Forma Chern – Simons - Chern–Simons form

v matematika, Formy Chern – Simons jsou určité druhořadé charakteristické třídy.^[1] Teorie je pojmenována pro Shiing-Shen Chern a James Harris Simons, spoluautoři článku z roku 1974 s názvem „Charakteristické formy a geometrické invarianty“, z něhož tato teorie vznikla.^[2]

Definice

Vzhledem k potrubí a a Lež algebra oceňují 1-forma, ${ displaystyle mathbf {A}}$ nad tím můžeme definovat rodinu p-formuláře:^[3]

V jedné dimenzi je Chern – Simons 1-forma darováno

${ displaystyle operatorname {Tr} [ mathbf {A}].}$

Ve třech rozměrech je Chern – Simons 3-forma darováno

${ displaystyle operatorname {Tr} left [ mathbf {F} wedge mathbf {A} - { frac {1} {3}} mathbf {A} wedge mathbf {A} wedge mathbf {A} right] = operatorname {Tr} left [d mathbf {A} wedge mathbf {A} + { frac {2} {3}} mathbf {A} wedge mathbf {A } klín mathbf {A} vpravo].}$

V pěti rozměrech je Chern – Simons 5-forma darováno

${ displaystyle { begin {aligned} & operatorname {Tr} left [ mathbf {F} wedge mathbf {F} wedge mathbf {A} - { frac {1} {2}} mathbf {F} wedge mathbf {A} wedge mathbf {A} wedge mathbf {A} + { frac {1} {10}} mathbf {A} wedge mathbf {A} wedge mathbf {A} wedge mathbf {A} wedge mathbf {A} right] [6pt] = {} & operatorname {Tr} left [d mathbf {A} wedge d mathbf { A} wedge mathbf {A} + { frac {3} {2}} d mathbf {A} wedge mathbf {A} wedge mathbf {A} wedge mathbf {A} + { frac {3} {5}} mathbf {A} wedge mathbf {A} wedge mathbf {A} wedge mathbf {A} wedge mathbf {A} right] end {zarovnáno}} }$

kde zakřivení F je definován jako

${ displaystyle mathbf {F} = d mathbf {A} + mathbf {A} klín mathbf {A}.}$

Obecná forma Chern – Simons ${ displaystyle omega _ {2k-1}}$ je definován tak, že

${ displaystyle d omega _ {2k-1} = operatorname {Tr} (F ^ {k}),}$

Kde klínový produkt se používá k definování F^k. Pravá strana této rovnice je úměrná k-th Chern charakter spojení ${ displaystyle mathbf {A}}$.

Obecně platí, že Chern – Simons p-formulář je definován pro jakýkoli lichý p.^[4]

Aplikace na fyziku

V roce 1978 Albert Schwarz formuloval Teorie Chern – Simons, brzy topologická kvantová teorie pole pomocí formuláře Chern-Simons.^[5]

V teorie měřidel, integrální formy Chern-Simons je globální geometrický invariant a obvykle je měřidlo neměnné modulo přidání celého čísla.

Viz také

• Chern – Weilův homomorfismus
• Chirální anomálie
• Topologická kvantová teorie pole
• Jonesův polynom

Reference

Další čtení

• Chern, S.-S.; Simons, J. (1974). "Charakteristické tvary a geometrické invarianty". Annals of Mathematics. Druhá série. 99 (1): 48–69. doi:10.2307/1971013. JSTOR  1971013.
• Bertlmann, Reinhold A. (2001). „Forma Chern – Simons, operátor homotopy a anomálie“. Anomálie v teorii kvantového pole (Přepracované vydání.). Clarendon Press. 321–341. ISBN  0-19-850762-3.