Maticová funkce - Matrix function

v matematika, a maticová funkce je funkce který mapuje a matice do jiné matice.

Rozšíření skalární funkce na maticové funkce

Existuje několik technik pro zvednutí skutečné funkce na a čtvercová matice funkce tak, aby byly zachovány zajímavé vlastnosti. Všechny následující techniky poskytují stejnou maticovou funkci, ale domény, na kterých je funkce definována, se mohou lišit.

Silová řada

Pokud skutečná funkce $F$ má Taylor expanze

{displaystyle f (x) = f (0) + f '(0) cdot x + f' '(0) cdot {frac {x ^ {2}} {2!}} + cdots}

potom lze maticovou funkci definovat dosazením $X$ maticí: mocnosti se stávají maticové pravomoci, z přírůstků se stanou maticové součty a z násobení se stanou operace měřítka. Pokud skutečná řada konverguje pro ${displaystyle | x |$ , pak se odpovídající maticová řada sblíží pro argument matice $A$ -li ${displaystyle | A |$ pro některé maticová norma ${displaystyle | cdot |}$ který uspokojuje ${displaystyle | AB | leq | A | cdot | B |}$ .

Diagonalizovatelné matice

Pokud je matice $A$ je úhlopříčně, problém může být redukován na pole funkce na každém vlastním čísle. To znamená, že můžeme najít matici $P$ a a diagonální matice $D$ takhle ${displaystyle A = P ~ D ~ P ^ {- 1}}$ Když použijeme definici výkonové řady na tento rozklad, zjistíme to $F (A)$ je definováno

{displaystyle f (A) = P {egin {bmatrix} f (d_ {1}) & dots & 0 vdots & ddots & vdots 0 & dots & f (d_ {n}) end {bmatrix}} P ^ {- 1} ~,}

kde ${displaystyle d_ {1}, tečky, d_ {n}}$ označit diagonální položky D.

Předpokládejme například, že člověk hledá ${displaystyle A! = Gamma (A + 1)}$ pro

{displaystyle A = {egin {bmatrix} 1 & 3 2 & 1end {bmatrix}} ~.}

Jeden má

{displaystyle A = P {egin {bmatrix} 1- {sqrt {6}} & 0 0 & 1 + {sqrt {6}} konec {bmatrix}} P ^ {- 1} ~,}

pro

{displaystyle P = {egin {bmatrix} 1/2 & 1/2 - {frac {1} {sqrt {6}}} & {frac {1} {sqrt {6}}} end {bmatrix}} ~.}

Aplikace vzorce pak jednoduše vede

{displaystyle A! = {egin {bmatrix} 1/2 & 1/2 - {frac {1} {sqrt {6}}} a {frac {1} {sqrt {6}}} end {bmatrix}} cdot {egin {bmatrix} Gamma (2- {sqrt {6}}) & 0 0 & Gamma (2+ {sqrt {6}}) end {bmatrix}} cdot {egin {bmatrix} 1 & - {sqrt {6}} / 2 1 & {sqrt {6}} / 2end {bmatrix}} přibližně {egin {bmatrix} 3,6274 a 8,8423 5,8949 a 3,6274end {bmatrix}} ~.}

Rovněž,

{displaystyle A ^ {4} = {egin {bmatrix} 1/2 & 1/2 - {frac {1} {sqrt {6}}} a {frac {1} {sqrt {6}}} konec {bmatrix}} cdot {egin {bmatrix} (1- {sqrt {6}}) ^ {4} & 0 0 & (1+ {sqrt {6}}) ^ {4} end {bmatrix}} cdot {egin {bmatrix} 1 & - {sqrt {6}} / 2 1 & {sqrt {6}} / 2end {bmatrix}} = {egin {bmatrix} 73 & 84 56 & 73end {bmatrix}} ~.}

Jordanův rozklad

Všechny složité matice, ať už jsou diagonalizovatelné nebo ne, mají a Jordan normální forma ${displaystyle A = P, J, P ^ {- 1}}$ , kde je matice J skládá se z Jordan bloky Zvažte tyto bloky samostatně a aplikujte výkonovou řadu na blok Jordan:

{displaystyle fleft ({egin {bmatrix} lambda & 1 & 0 & ldots & 0 0 & lambda & 1 & vdots & vdots 0 & 0 & ddots & ddots & vdots vdots & ldots & ddots & lambda & 1 0 & ldots & ldots & 0 & lambda end {bmatrix}} ight {b = matice}} } {0!}} & {Frac {f '(lambda)} {1!}} & {Frac {f' '(lambda)} {2!}} & Ldots & {frac {f ^ {(n)} ( lambda)} {n!}} 0 & {frac {f (lambda)} {0!}} & {frac {f '(lambda)} {1!}} & vdots & {frac {f ^ {(n-1 )} (lambda)} {(n-1)!}} 0 & 0 & ddots & ddots & vdots vdots & ldots & ddots & {frac {f (lambda)} {0!}} & {frac {f '(lambda)} {1! }} 0 & ldots & ldots & 0 & {frac {f (lambda)} {0!}} End {bmatrix}}.}

Tuto definici lze použít k rozšíření domény funkce matice nad množinu matic se spektrálním poloměrem menším než je poloměr konvergence výkonové řady. Všimněte si, že existuje také spojení s rozdělené rozdíly.

Příbuzný pojem je Jordan – Chevalleyův rozklad který vyjadřuje matici jako součet diagonalizovatelné a nilpotentní části.

Hermitovské matice

A Hermitova matice má všechna skutečná vlastní čísla a vždy jej lze diagonalizovat pomocí a unitární matice P, podle spektrální věta V tomto případě je jordánská definice přirozená. Tato definice navíc umožňuje rozšířit standardní nerovnosti pro reálné funkce:

Li ${displaystyle f (a) leq g (a)}$ pro všechna vlastní čísla ${displaystyle A}$ , pak ${displaystyle f (A) preceq g (A)}$ (Jako konvence ${displaystyle Xpreceq YLeftrightarrow Y-X}$ je kladně semidefinitní matice.) Důkaz vyplývá přímo z definice.

Cauchyův integrál

Cauchyho integrální vzorec z komplexní analýza lze také použít k zobecnění skalárních funkcí na maticové funkce. Cauchyho integrální vzorec uvádí, že pro všechny analytická funkce $F$ definované na množině $D \subset ℂ$ , jeden má

{displaystyle f (x) = {frac {1} {2pi i}} mast _ {C}! {frac {f (z)} {z-x}}, mathrm {d} z ~,}

kde $C$ je uzavřená jednoduchá křivka uvnitř domény $D$ přiložení $X$ .

Nyní vyměňte $X$ maticí $A$ a zvážit cestu $C$ uvnitř $D$ který zahrnuje vše vlastní čísla z $A$ . Jednou z možností, jak toho dosáhnout, je nechat $C$ být kruh kolem původ s poloměr větší než ‖ $A$ ‖ Pro libovolné maticová norma ‖ • ‖. Pak, $F (A)$ je definovatelný

{displaystyle f (A) = {frac {1} {2pi i}} mast _ {!!!!! C}! {f (z) (zI-A) ^ {- 1}}, mathrm {d} z ~.}

Tento integrál lze snadno vyhodnotit numericky pomocí lichoběžníkové pravidlo, který konverguje v tomto případě exponenciálně. To znamená, že přesnost výsledek se zdvojnásobí, když se počet uzlů zdvojnásobí. V běžných případech je to obcházeno Sylvesterův vzorec.

Tato myšlenka platila pro ohraničené lineární operátory na Banachův prostor, které lze považovat za nekonečné matice, vede k holomorfní funkční počet.

Poruchy matice

Výše uvedená Taylorova výkonová řada umožňuje skalární ${displaystyle x}$ být nahrazen maticí. To obecně neplatí při rozšiřování z hlediska ${displaystyle A (eta) = A + eta B}$ o ${displaystyle eta = 0}$ pokud ${displaystyle [A, B] = 0}$ . Protiklad je ${displaystyle f (x) = x ^ {3}}$ , která má konečnou délku Taylorovy řady. Vypočítáváme to dvěma způsoby,

Distribuční právo:

{displaystyle f (A + eta B) = (A + eta B) ^ {3} = A ^ {3} + eta (A ^ {2} B + ABA + BA ^ {2}) + eta ^ {2} (AB ^ {2} + BAB + B ^ {2} A) + eta ^ {3} B ^ {3}}

Použití skalární Taylorovy expanze pro ${displaystyle f (a + eta b)}$ a nahrazení skalárů maticemi na konci:

{displaystyle {egin {array} {rcl} f (a + eta b) & = & f (a) + f '(a) {frac {eta b} {1!}} + f' '(a) {frac { (eta b) ^ {2}} {2!}} + f '' '(a) {frac {(eta b) ^ {3}} {3!}} [. 5em] & = & a ^ {3 } + 3a ^ {2} (eta b) + 3a (eta b) ^ {2} + (eta b) ^ {3} [. 5em] & o & A ^ {3} + 3A ^ {2} (eta B) + 3A (eta B) ^ {2} + (eta B) ^ {3} konec {pole}}}

Skalární výraz předpokládá komutativitu, zatímco maticový výraz nikoli, a proto je nelze přímo rovnat, pokud ${displaystyle [A, B] = 0}$ . Pro některé F(X) to lze řešit pomocí stejné metody jako skalární Taylorovy řady. Například, ${displaystyle f (x) = {frac {1} {x}}}$ . Li ${displaystyle A ^ {- 1}}$ pak existuje ${displaystyle f (A + eta B) = f (mathbb {I} + eta A ^ {- 1} B) f (A)}$ . Expanze prvního členu následuje po výkonové řadě uvedené výše,

{displaystyle f (mathbb {I} + eta A ^ {- 1} B) = mathbb {I} -eta A ^ {- 1} B + (- eta A ^ {- 1} B) ^ {2} + ldots = součet _ {n = 0} ^ {infty} (- eta A ^ {- 1} B) ^ {n}}

Poté platí konvergenční kritéria výkonové řady ${displaystyle Vert eta A ^ {- 1} BVert}$ být dostatečně malý podle příslušné maticové normy. U obecnějších problémů, které nelze přepsat tak, aby dojížděly dvě matice, je třeba sledovat pořadí maticových produktů vytvořených opakovanou aplikací pravidla Leibniz.

Libovolná funkce matice 2 × 2

Libovolná funkce f (A) matice 2 × 2 A má své Sylvesterův vzorec zjednodušit na

{displaystyle f (A) = {frac {f (lambda _ {+}) + f (lambda _ {-})} {2}} I + {frac {A-left ({frac {tr (A)}) {2 }} ight) I} {sqrt {left ({frac {tr (A)} {2}} ight) ^ {2} - | A |}}} {frac {f (lambda _ {+}) - f ( lambda _ {-})} {2}} ~,}

kde ${displaystyle lambda _ {pm}}$ jsou vlastní čísla jeho charakteristické rovnice, | A-λI | = 0, a jsou dány vztahem

{displaystyle lambda _ {pm} = {frac {tr (A)} {2}} pm {sqrt {left ({frac {tr (A)} {2}} ight) ^ {2} - | A |}} .}

Příklady

Třídy maticových funkcí

Použití semidefinitního řazení ( ${displaystyle Xpreceq YLeftrightarrow Y-X}$ je kladně semidefinitní a ${displaystyle Xprec YLeftrightarrow Y-X}$ je pozitivní určitý ), některé třídy skalárních funkcí lze rozšířit na maticové funkce Hermitovské matice.^[1]

Monotónní provozovatel

Funkce ${displaystyle f}$ se nazývá operátor monotónní právě tehdy ${displaystyle 0prec Apreceq HRightarrow f (A) preceq f (H)}$ pro všechny samoadjungované matice ${displaystyle A, H}$ se spektry v doméně f. To je analogické k monotónní funkce ve skalárním případě.

Konkávní / konvexní

Funkce ${displaystyle f}$ se nazývá operátor konkávní právě tehdy

{displaystyle au f (A) + (1- au) f (H) preceq fleft (au A + (1- au) Hight)}

pro všechny samoadjungované matice ${displaystyle A, H}$ se spektry v doméně f a ${displaystyle au in [0,1]}$ .Tato definice je obdobou a konkávní skalární funkce Konvexní funkci operátora lze definovat přepínáním ${displaystyle preceq}$ na ${displaystyle succeq}$ ve výše uvedené definici.

Příklady

Protokol matice je operátor monotónní i operátor konkávní. Maticový čtverec je operátor konvexní. Maticový exponenciál není žádný z nich. Loewnerova věta uvádí, že funkce na otevřeno interval je operátor monotónní právě tehdy, pokud má analytické prodloužení do horní a dolní komplexní poloviny roviny, takže horní polovina roviny je mapována sama k sobě.^[1]

Viz také

Poznámky

^ ^A ^b Bhatia, R. (1997). Maticová analýza. Postgraduální texty z matematiky. 169. Springer.

Reference

Higham, Nicholas J. (2008). Funkce teorie a výpočtu matic. Philadelphia: Společnost pro průmyslovou a aplikovanou matematiku. ISBN 9780898717778.

[Bhatia-1] A ^b Bhatia, R. (1997). Maticová analýza. Postgraduální texty z matematiky. 169. Springer.

[1]