Konformní symetrie - Conformal symmetry

v matematická fyzika, konformní symetrie z vesmírný čas je vyjádřen rozšířením Poincaré skupina. Rozšíření obsahuje speciální konformní transformace a dilatace. Ve třech prostorových a jednorázových dimenzích má konformní symetrie 15 stupně svobody: deset pro skupinu Poincaré, čtyři pro speciální konformní transformace a jeden pro dilataci.

Harry Bateman a Ebenezer Cunningham byli první, kdo studovali konformní symetrii Maxwellovy rovnice. Říkali obecný výraz konformní symetrie a sférická vlnová transformace. Obecná relativita ve dvou dimenzích prostoročasu má také konformní symetrii.^[1]

Generátory

The konformní skupina má následující zastoupení:^[2]

${ displaystyle { begin {aligned} & M _ { mu nu} equiv i (x _ { mu} částečný _ { nu} -x _ { nu} částečný _ { mu}) ,, & P _ { mu} equiv -i částečný _ { mu} ,, & D equiv -ix _ { mu} částečný ^ { mu} ,, & K _ { mu} ekv i (x ^ {2} částečné _ { mu} -2x _ { mu} x _ { nu} částečné ^ { nu}) ,, konec {zarovnáno}}}$

kde ${ displaystyle M _ { mu nu}}$ jsou Lorentz generátory, ${ displaystyle P _ { mu}}$ generuje překlady, ${ displaystyle D}$ generuje změny měřítka (známé také jako dilatace nebo dilatace) a ${ displaystyle K _ { mu}}$ generuje speciální konformní transformace.

Komutační vztahy

The komutace vztahy jsou následující:^[2]

${ displaystyle { begin {aligned} & [D, K _ { mu}] = - iK _ { mu} ,, & [D, P _ { mu}] = iP _ { mu} ,, & [K _ { mu}, P _ { nu}] = 2i ( eta _ { mu nu} D-M _ { mu nu}) ,, & [K _ { mu} , M _ { nu rho}] = i ( eta _ { mu nu} K _ { rho} - eta _ { mu rho} K _ { nu}) ,, & [P_ { rho}, M _ { mu nu}] = i ( eta _ { rho mu} P _ { nu} - eta _ { rho nu} P _ { mu}) ,, & [M _ { mu nu}, M _ { rho sigma}] = i ( eta _ { nu rho} M _ { mu sigma} + eta _ { mu sigma} M_ { nu rho} - eta _ { mu rho} M _ { nu sigma} - eta _ { nu sigma} M _ { mu rho}) ,, end {zarovnáno}}}$

ostatní komutátoři zmizí. Tady ${ displaystyle eta _ { mu nu}}$ je Minkowského metrika tenzor.

Dodatečně, ${ displaystyle D}$ je skalární a ${ displaystyle K _ { mu}}$ je kovarianční vektor pod Lorentzovy transformace.

Speciální konformní transformace jsou dány vztahem^[3]

${ displaystyle x ^ { mu} až { frac {x ^ { mu} -a ^ { mu} x ^ {2}} {1-2a cdot x + a ^ {2} x ^ { 2}}}}$

kde ${ displaystyle a ^ { mu}}$ je parametr popisující transformaci. Tuto speciální konformní transformaci lze také zapsat jako ${ displaystyle x ^ { mu} až x '^ { mu}}$, kde

${ displaystyle { frac {{x} '^ { mu}} {{x'} ^ {2}}} = { frac {x ^ { mu}} {x ^ {2}}} - a ^ { mu},}$

což ukazuje, že se skládá z inverze, následované překladem, následovaným druhou inverzí.

Souřadnicová mřížka před speciální konformní transformací

Stejná mřížka po speciální konformní transformaci

Ve dvojrozměrném vesmírný čas, transformace konformní skupiny jsou konformní transformace. Existují nekonečně mnoho z nich.

Ve více než dvou dimenzích Euklidovské konformní transformace mapujte kruhy na kruhy a hypersféry na hypersféry s přímkou ​​považovanou za zdegenerovaný kruh a nadrovinu za zdegenerovaný hyperkruh.

Ve více než dvou Lorentzianovy rozměry, konformní transformace mapují nulové paprsky na nulové paprsky a světelné kužely na světelné kužele, přičemž nulová nadrovina je zdegenerovaný světelný kužel.

Aplikace

Konformní teorie pole

V relativistických teoriích kvantového pole je možnost symetrií přísně omezena Věta Coleman – Mandula za fyzicky rozumných předpokladů. Největší možná globální skupina symetrie ne-supersymetrický interakce teorie pole je přímý produkt konformní skupiny s interní skupina.^[4] Takové teorie jsou známé jako teorie konformního pole.

Tato sekce potřebuje expanzi. Můžete pomoci přidávat k tomu. (Březen 2017)

Fázové přechody druhého řádu

Jedna konkrétní aplikace je kritické jevy v systémech s místními interakce. Výkyvy^{[je zapotřebí objasnění ]} v takových systémech jsou konformně invariantní v kritickém bodě. To umožňuje klasifikaci tříd univerzálnosti fázových přechodů z hlediska teorie konformního pole

Tato sekce potřebuje expanzi. Můžete pomoci přidávat k tomu. (Březen 2017)

Konformní invariance je také přítomna ve dvojrozměrné turbulenci na vysoké úrovni Reynoldsovo číslo.

Fyzika vysokých energií

Studovalo mnoho teorií vysokoenergetická fyzika připustit konformní symetrii^{[proč? ]}. Slavný^{[proč? ]} příkladem je N = 4 supersymetrická teorie Yang-Mills. Také světový list v teorie strun je popsán a teorie dvourozměrného konformního pole ve spojení s dvojrozměrnou gravitací.

Tato sekce potřebuje expanzi. Můžete pomoci přidávat k tomu. (Březen 2017)

Viz také

• Konformní mapa
• Konformní skupina
• Věta Coleman – Mandula
• Renormalizační skupina
• Měřítko invariance
• Superkonformní algebra
• Rovnice konformního zabíjení

Reference