Reprezentace stavového prostoru - State-space representation

Tento článek obsahuje seznam obecných Reference, ale zůstává z velké části neověřený, protože postrádá dostatečné odpovídající vložené citace. Prosím pomozte zlepšit tento článek představuji přesnější citace. (Květen 2009) (Zjistěte, jak a kdy odstranit tuto zprávu šablony)

v řídicí technika, a reprezentace stavového prostoru je matematický model fyzického systému jako sada vstupních, výstupních a stavových proměnných souvisejících prvního řádu diferenciální rovnice nebo rozdílové rovnice. Stavové proměnné jsou proměnné, jejichž hodnoty se časem vyvíjejí způsobem, který závisí na hodnotách, které mají v daném čase, a na externě uložených hodnotách vstupních proměnných. Hodnoty výstupních proměnných závisí na hodnotách stavových proměnných.

„státní prostor " je Euklidovský prostor^{[Citace je zapotřebí ]} ve kterém jsou proměnné na osách stavovými proměnnými. Stav systému lze v tomto prostoru představovat jako vektor.

Abychom abstrahovali od počtu vstupů, výstupů a stavů, jsou tyto proměnné vyjádřeny jako vektory. Navíc, pokud dynamický systém je lineární, časově invariantní a konečně-dimenzionální, pak diferenciální a algebraické rovnice může být napsán v matice formulář.^[1][2]Metoda stavového prostoru je charakterizována významnou algebraizací obecně teorie systémů, což umožňuje používat struktury vektorové matice Kronecker. Kapacita těchto struktur může být efektivně aplikována na výzkumné systémy s modulací nebo bez ní.^[3] Reprezentace stavového prostoru (známá také jako „časová doména ") poskytuje pohodlný a kompaktní způsob modelování a analýzy systémů s více vstupy a výstupy ${ displaystyle p}$ vstupy a ${ displaystyle q}$ výstupy bychom si jinak museli zapisovat ${ displaystyle q times p}$ Laplaceovy transformace kódovat všechny informace o systému. Na rozdíl od frekvenční doména přístup, použití reprezentace stavového prostoru není omezeno na systémy s lineárními komponentami a nulovými počátečními podmínkami.

Model stavového prostoru lze použít v předmětech, jako je ekonomie^[4], statistika^[5], informatika a elektrotechnika^[6]a neurovědy^[7]. v ekonometrie, například, modely stavového prostoru lze použít k rozložení a časové řady do trendu a cyklu, sestavte jednotlivé ukazatele do složeného indexu^[8], identifikovat body obratu hospodářského cyklu a odhadnout HDP pomocí latentních a nepozorovaných časových řad^[9][10]. Mnoho aplikací se spoléhá na Kalmanův filtr vytvářet odhady současných neznámých stavových proměnných pomocí jejich předchozích pozorování.^[11][12]

Stavové proměnné

Vnitřní stavové proměnné jsou nejmenší možná podmnožina systémových proměnných, které mohou kdykoli představovat celý stav systému.^[13] Minimální počet stavových proměnných potřebných k reprezentaci daného systému, ${ displaystyle n}$, se obvykle rovná řádu definující diferenciální rovnice systému, ale ne nutně. Pokud je systém zastoupen ve formě přenosové funkce, minimální počet stavových proměnných se rovná pořadí jmenovatele přenosové funkce poté, co byl snížen na správný zlomek. Je důležité si uvědomit, že převod realizace stavového prostoru na formu přenosové funkce může ztratit některé interní informace o systému a může poskytnout popis systému, který je stabilní, když je realizace stavového prostoru v určitých bodech nestabilní. V elektrických obvodech je počet stavových proměnných často, i když ne vždy, stejný jako počet prvků akumulace energie v obvodu, jako je kondenzátory a induktory. Definované stavové proměnné musí být lineárně nezávislé, tj. Žádná stavová proměnná nemůže být zapsána jako lineární kombinace ostatních stavových proměnných, jinak nebude možné systém vyřešit.

Lineární systémy

Blokové znázornění lineárních rovnic stavového prostoru

Nejobecnější reprezentace stavového prostoru lineárního systému s ${ displaystyle p}$ vstupy, ${ displaystyle q}$ výstupy a ${ displaystyle n}$ stavové proměnné se zapisují v následující podobě:^[14]

${ displaystyle { dot { mathbf {x}}} (t) = mathbf {A} (t) mathbf {x} (t) + mathbf {B} (t) mathbf {u} (t )}$

${ displaystyle mathbf {y} (t) = mathbf {C} (t) mathbf {x} (t) + mathbf {D} (t) mathbf {u} (t)}$

kde:

${ displaystyle mathbf {x} ( cdot)}$ se nazývá "stavový vektor", ${ displaystyle mathbf {x} (t) v mathbb {R} ^ {n}}$;

${ displaystyle mathbf {y} ( cdot)}$ se nazývá "výstupní vektor", ${ displaystyle mathbf {y} (t) v mathbb {R} ^ {q}}$;

${ displaystyle mathbf {u} ( cdot)}$ se nazývá "vstupní (nebo kontrolní) vektor", ${ displaystyle mathbf {u} (t) in mathbb {R} ^ {p}}$;

${ displaystyle mathbf {A} ( cdot)}$ je „stavová (nebo systémová) matice“, ${ displaystyle operatorname {dim} [ mathbf {A} ( cdot)] = n krát n}$,

${ displaystyle mathbf {B} ( cdot)}$ je „vstupní matice“, ${ displaystyle operatorname {dim} [ mathbf {B} ( cdot)] = n krát p}$,

${ displaystyle mathbf {C} ( cdot)}$ je "výstupní matice", ${ displaystyle operatorname {dim} [ mathbf {C} ( cdot)] = q krát n}$,

${ displaystyle mathbf {D} ( cdot)}$ je „průchozí (nebo dopředná) matice“ (v případech, kdy model systému nemá přímý průchod, ${ displaystyle mathbf {D} ( cdot)}$ je nulová matice), ${ displaystyle operatorname {dim} [ mathbf {D} ( cdot)] = q krát p}$,

${ displaystyle { dot { mathbf {x}}} (t): = { frac { operatorname {d}} { operatorname {d} t}} mathbf {x} (t)}$.

V této obecné formulaci mohou mít všechny matice časovou variantu (tj. Jejich prvky mohou záviset na čase); nicméně, ve společném LTI v tomto případě budou matice časově neměnné. Proměnná času ${ displaystyle t}$ mohou být spojité (např. ${ displaystyle t in mathbb {R}}$) nebo diskrétní (např. ${ displaystyle t in mathbb {Z}}$). V druhém případě časová proměnná ${ displaystyle k}$ se obvykle používá místo ${ displaystyle t}$. Hybridní systémy počítat s časovými doménami, které mají spojitou i diskrétní část. V závislosti na vytvořených předpokladech může reprezentace modelu stavového prostoru nabývat následujících forem:

Typ systému	Stavový model
Kontinuální časově invariantní	${ displaystyle { dot { mathbf {x}}} (t) = mathbf {A} mathbf {x} (t) + mathbf {B} mathbf {u} (t)}$ ${ displaystyle mathbf {y} (t) = mathbf {C} mathbf {x} (t) + mathbf {D} mathbf {u} (t)}$
Kontinuální časová varianta	${ displaystyle { dot { mathbf {x}}} (t) = mathbf {A} (t) mathbf {x} (t) + mathbf {B} (t) mathbf {u} (t )}$ ${ displaystyle mathbf {y} (t) = mathbf {C} (t) mathbf {x} (t) + mathbf {D} (t) mathbf {u} (t)}$
Explicitní diskrétní časově invariantní	${ displaystyle mathbf {x} (k + 1) = mathbf {A} mathbf {x} (k) + mathbf {B} mathbf {u} (k)}$ ${ displaystyle mathbf {y} (k) = mathbf {C} mathbf {x} (k) + mathbf {D} mathbf {u} (k)}$
Explicitní diskrétní časová varianta	${ displaystyle mathbf {x} (k + 1) = mathbf {A} (k) mathbf {x} (k) + mathbf {B} (k) mathbf {u} (k)}$ ${ displaystyle mathbf {y} (k) = mathbf {C} (k) mathbf {x} (k) + mathbf {D} (k) mathbf {u} (k)}$
Laplaceova doména z kontinuální časově invariantní	${ displaystyle s mathbf {X} (s) - mathbf {x} (0) = mathbf {A} mathbf {X} (s) + mathbf {B} mathbf {U} (s)}$ ${ displaystyle mathbf {Y} (s) = mathbf {C} mathbf {X} (s) + mathbf {D} mathbf {U} (s)}$
Z-doména z diskrétní časově invariantní	${ displaystyle z mathbf {X} (z) -z mathbf {x} (0) = mathbf {A} mathbf {X} (z) + mathbf {B} mathbf {U} (z) }$ ${ displaystyle mathbf {Y} (z) = mathbf {C} mathbf {X} (z) + mathbf {D} mathbf {U} (z)}$

Příklad: případ LTI kontinuálního času

Stabilita a přirozené charakteristiky odezvy kontinuálního času Systém LTI (tj. lineární s maticemi, které jsou konstantní vzhledem k času) lze studovat z vlastní čísla matice ${ displaystyle mathbf {A}}$. Stabilitu časově invariantního modelu stavového prostoru lze určit pohledem na systém přenosová funkce ve faktorizované formě. Pak to bude vypadat asi takto:

${ displaystyle { textbf {G}} (s) = k { frac {(s-z_ {1}) (s-z_ {2}) (s-z_ {3})} {(s-p_ { 1}) (s-p_ {2}) (s-p_ {3}) (s-p_ {4})}}.}$

Jmenovatel funkce přenosu se rovná charakteristický polynom našel tím, že určující z ${ displaystyle s mathbf {I} - mathbf {A}}$,

${ displaystyle lambda (s) = | s mathbf {I} - mathbf {A} |.}$

Kořeny tohoto polynomu ( vlastní čísla ) jsou funkce přenosu systému póly (tj singularity kde velikost přenosové funkce je neomezená). Tyto póly lze použít k analýze, zda systém je asymptoticky stabilní nebo okrajově stabilní. Alternativním přístupem k určení stability, který nezahrnuje výpočet vlastních čísel, je analýza systému Stabilita Lyapunova.

Nuly nalezené v čitateli ${ displaystyle { textbf {G}} (y)}$ lze podobně použít k určení, zda je systém minimální fáze.

Systém může být stále stabilita vstupu – výstupu (vidět BIBO stabilní ), i když to není vnitřně stabilní. To může být případ, pokud jsou nestabilní póly zrušeny nulami (tj. Pokud jsou tyto singularity v přenosové funkci odnímatelný ).

Ovladatelnost

Podmínka kontrolovatelnosti stavu znamená, že je možné - pomocí přípustných vstupů - řídit stavy z jakékoli počáteční hodnoty na jakoukoli konečnou hodnotu v nějakém konečném časovém okně. Kontinuální časově neměnný lineární model stavového prostoru je ovladatelný kdyby a jen kdyby

${ displaystyle operatorname {rank} { begin {bmatrix} mathbf {B} & mathbf {A} mathbf {B} & mathbf {A} ^ {2} mathbf {B} & dots & mathbf {A} ^ {n-1} mathbf {B} end {bmatrix}} = n,}$

kde hodnost je počet lineárně nezávislých řádků v matici a kde n je počet stavových proměnných.

Pozorovatelnost

Pozorovatelnost je měřítkem toho, jak dobře lze odvodit vnitřní stavy systému znalostmi jeho externích výstupů. Pozorovatelnost a ovladatelnost systému jsou matematické duály (tj. Protože ovladatelnost zajišťuje, že je k dispozici vstup, který přináší jakýkoli počáteční stav do požadovaného konečného stavu, pozorovatelnost zajišťuje, že znalost výstupní trajektorie poskytuje dostatek informací k předpovědi počátečního stavu systému ).

Kontinuální časově neměnný lineární model stavového prostoru je pozorovatelný kdyby a jen kdyby

${ displaystyle operatorname {rank} { begin {bmatrix} mathbf {C} mathbf {C} mathbf {A} vdots mathbf {C} mathbf {A} ^ {n -1} end {bmatrix}} = n.}$

Funkce přenosu

„přenosová funkce "spojitého časově invariantního lineárního modelu stavového prostoru lze odvodit následujícím způsobem:

Nejprve si vezměte Laplaceova transformace z

${ displaystyle { dot { mathbf {x}}} (t) = mathbf {A} mathbf {x} (t) + mathbf {B} mathbf {u} (t)}$

výnosy

${ displaystyle s mathbf {X} (s) - mathbf {x} (0) = mathbf {A} mathbf {X} (s) + mathbf {B} mathbf {U} (s). }$

Dále zjednodušíme pro ${ displaystyle mathbf {X} (s)}$dávat

${ displaystyle (s mathbf {I} - mathbf {A}) mathbf {X} (s) = mathbf {x} (0) + mathbf {B} mathbf {U} (s)}$

a tudíž

${ displaystyle mathbf {X} (s) = (s mathbf {I} - mathbf {A}) ^ {- 1} mathbf {x} (0) + (s mathbf {I} - mathbf {A}) ^ {- 1} mathbf {B} mathbf {U}.}$

Střídání za ${ displaystyle mathbf {X} (s)}$ ve výstupní rovnici

${ displaystyle mathbf {Y} (s) = mathbf {C} mathbf {X} (s) + mathbf {D} mathbf {U} (s),}$

dávat

${ displaystyle mathbf {Y} (s) = mathbf {C} ((s mathbf {I} - mathbf {A}) ^ {- 1} mathbf {x} (0) + (s mathbf {I} - mathbf {A}) ^ {- 1} mathbf {B} mathbf {U} (s)) + mathbf {D} mathbf {U} (s).}$

Za předpokladu nulových počátečních podmínek ${ displaystyle mathbf {x} (0) = mathbf {0}}$ a a systém s jedním vstupem a jedním výstupem (SISO), přenosová funkce je definován jako poměr výstupu a vstupu ${ displaystyle G (s) = Y (s) / U (s)}$. Pro systém s více vstupy a více výstupy (MIMO), tento poměr však není definován. Proto, za předpokladu nulových počátečních podmínek, matice přenosové funkce je odvozen z

${ displaystyle mathbf {Y} (s) = mathbf {G} (s) mathbf {U} (s)}$

pomocí metody rovnání koeficientů, které jsou výnosné

${ displaystyle mathbf {G} (s) = mathbf {C} (s mathbf {I} - mathbf {A}) ^ {- 1} mathbf {B} + mathbf {D}}$.

Tudíž, ${ displaystyle mathbf {G}$ je matice s dimenzí ${ displaystyle q times p}$ který obsahuje přenosové funkce pro každou kombinaci vstupního výstupu. Kvůli jednoduchosti této maticové notace se reprezentace stavového prostoru běžně používá pro systémy s více vstupy a více výstupy. The Matice systému Rosenbrock poskytuje most mezi reprezentací stavového prostoru a jeho přenosová funkce.

Kanonické realizace

Jakákoli daná přenosová funkce, která je naprosto správné lze snadno přenést do stavového prostoru pomocí následujícího přístupu (tento příklad je pro 4-rozměrný systém s jedním vstupem a jedním výstupem):

Vzhledem k přenosové funkci ji rozbalte a odhalte všechny koeficienty v čitateli i jmenovateli. Výsledkem by měla být následující forma:

${ displaystyle { textbf {G}} (s) = { frac {n_ {1} s ^ {3} + n_ {2} s ^ {2} + n_ {3} s + n_ {4}} { s ^ {4} + d_ {1} s ^ {3} + d_ {2} s ^ {2} + d_ {3} s + d_ {4}}}.}$

Koeficienty lze nyní vložit přímo do modelu stavového prostoru pomocí následujícího přístupu:

${ displaystyle { dot { textbf {x}}} (t) = { begin {bmatrix} 0 & 1 & 0 & 0 0 & 0 & 1 & 0 0 & 0 & 0 & 1 - d_ {4} & - d_ {3} & - d_ {2} & -d_ {1} end {bmatrix}} { textbf {x}} (t) + { begin {bmatrix} 0 0 0 1 end {bmatrix}} { textbf {u}} (t)}$

${ displaystyle { textbf {y}} (t) = { begin {bmatrix} n_ {4} & n_ {3} & n_ {2} & n_ {1} end {bmatrix}} { textbf {x}} ( t).}$

Tato realizace stavového prostoru se nazývá kontrolovatelná kanonická forma protože výsledný model je zaručeně ovladatelný (tj. protože ovládací prvek vstupuje do řetězce integrátorů, má schopnost přesunout každý stav).

Koeficienty přenosové funkce lze také použít ke konstrukci jiného typu kanonického tvaru

${ displaystyle { dot { textbf {x}}} (t) = { begin {bmatrix} 0 & 0 & 0 & -d_ {4} 1 & 0 & 0 & -d_ {3} 0 & 1 & 0 & -d_ {2} 0 & 0 & 1 & - d_ {1} end {bmatrix}} { textbf {x}} (t) + { begin {bmatrix} n_ {4} n_ {3} n_ {2} n_ {1} konec {bmatrix}} { textbf {u}} (t)}$

${ displaystyle { textbf {y}} (t) = { begin {bmatrix} 0 a 0 & 0 & 1 end {bmatrix}} { textbf {x}} (t).}$

Tato realizace stavového prostoru se nazývá pozorovatelná kanonická forma protože výsledný model je zaručeně pozorovatelný (tj. protože výstup vystupuje z řetězce integrátorů, každý stát má na výstup vliv).

Správné přenosové funkce

Přenos funkcí, které jsou pouze správně (a ne naprosto správné ) lze také realizovat docela snadno. Trik spočívá v rozdělení přenosové funkce na dvě části: přísně správnou část a konstantu.

${ displaystyle { textbf {G}} (s) = { textbf {G}} _ { mathrm {SP}} (s) + { textbf {G}} ( infty).}$

Přísně správná přenosová funkce může být poté transformována do kanonické realizace stavového prostoru pomocí výše uvedených technik. Stavová realizace konstanty je triviálně ${ displaystyle { textbf {y}} (t) = { textbf {G}} ( infty) { textbf {u}} (t)}$. Společně pak získáme realizaci stavového prostoru s maticemi A, B a C určeno přísně správnou částí a maticí D určeno konstantou.

Zde je příklad, jak věci trochu vyjasnit:

${ displaystyle { textbf {G}} (s) = { frac {s ^ {2} + 3s + 3} {s ^ {2} + 2s + 1}} = { frac {s + 2} { s ^ {2} + 2s + 1}} + 1}$

což přináší následující kontrolovatelnou realizaci

${ displaystyle { dot { textbf {x}}} (t) = { begin {bmatrix} -2 & -1 1 & 0 end {bmatrix}} { textbf {x}} (t) + { begin {bmatrix} 1 0 end {bmatrix}} { textbf {u}} (t)}$

${ displaystyle { textbf {y}} (t) = { begin {bmatrix} 1 & 2 end {bmatrix}} { textbf {x}} (t) + { begin {bmatrix} 1 end {bmatrix} } { textbf {u}} (t)}$

Všimněte si, jak výstup také přímo závisí na vstupu. To je způsobeno ${ displaystyle { textbf {G}} ( infty)}$ konstanta v přenosové funkci.

Zpětná vazba

Typický stavový model se zpětnou vazbou

Běžnou metodou zpětné vazby je vynásobení výstupu maticí K. a nastavení tohoto jako vstupu do systému: ${ displaystyle mathbf {u} (t) = K mathbf {y} (t)}$Od hodnoty K. jsou neomezené, hodnoty lze snadno vyvrátit negativní zpětná vazba Přítomnost záporného znaménka (běžná notace) je pouze notační a jeho absence nemá žádný dopad na konečné výsledky.

${ displaystyle { dot { mathbf {x}}} (t) = A mathbf {x} (t) + B mathbf {u} (t)}$

${ displaystyle mathbf {y} (t) = C mathbf {x} (t) + D mathbf {u} (t)}$

se stává

${ displaystyle { dot { mathbf {x}}} (t) = A mathbf {x} (t) + BK mathbf {y} (t)}$

${ displaystyle mathbf {y} (t) = C mathbf {x} (t) + DK mathbf {y} (t)}$

řešení výstupní rovnice pro ${ displaystyle mathbf {y} (t)}$ a dosazení ve stavové rovnici má za následek

${ displaystyle { dot { mathbf {x}}} (t) = left (A + BK left (I-DK right) ^ {- 1} C right) mathbf {x} (t) }$

${ displaystyle mathbf {y} (t) = vlevo (I-DK vpravo) ^ {- 1} C mathbf {x} (t)}$

Výhodou je, že vlastní čísla z A lze ovládat nastavením K. vhodně prostřednictvím vlastního složení ${ displaystyle left (A + BK left (I-DK right) ^ {- 1} C right)}$To předpokládá, že systém s uzavřenou smyčkou ano ovladatelný nebo že nestabilní vlastní čísla A lze učinit stabilní vhodnou volbou K..

Příklad

Pro přísně správný systém D se rovná nule. Další poměrně běžnou situací je situace, kdy jsou výstupy všechny státy, tj. y = X, který přináší C = Já, Matice identity. To by pak mělo za následek jednodušší rovnice

${ displaystyle { dot { mathbf {x}}} (t) = vlevo (A + BK vpravo) mathbf {x} (t)}$

${ displaystyle mathbf {y} (t) = mathbf {x} (t)}$

Tím se redukuje nutné vlastní složení na spravedlivé ${ displaystyle A + BK}$.

Zpětná vazba se zadanou žádanou hodnotou (referenční)

Výstupní zpětná vazba s nastavenou hodnotou

Kromě zpětné vazby, vstupu, ${ displaystyle r (t)}$, lze přidat tak, že ${ displaystyle mathbf {u} (t) = - K mathbf {y} (t) + mathbf {r} (t)}$.

${ displaystyle { dot { mathbf {x}}} (t) = A mathbf {x} (t) + B mathbf {u} (t)}$

${ displaystyle mathbf {y} (t) = C mathbf {x} (t) + D mathbf {u} (t)}$

se stává

${ displaystyle { dot { mathbf {x}}} (t) = A mathbf {x} (t) -BK mathbf {y} (t) + B mathbf {r} (t)}$

${ displaystyle mathbf {y} (t) = C mathbf {x} (t) -DK mathbf {y} (t) + D mathbf {r} (t)}$

řešení výstupní rovnice pro ${ displaystyle mathbf {y} (t)}$ a dosazení ve stavové rovnici má za následek

${ displaystyle { dot { mathbf {x}}} (t) = left (A-BK left (I + DK right) ^ {- 1} C right) mathbf {x} (t) + B left (IK left (I + DK right) ^ {- 1} D right) mathbf {r} (t)}$

${ displaystyle mathbf {y} (t) = levý (I + DK pravý) ^ {- 1} C mathbf {x} (t) + levý (I + DK pravý) ^ {- 1} D mathbf {r} (t)}$

Jedno docela běžné zjednodušení tohoto systému je odstranění D, což redukuje rovnice na

${ displaystyle { dot { mathbf {x}}} (t) = vlevo (A-BKC vpravo) mathbf {x} (t) + B mathbf {r} (t)}$

${ displaystyle mathbf {y} (t) = C mathbf {x} (t)}$

Příklad pohybujícího se objektu

Klasický lineární systém je systém jednorozměrného pohybu objektu (např. Vozíku).Newtonovy zákony pohybu pro objekt pohybující se vodorovně v rovině a připevněný ke stěně pomocí pružiny:

${ displaystyle m { ddot {y}} (t) = u (t) -b { dot {y}} (t) -ky (t)}$

kde

• ${ displaystyle y (t)}$ je poloha; ${ displaystyle { dot {y}} (t)}$ je rychlost; ${ displaystyle { ddot {y}} (t)}$ je zrychlení
• ${ displaystyle u (t)}$ je aplikovaná síla
• ${ displaystyle b}$ je koeficient viskózního tření
• ${ displaystyle k}$ je jarní konstanta
• ${ displaystyle m}$ je hmotnost objektu

Státní rovnice by se pak stala

${ displaystyle left [{ begin {matrix} mathbf {{ dot {x}} _ {1}} (t) mathbf {{ dot {x}} _ {2}} (t) end {matrix}} right] = left [{ begin {matrix} 0 & 1 - { frac {k} {m}} & - { frac {b} {m}} end {matrix} } right] left [{ begin {matrix} mathbf {x_ {1}} (t) mathbf {x_ {2}} (t) end {matrix}} right] + left [ { begin {matrix} 0 { frac {1} {m}} end {matrix}} right] mathbf {u} (t)}$

${ displaystyle mathbf {y} (t) = left [{ begin {matrix} 1 & 0 end {matrix}} right] left [{ begin {matrix} mathbf {x_ {1}} (t ) mathbf {x_ {2}} (t) end {matrix}} right]}$

kde

• ${ displaystyle x_ {1} (t)}$ představuje polohu objektu
• ${ displaystyle x_ {2} (t) = { dot {x}} _ {1} (t)}$ je rychlost objektu
• ${ displaystyle { dot {x}} _ {2} (t) = { ddot {x}} _ {1} (t)}$ je zrychlení objektu
• výstup ${ displaystyle mathbf {y} (t)}$ je poloha objektu

The ovladatelnost test je pak

${ displaystyle left [{ begin {matrix} B&AB end {matrix}} right] = left [{ begin {matrix} left [{ begin {matrix} 0 { frac {1} {m}} end {matrix}} right] & left [{ begin {matrix} 0 & 1 - { frac {k} {m}} & - { frac {b} {m}} end {matrix}} right] left [{ begin {matrix} 0 { frac {1} {m}} end {matrix}} right] end {matrix}} right] = left [{ begin {matrix} 0 & { frac {1} {m}} { frac {1} {m}} & - { frac {b} {m ^ {2}}} end { matice}} vpravo]}$

který má plnou hodnost pro všechny ${ displaystyle b}$ a ${ displaystyle m}$. To znamená, že pokud je znám počáteční stav systému (${ displaystyle y (t)}$, ${ displaystyle { dot {y}} (t)}$, ${ displaystyle { ddot {y}} (t)}$), a pokud ${ displaystyle b}$ a ${ displaystyle m}$ jsou konstanty, pak je tu pružina ${ displaystyle k}$ které by mohly vozík posunout na jakoukoli jinou pozici v systému.

The pozorovatelnost test je pak

${ displaystyle left [{ begin {matrix} C CA end {matrix}} right] = left [{ begin {matrix} left [{ begin {matrix} 1 & 0 end {matrix} } right] left [{ begin {matrix} 1 & 0 end {matrix}} right] left [{ begin {matrix} 0 & 1 - { frac {k} {m}} & - { frac {b} {m}} end {matrix}} right] end {matrix}} right] = left [{ begin {matrix} 1 & 0 0 & 1 end {matrix}} right ]}$

který má také úplnou hodnost. Proto je tento systém kontrolovatelný a pozorovatelný.

Nelineární systémy

Obecnější formu modelu stavového prostoru lze zapsat jako dvě funkce.

${ displaystyle mathbf { dot {x}} (t) = mathbf {f} (t, x (t), u (t))}$

${ displaystyle mathbf {y} (t) = mathbf {h} (t, x (t), u (t))}$

První je stavová rovnice a druhá je výstupní rovnice. Pokud funkce ${ displaystyle f ( cdot, cdot, cdot)}$ je lineární kombinace stavů a ​​vstupů, pak lze rovnice psát maticovým zápisem jako výše ${ displaystyle u (t)}$ argument k funkcím lze zrušit, pokud je systém nevynucený (tj. nemá žádné vstupy).

Příklad kyvadla

Klasický nelineární systém je jednoduchý, nevynucený kyvadlo

${ displaystyle m ell ^ {2} { ddot { theta}} (t) = - m ell g sin theta (t) -k ell { dot { theta}} (t)}$

kde

• ${ displaystyle theta (t)}$ je úhel kyvadla vzhledem ke směru gravitace
• ${ displaystyle m}$ je hmotnost kyvadla (hmotnost kyvadla je považována za nulovou)
• ${ displaystyle g}$ je gravitační zrychlení
• ${ displaystyle k}$ je koeficient tření v bodě otáčení
• ${ displaystyle ell}$ je poloměr kyvadla (k těžišti hmoty ${ displaystyle m}$)

Stavové rovnice jsou tedy

${ displaystyle { dot {x}} _ {1} (t) = x_ {2} (t)}$

${ displaystyle { dot {x}} _ {2} (t) = - { frac {g} { ell}} sin {x_ {1}} (t) - { frac {k} {m ell}} {x_ {2}} (t)}$

kde

• ${ displaystyle x_ {1} (t) = theta (t)}$ je úhel kyvadla
• ${ displaystyle x_ {2} (t) = { dot {x}} _ {1} (t)}$ je rotační rychlost kyvadla
• ${ displaystyle { dot {x}} _ {2} = { ddot {x}} _ {1}}$ je rotační zrychlení kyvadla

Místo toho lze stavovou rovnici napsat v obecném tvaru

${ displaystyle { dot { mathbf {x}}} (t) = left ({ begin {matrix} { dot {x}} _ {1} (t) { dot {x}} _ {2} (t) end {matrix}} right) = mathbf {f} (t, x (t)) = left ({ begin {matrix} x_ {2} (t) - { frac {g} { ell}} sin {x_ {1}} (t) - { frac {k} {m ell}} {x_ {2}} (t) end {matrix}} že jo).}$

The rovnováha /stacionární body systému jsou, když ${ displaystyle { dot {x}} = 0}$ a tak jsou rovnovážné body kyvadla ty, které splňují

${ displaystyle left ({ begin {matrix} x_ {1} x_ {2} end {matrix}} right) = left ({ begin {matrix} n pi 0 end { matice}} vpravo)}$

pro celá čísla n.

Viz také

Reference

Další čtení

externí odkazy

• Wolfram jazyk funkce pro lineární stavové modely, afinní stavové modely, a nelineární stavové modely.