfrak {sl}} _ {6} ( mathbf {R})}$	${ displaystyle { mathfrak {e}} _ {6 (6)}}$
H '	${ displaystyle { mathfrak {sp}} _ {6} ( mathbf {R})}$	${ displaystyle { mathfrak {sl}} _ {6} ( mathbf {R})}$	${ displaystyle { mathfrak {so}} _ {6,6}}$	${ displaystyle { mathfrak {e}} _ {7 (7)}}$
Ó'	${ displaystyle { mathfrak {f}} _ {4 (4)}}$	${ displaystyle { mathfrak {e}} _ {6 (6)}}$	${ displaystyle { mathfrak {e}} _ {7 (7)}}$	${ displaystyle { mathfrak {e}} _ {8 (8)}}$

Tady jsou všechny Lieovy algebry rozdělit skutečnou podobu až na tak₃, ale k vytvoření děleného tvaru lze použít změnu znaménka v definici Lžiho závorky tak_2,1. Zejména pro výjimečné Lieovy algebry jsou maximální kompaktní subalgebry následující:

Rozdělit formu	${ displaystyle { mathfrak {f}} _ {4 (4)}}$	${ displaystyle { mathfrak {e}} _ {6 (6)}}$	${ displaystyle { mathfrak {e}} _ {7 (7)}}$	${ displaystyle { mathfrak {e}} _ {8 (8)}}$
Maximálně kompaktní	${ displaystyle { mathfrak {sp}} _ {3} oplus { mathfrak {sp}} _ {1}}$	${ displaystyle { mathfrak {sp}} _ {4}}$	${ displaystyle { mathfrak {su}} _ {8}}$	${ displaystyle { mathfrak {so}} _ {16}}$

Nesymetrickou verzi magického čtverce lze také získat kombinací dělených algeber s obvyklými dělícími algebrami. Podle Bartona a Sudbery je výsledná tabulka Lieových algeber následující.

A B	R	C	H	Ó
R	${ displaystyle { mathfrak {so}} _ {3}}$	${ displaystyle { mathfrak {su}} _ {3}}$	${ displaystyle { mathfrak {sp}} _ {3}}$	${ displaystyle { mathfrak {f}} _ {4}}$
C'	${ displaystyle { mathfrak {sl}} _ {3} ( mathbf {R})}$	${ displaystyle { mathfrak {sl}} _ {3} ( mathbf {C})}$	${ displaystyle { mathfrak {sl}} _ {3} ( mathbf {H})}$	${ displaystyle { mathfrak {e}} _ {6 (-26)}}$
H '	${ displaystyle { mathfrak {sp}} _ {6} ( mathbf {R})}$	${ displaystyle { mathfrak {su}} _ {3,3}}$	${ displaystyle { mathfrak {so}} _ {6} ^ {*} ( mathbf {H})}$	${ displaystyle { mathfrak {e}} _ {7 (-25)}}$
Ó'	${ displaystyle { mathfrak {f}} _ {4 (4)}}$	${ displaystyle { mathfrak {e}} _ {6 (2)}}$	${ displaystyle { mathfrak {e}} _ {7 (-5)}}$	${ displaystyle { mathfrak {e}} _ {8 (-24)}}$

Skutečné výjimečné Lieovy algebry, které se zde objevují, lze opět popsat pomocí jejich maximálních kompaktních subalgeber.

Lež algebra	${ displaystyle { mathfrak {e}} _ {6 (2)}}$	${ displaystyle { mathfrak {e}} _ {6 (-26)}}$	${ displaystyle { mathfrak {e}} _ {7 (-5)}}$	${ displaystyle { mathfrak {e}} _ {7 (-25)}}$	${ displaystyle { mathfrak {e}} _ {8 (-24)}}$
Maximálně kompaktní	${ displaystyle { mathfrak {su}} _ {6} oplus { mathfrak {sp}} _ {1}}$	${ displaystyle { mathfrak {f}} _ {4}}$	${ displaystyle { mathfrak {su}} _ {12} oplus { mathfrak {sp}} _ {1}}$	${ displaystyle { mathfrak {e}} _ {6} oplus { mathfrak {u}} _ {1}}$	${ displaystyle { mathfrak {e}} _ {7} oplus { mathfrak {sp}} _ {1}}$

Libovolná pole

Rozdělené formy kompozičních algeber a Lieových algeber lze definovat přes libovolné pole K.. Tím se získá následující magický čtverec.

${ displaystyle { mathfrak {so}} _ {3} ( mathbf {K})}$	${ displaystyle { mathfrak {sl}} _ {3} ( mathbf {K})}$	${ displaystyle { mathfrak {sp}} _ {6} ( mathbf {K})}$	${ displaystyle { mathfrak {f}} _ {4} ( mathbf {K})}$
${ displaystyle { mathfrak {sl}} _ {3} ( mathbf {K})}$	${ displaystyle { mathfrak {sl}} _ {3} ( mathbf {K}) oplus { mathfrak {sl}} _ {3} ( mathbf {K})}$	${ displaystyle { mathfrak {sl}} _ {6} ( mathbf {K})}$	${ displaystyle { mathfrak {e}} _ {6} ( mathbf {K})}$
${ displaystyle { mathfrak {sp}} _ {6} ( mathbf {K})}$	${ displaystyle { mathfrak {sl}} _ {6} ( mathbf {K})}$	${ displaystyle { mathfrak {so}} _ {12} ( mathbf {K})}$	${ displaystyle { mathfrak {e}} _ {7} ( mathbf {K})}$
${ displaystyle { mathfrak {f}} _ {4} ( mathbf {K})}$	${ displaystyle { mathfrak {e}} _ {6} ( mathbf {K})}$	${ displaystyle { mathfrak {e}} _ {7} ( mathbf {K})}$	${ displaystyle { mathfrak {e}} _ {8} ( mathbf {K})}$

Existuje zde určitá nejasnost, pokud K. není algebraicky uzavřeno. V případě K. = C, toto je komplexizace freudenthalských magických čtverců pro R dosud diskutováno.

Obecnější Jordan algebry

Dosud diskutované čtverce se týkají jordánských algeber J₃(A), kde A je divizní algebra. Existují také jordánské algebry J_n(A), pro jakékoli kladné celé číslo n, tak dlouho jak A je asociativní. Tyto výnosy rozdělené formy (přes jakékoli pole K.) a kompaktní formy (přes R) zobecněných magických čtverců.

${ displaystyle { mathfrak {so}} _ {n} ( mathbf {K})}$	${ displaystyle { mathfrak {sl}} _ {n} ( mathbf {K}) { text {nebo}} { mathfrak {su}} _ {n}}$	${ displaystyle { mathfrak {sp}} _ {2n} ( mathbf {K}) { text {or}} { mathfrak {sp}} _ {n}}$
${ displaystyle { mathfrak {sl}} _ {n} ( mathbf {K}) { text {nebo}} { mathfrak {su}} _ {n}}$	${ displaystyle { mathfrak {sl}} _ {n} ( mathbf {K}) oplus { mathfrak {sl}} _ {n} ( mathbf {K}) { text {nebo}} { mathfrak {su}} _ {n} oplus { mathfrak {su}} _ {n}}$	${ displaystyle { mathfrak {sl}} _ {2n} ( mathbf {K}) { text {or}} { mathfrak {su}} _ {2n}}$
${ displaystyle { mathfrak {sp}} _ {2n} ( mathbf {K}) { text {or}} { mathfrak {sp}} _ {n}}$	${ displaystyle { mathfrak {sl}} _ {2n} ( mathbf {K}) { text {or}} { mathfrak {su}} _ {2n}}$	${ displaystyle { mathfrak {so}} _ {4n} ( mathbf {K})}$

Pro n = 2, J₂(Ó) je také Jordánská algebra. V kompaktním případě (přes R) získá se magický čtverec ortogonálních Lieových algeber.

A B	R	C	H	Ó
R	${ displaystyle { mathfrak {so}} _ {2}}$	${ displaystyle { mathfrak {so}} _ {3}}$	${ displaystyle { mathfrak {so}} _ {5}}$	${ displaystyle { mathfrak {so}} _ {9}}$
C	${ displaystyle { mathfrak {so}} _ {3}}$	${ displaystyle { mathfrak {so}} _ {4}}$	${ displaystyle { mathfrak {so}} _ {6}}$	${ displaystyle { mathfrak {so}} _ {10}}$
H	${ displaystyle { mathfrak {so}} _ {5}}$	${ displaystyle { mathfrak {so}} _ {6}}$	${ displaystyle { mathfrak {so}} _ {8}}$	${ displaystyle { mathfrak {so}} _ {12}}$
Ó	${ displaystyle { mathfrak {so}} _ {9}}$	${ displaystyle { mathfrak {so}} _ {10}}$	${ displaystyle { mathfrak {so}} _ {12}}$	${ displaystyle { mathfrak {so}} _ {16}}$

Poslední řádek a sloupec jsou částí ortogonální algebry izotropní algebry v symetrickém rozkladu výše zmíněných výjimečných Lieových algeber.

Tyto stavby úzce souvisí s hermitovské symetrické prostory - srov. prehomogenní vektorové prostory.

Symetrické prostory

Riemannovy symetrické prostory, jak kompaktní, tak nekompaktní, lze klasifikovat jednotně pomocí magické čtvercové konstrukce, v (Huang & Leung 2011 ) chyba harv: žádný cíl: CITEREFHuangLeung2011 (Pomoc). Neredukovatelné kompaktní symetrické prostory jsou až do konečných obalů buď kompaktní jednoduchá Lieova skupina, Grassmannian, Lagrangian Grassmannian nebo dvojitý Lagrangian Grassmannian podprostorů ${ displaystyle ( mathbf {A} otimes mathbf {B}) ^ {n},}$ pro algebry normovaného dělení A a B. Podobná konstrukce vytváří neredukovatelné nekompaktní symetrické prostory.

Dějiny

Rosenfeldova projektivní letadla

Následující Ruth Moufang objev v roce 1933 Cayley projektivní letadlo nebo „oktonionová projektivní rovina“ P²(Ó), jehož skupinou symetrie je výjimečná Lieova skupina F₄, as vědomím, že G₂ je automorphism skupina octonions, to bylo navrhl Rozenfeld (1956) že zbývající výjimečné Lie skupiny E₆, E₇, a E₈ jsou izomorfistické skupiny projektivních rovin nad určitými algebrami nad oktoniony:^[1]

• the bioktoniony, C ⊗ Ó,
• the kvateroktokony, H ⊗ Ó,
• the oktoktoniony, Ó ⊗ Ó.

Tento návrh je přitažlivý, protože existují určité výjimečné kompakty Riemannovy symetrické prostory s požadovanými skupinami symetrie a jejichž dimenze souhlasí s dimenzí domnělých projektivních rovin (dim (P²(K. ⊗ K.′)) = 2 dim (K.)ztlumit(K.′)), A to by dalo jednotnou konstrukci výjimečných Lieových skupin jako symetrií přirozeně se vyskytujících objektů (tj. Bez apriorní znalosti výjimečných Lieových skupin). Riemannovy symetrické prostory byly klasifikovány Cartanem v roce 1926 (v pokračování jsou použity Cartanovy štítky); vidět klasifikace pro podrobnosti a příslušné prostory jsou:

• the oktonionová projektivní rovina - FII, rozměr 16 = 2 × 8, F₄ symetrie, Cayley projektivní letadlo P²(Ó),
• bioktonionová projektivní rovina - EIII, rozměr 32 = 2 × 2 × 8, E₆ symetrie, komplexizovaná Cayleyova projektivní rovina, P²(C ⊗ Ó),
• „kvateroktokonová projektivní rovina"^[2] - EVI, rozměr 64 = 2 × 4 × 8, E.₇ symetrie, P²(H ⊗ Ó),
• „oktoktonionová projektivní rovina"^[3] - EVIII, rozměr 128 = 2 × 8 × 8, E.₈ symetrie, P²(Ó ⊗ Ó).

Potíž s tímto návrhem spočívá v tom, že zatímco oktoniony jsou divizní algebrou, a tudíž je nad nimi definována projektivní rovina, bioktoniony, kvateroktokoniony a oktooktoniony nejsou algebry dělení, a proto obvyklá definice projektivní roviny nefunguje. To lze vyřešit u bioktonionů, přičemž výslednou projektivní rovinou je složitá Cayleyova rovina, ale konstrukce nefungují pro kvateroktokony a oktooktoniony a dotyčné prostory se neřídí obvyklými axiomy projektivních rovin,^[1] odtud tedy uvozovky na „(domnělé) projektivní rovině“. Tangenciální prostor v každém bodě těchto prostor však lze identifikovat s rovinou (H ⊗ Ó)², nebo (Ó ⊗ Ó)² dále zdůvodňující intuici, že se jedná o formu zobecněné projektivní roviny.^[2][3] Podle toho se výsledné prostory někdy nazývají Rosenfeldova projektivní letadla a notovány, jako by to byla projektivní letadla. Obecněji řečeno, tyto kompaktní formy jsou Rosenfeldovy eliptické projektivní roviny, zatímco duální nekompaktní formy jsou Rosenfeldovy hyperbolické projektivní roviny. Modernější prezentace Rosenfeldových myšlenek je v (Rosenfeld 1997 ), zatímco krátká poznámka k těmto „letadlům“ je v (Besse 1987, s. 313–316).^[4]

Prostory mohou být konstruovány pomocí Titsovy teorie budov, která umožňuje konstruovat geometrii s jakoukoli danou algebraickou skupinou jako symetrie, ale to vyžaduje začít s Lieovými skupinami a z nich konstruovat geometrii, spíše než konstruovat geometrii nezávisle na znalost Lieových skupin.^[1]

Kouzelný čtverec

Zatímco na úrovni potrubí a Lieových skupin, konstrukce projektivní roviny P²(K. ⊗ K.′) Dvou normovaných divizních algeber nefunguje, odpovídající konstrukce na úrovni Lieových algeber dělá práce. To znamená, že pokud rozložíme Lieovu algebru nekonečně malých izometrií projektivní roviny P²(K.) a použije stejnou analýzu na P²(K. ⊗ K.′), Lze použít tento rozklad, který platí kdy P²(K. ⊗ K.′) Lze ve skutečnosti definovat jako projektivní rovinu, jako a definice „magického čtverce Lie Algebra“ M(K.,K.′). Tato definice je čistě algebraická a platí i bez předpokladu existence odpovídajícího geometrického prostoru. To bylo provedeno nezávisle kolem roku 1958 v (Prsa 1966 ) a Freudenthal v sérii 11 článků, počínaje (Freudenthal 1954 ) chyba harv: více cílů (2 ×): CITEREFFreudenthal1954 (Pomoc) a končí na (Freudenthal 1963 ), ačkoli zde uvedená zjednodušená konstrukce je způsobena (Vinberg 1966 ).^[1]

Viz také

• E8 (matematika)
• E7 (matematika)
• E6 (matematika)
• F4 (matematika)
• G2 (matematika)
• Trojitý systém Jordan
• Euklidovská Hurwitzova algebra
• Euklidovská Jordanova algebra

Poznámky

Reference

• Adams, John Frank (1996). Mahmud, Zafer; Mimura, Mamora (eds.). Přednášky o výjimečných lžových skupinách. Chicago přednášky z matematiky. University of Chicago Press. ISBN  978-0-226-00527-0.CS1 maint: ref = harv (odkaz)
• Allison, B.N. (1978). "Strukturovatelné algebry". Matematika. Ann. 237 (2): 133–156. doi:10.1007 / bf01351677.CS1 maint: ref = harv (odkaz)
• Baez, John C. (2002). "Octonions". Bulletin of the American Mathematical Society. 39 (2): 145–205. arXiv:matematika / 0105155. doi:10.1090 / S0273-0979-01-00934-X. ISSN  0273-0979. PAN  1886087.CS1 maint: ref = harv (odkaz) – 4.3: The Magic Square
• Baez, John C. (2005). „Errata pro Octonions" (PDF). Bulletin of the American Mathematical Society. 42 (2): 213–214. doi:10.1090 / S0273-0979-05-01052-9.CS1 maint: ref = harv (odkaz)
• Barton, C. H .; Sudbery, A. (2000). „Kouzelné čtverce Lie Algebry“. arXiv:matematika / 0001083.
• Barton, C. H .; Sudbery, A. (2003). "Magické čtverce a maticové modely Lieových algeber". Pokroky v matematice. 180 (2): 596–647. arXiv:math.RA / 0203010. doi:10.1016 / S0001-8708 (03) 00015-X.CS1 maint: ref = harv (odkaz)
• Besse, Arthur L. (1987). Rozdělovače Einstein. Berlín: Springer. ISBN  978-3-540-15279-8.CS1 maint: ref = harv (odkaz)
• Freudenthal, Hans (1954). „Beziehungen der E₇ und E₈ zur Oktavenebene. Já ". Indagationes Math. (v němčině). 16: 218–230. PAN  0063358.CS1 maint: ref = harv (odkaz)
• Freudenthal, Hans (1954). „Beziehungen der E₇ und E₈ zur Oktavenebene. II ". Indagationes Math. (v němčině). 16: 363–368. PAN  0068549.CS1 maint: ref = harv (odkaz)
• Freudenthal, Hans (1955). „Beziehungen der E₇ und E₈ zur Oktavenebene. III ". Indagationes Math. (v němčině). 17: 151–157. PAN  0068550.CS1 maint: ref = harv (odkaz)
• Freudenthal, Hans (1955). „Beziehungen der E₇ und E₈ zur Oktavenebene. IV “. Indagationes Math. (v němčině). 17: 277–285. PAN  0068551.CS1 maint: ref = harv (odkaz)
• Freudenthal, Hans (1959). „Beziehungen der E₇ und E₈ zur Oktavenebene. V – IX “. Indagationes Math. (v němčině). 21: 165–201, 447–474.CS1 maint: ref = harv (odkaz)
• Freudenthal, Hans (1963). „Beziehungen der E₇ und E₈ zur Oktavenebene. X, XI ". Indagationes Math. (v němčině). 25: 457–471, 472–487. PAN  0163203.CS1 maint: ref = harv (odkaz)
• Freudenthal, Hans (1951), Oktaven, Ausnahmegruppen und Oktavengeometrie„Mathematisch Instituut der Rijksuniversiteit te Utrecht
• Freudenthal, Hans (1985), „Oktaven, Ausnahmegruppen und Oktavengeometrie“, Geom. Dedicata, 19: 7–63, doi:10.1007 / bf00233101 (dotisk článku z roku 1951)
• Huang, Yongdong; Leung, Naichung Conan (2010). „Jednotný popis kompaktních symetrických prostorů jako Grassmannians pomocí magického čtverce“ (PDF). Mathematische Annalen. 350 (1): 79–106. doi:10.1007 / s00208-010-0549-8.CS1 maint: ref = harv (odkaz)
• Landsberg, J. M .; Manivel, L. (2001). „Projektivní geometrie Freudenthalova magického náměstí“. Journal of Algebra. 239 (2): 477–512. arXiv:math.AG/9908039. doi:10.1006 / jabr.2000.8697.CS1 maint: ref = harv (odkaz)
• Postnikov, M. (1986), Lie skupiny a Lie algebry. Přednášky z geometrie. Semestr V, Mir
• Pierre Ramond (1976), Úvod do výjimečných skupin lži a algeber, CALT-68-577, California Institute of Technology, Pasadena.
• Rozenfeld, Boris A. (1956). „[Geometrická interpretace kompaktních jednoduchých Lieových skupin třídy E]". Dokl. Akad. Nauk SSSR (v Rusku). 106: 600–603.CS1 maint: ref = harv (odkaz)
• Rosenfeld, Boris A. (1997). Geometrie Lieových skupin. Matematika a její aplikace. 393. Dordrecht: Kluwer Academic Publishers Group. str. xviii + 393. ISBN  978-0-7923-4390-5.CS1 maint: ref = harv (odkaz)
• Kozy, Jacques (1966). „Algèbres alternatives, algèbres de Jordan et algèbres de Lie exceptionnelles“ [Alternativní algebry, Jordanské algebry a výjimečné Lieovy algebry]. Indagationes Math. (francouzsky). 28: 223–237. PAN  0219578.CS1 maint: ref = harv (odkaz)
• Vinberg, E.B. (1966). „[Konstrukce výjimečných jednoduchých Lieových algeber]“. Trudy Sem. Vekt. Tenz. Anální. (v Rusku). 13: 7–9.CS1 maint: ref = harv (odkaz)
• Vinberg, E.B. (2005). "Konstrukce výjimečných jednoduchých Lieových algeber". Amer. Matematika. Soc. Transl. 213: 241–242.CS1 maint: ref = harv (odkaz)
• Yokota, Ichiro (1985). „Nesymetrie Freudenthalova magického čtverce“. J. Fac. Sci. Shinshu Univ. 20: 13–13.CS1 maint: ref = harv (odkaz)