Magnusova expanze - Magnus expansion

v matematika a fyzika, Magnusova expanze, pojmenoval podle Wilhelm Magnus (1907–1990), poskytuje exponenciální reprezentaci řešení homogenního prvního řádu lineární diferenciální rovnice pro lineární operátor. Zejména poskytuje základní matice soustavy lineárních obyčejné diferenciální rovnice řádu n s různými koeficienty. Exponent je agregován jako nekonečná řada, jejíž členy zahrnují více integrálů a vnořených komutátorů.

Deterministický případ

Magnusův přístup a jeho interpretace

Vzhledem k n × n matice koeficientu A(t), jeden si přeje vyřešit problém počáteční hodnoty spojené s lineární obyčejnou diferenciální rovnicí

${displaystyle Y '(t) = A (t) Y (t), quad Y (t_ {0}) = Y_ {0}}$

pro neznámé n-dimenzionální vektorová funkce Y(t).

Když n = 1, řešení jednoduše přečte

${displaystyle Y (t) = exp left (int _ {t_ {0}} ^ {t} A (s), dsight) Y_ {0}.}$

To stále platí pro n > 1 pokud je matice A(t) splňuje A(t₁) A(t₂) = A(t₂) A(t₁) pro jakoukoli dvojici hodnot t, t₁ a t₂. Zejména v případě, že je matice A je nezávislý na t. Obecně však výše uvedený výraz již není řešením problému.

Přístup, který Magnus zavedl k řešení problému počáteční hodnoty matice, je vyjádřit řešení pomocí exponenciálu jistého n × n maticová funkce Ω (t, t₀):

${displaystyle Y (t) = exp {ig (} Omega (t, t_ {0}) {ig)}, Y_ {0},}$

který je následně konstruován jako a série expanze:

${displaystyle Omega (t) = součet _ {k = 1} ^ {infty} Omega _ {k} (t),}$

kde je pro jednoduchost zvykem psát Ω (t) pro Ω (t, t₀) a vzít t₀ = 0.

Magnus to od té doby ocenil (^d⁄_dt E^Ω) E^−Ω = A(t), používat Poincaré - Hausdorff maticovou identitu, mohl se týkat časové derivace Ω na generující funkci Bernoulliho čísla a adjungovaný endomorfismus z Ω,

${displaystyle Omega '= {frac {operatorname {ad} _ {Omega}} {exp (operatorname {ad} _ {Omega}) - 1}} A,}$

vyřešit Ω rekurzivně z hlediska A "v nepřetržitém analogu Rozšíření CBH ", jak je uvedeno v následující části.

Rovnice nahoře představuje Magnusova expanzenebo Série Magnus, pro řešení maticového lineárního problému počáteční hodnoty. Přečteny první čtyři termíny této série

${displaystyle {egin {aligned} Omega _ {1} (t) & = int _ {0} ^ {t} A (t_ {1}), dt_ {1}, Omega _ {2} (t) & = {frac {1} {2}} int _ {0} ^ {t} dt_ {1} int _ {0} ^ {t_ {1}} dt_ {2}, [A (t_ {1}), A ( t_ {2})], Omega _ {3} (t) & = {frac {1} {6}} int _ {0} ^ {t} dt_ {1} int _ {0} ^ {t_ {1 }} dt_ {2} int _ {0} ^ {t_ {2}} dt_ {3}, {Bigl (} {ig [} A (t_ {1}), [A (t_ {2}), A ( t_ {3})] {ig]} + {ig [} A (t_ {3}), [A (t_ {2}), A (t_ {1})] {ig]} {Bigr)}, Omega _ {4} (t) & = {frac {1} {12}} int _ {0} ^ {t} dt_ {1} int _ {0} ^ {t_ {1}} dt_ {2} int _ {0} ^ {t_ {2}} dt_ {3} int _ {0} ^ {t_ {3}} dt_ {4}, {iggl (} {Big [} {ig [} [A_ {1}, A_ {2}], A_ {3} {ig]}, A_ {4} {Big]} & qquad + {Big [} A_ {1}, {ig [} [A_ {2}, A_ {3}], A_ {4} {ig]} {Big]} + {Big [} A_ {1}, {ig [} A_ {2}, [A_ {3}, A_ {4}] {ig]} {Big]} + {Big [} A_ {2}, {ig [} A_ {3}, [A_ {4}, A_ {1}] {ig]} {Big]} {iggr)}, konec {zarovnáno}}}$

kde [A, B] ≡ A B − B A je matice komutátor z A a B.

Tyto rovnice lze interpretovat následovně: Ω₁(t) přesně se shoduje s exponentem ve skaláru (n = 1) případ, ale tato rovnice nemůže dát celé řešení. Pokud někdo trvá na exponenciálním znázornění (Lež skupina ), exponent je třeba opravit. Zbytek řady Magnus poskytuje tuto korekci systematicky: Ω nebo jeho části jsou v Lež algebra z Lež skupina na řešení.

V aplikacích lze jen zřídka přesně sečíst řadu Magnus a je třeba ji zkrátit, abychom získali přibližné řešení. Hlavní výhodou Magnusova návrhu je, že zkrácená řada velmi často sdílí důležité kvalitativní vlastnosti s přesným řešením, na rozdíl od jiných konvenčních rozrušení teorie. Například v klasická mechanika the symplektický charakter vývoj času je zachována v každém pořadí aproximace. Podobně unitární charakter operátora vývoje času v kvantová mechanika je také zachována (na rozdíl od např Řada Dyson řešení stejného problému).

Konvergence expanze

Z matematického hlediska je problém konvergence následující: vzhledem k určité matici A(t), kdy může exponent Ω (t) být získán jako součet série Magnus?

Dostatečná podmínka pro tuto sérii konvergovat pro t ∈ [0,T) je

${displaystyle int _ {0} ^ {T} | A (s) | _ {2}, ds$

kde ${displaystyle | cdot | _ {2}}$ označuje a maticová norma. Tento výsledek je obecný v tom smyslu, že lze vytvářet konkrétní matice A(t) pro které se řada liší od všech t > T.

Magnusův generátor

Rekurzivní postup pro generování všech výrazů v expanzi Magnus využívá matice S_n^(k) definováno rekurzivně prostřednictvím

${displaystyle S_ {n} ^ {(j)} = součet _ {m = 1} ^ {nj} vlevo [Omega _ {m}, S_ {nm} ^ {(j-1)} vpravo], čtyřkolka 2leq jleq n-1,}$

${displaystyle S_ {n} ^ {(1)} = left [Omega _ {n-1}, Aight], quad S_ {n} ^ {(n-1)} = operatorname {ad} _ {Omega _ {1 }} ^ {n-1} (A),}$

které pak opatří

${displaystyle Omega _ {1} = int _ {0} ^ {t} A (au), d au,}$

${displaystyle Omega _ {n} = součet _ {j = 1} ^ {n-1} {frac {B_ {j}} {j!}} int _ {0} ^ {t} S_ {n} ^ {( j)} (au), d au, quad ngeq 2.}$

Četl^k_Ω je zkratka pro iterovaný komutátor (viz adjungovaný endomorfismus ):

${displaystyle operatorname {ad} _ {Omega} ^ {0} A = A, quad operatorname {ad} _ {Omega} ^ {k + 1} A = [Omega, operatorname {ad} _ {Omega} ^ {k} A],}$

zatímco B_j jsou Bernoulliho čísla s B₁ = −1/2.

Nakonec, když je tato rekurze zpracována explicitně, je možné ji vyjádřit Ω_n(t) jako lineární kombinace n-násobné integrály n - 1 vnořených komutátorů zahrnujících n matice A:

${displaystyle Omega _ {n} (t) = součet _ {j = 1} ^ {n-1} {frac {B_ {j}} {j!}} součet _ {k_ {1} + cdots + k_ {j } = n-1 na vrcholu k_ {1} geq 1, ldots, k_ {j} geq 1} int _ {0} ^ {t} operatorname {ad} _ {Omega _ {k_ {1}} (au)} operatorname {ad} _ {Omega _ {k_ {2}} (au)} cdots operatorname {ad} _ {Omega _ {k_ {j}} (au)} A (au), d au, quad ngeq 2,}$

který je čím dál složitější n.

Stochastický případ

Rozšíření na stochastické obyčejné diferenciální rovnice

Pro rozšíření ke stochastickému pouzdru nechte ${extstyle left (W_ {t} ight) _ {tin [0, T]}}$ být ${extstyle mathbb {R} ^ {q}}$-dimenzionální Brownův pohyb, ${extstyle qin mathbb {N} _ {> 0}}$, na pravděpodobnostní prostor ${extstyle left (Omega, {mathcal {F}}, mathbb {P} ight)}$s konečným časovým horizontem ${extstyle T> 0}$ a přírodní filtrace. Nyní uvažujme stochastickou diferenciální rovnici Itô s hodnotou lineární matice (s Einsteinovou konvence součtu nad indexem j)

${displaystyle dX_ {t} = B_ {t} X_ {t} dt + A_ {t} ^ {(j)} X_ {t} dW_ {t} ^ {j}, čtyřkolka X_ {0} = I_ {d} , qquad din mathbb {N} _ {> 0},}$

kde ${extstyle B_ {cdot}, A_ {cdot} ^ {(1)}, tečky, A_ {cdot} ^ {(j)}}$ jsou postupně měřitelné ${extstyle d imes d}$-hodnota ohraničená stochastické procesy a ${extstyle I_ {d}}$ je matice identity. Stejný přístup jako v deterministickém případě se změnami způsobenými stochastickým nastavením^[1] odpovídající maticový logaritmus se ukáže jako proces Itô, jehož první dva expanzní příkazy jsou dány ${extstyle Y_ {t} ^ {(1)} = Y_ {t} ^ {(1,0)} + Y_ {t} ^ {(0,1)}}$ a ${extstyle Y_ {t} ^ {(2)} = Y_ {t} ^ {(2,0)} + Y_ {t} ^ {(1,1)} + Y_ {t} ^ {(0,2) }}$, čímž Einsteinova konvence sumarizace skončila i a j

${displaystyle {egin {aligned} Y_ {t} ^ {(0,0)} & = 0, Y_ {t} ^ {(1,0)} & = int _ {0} ^ {t} A_ {s } ^ {(j)} dW_ {s} ^ {j}, Y_ {t} ^ {(0,1)} & = int _ {0} ^ {t} B_ {s} ds, Y_ {t } ^ {(2,0)} & = - {frac {1} {2}} int _ {0} ^ {t} {ig (} A_ {s} ^ {(j)} {ig)} ^ { 2} ds + {frac {1} {2}} int _ {0} ^ {t} {Big [} A_ {s} ^ {(j)}, int _ {0} ^ {s} A_ {r} ^ {(i)} d {W_ {r} ^ {i}} {Big]} dW_ {s} ^ {j}, Y_ {t} ^ {(1,1)} & = {frac {1} { 2}} int _ {0} ^ {t} {Big [} B_ {s}, int _ {0} ^ {s} A_ {r} ^ {(j)} dW_ {r} {Big]} ds + { frac {1} {2}} int _ {0} ^ {t} {Big [} A_ {s} ^ {(j)}, int _ {0} ^ {s} B_ {r} dr {Big]} dW_ {s} ^ {j}, Y_ {t} ^ {(0,2)} & = {frac {1} {2}} int _ {0} ^ {t} {Big [} B_ {s} , int _ {0} ^ {s} B_ {r} dr {Big]} ds.end {aligned}}}$

Konvergence expanze

Ve stochastickém prostředí bude nyní konvergence podléhat a doba zastavení ${extstyle au}$ a první výsledek konvergence je dán vztahem:^[2]

Podle předchozího předpokladu o koeficientech existuje silné řešení ${extstyle X = (X_ {t}) _ {tin [0, T]}}$, stejně jako přísně pozitivnízastavení času ${extstyle au leq T}$ takové, že:

1. ${extstyle X_ {t}}$ má skutečný logaritmus ${extstyle Y_ {t}}$ až do času ${extstyle au}$, tj.
   

   ${displaystyle X_ {t} = e ^ {Y_ {t}}, qquad 0leq t$

2. následující reprezentace platí ${extstyle mathbb {P}}$- téměř jistě:
   

   ${displaystyle Y_ {t} = součet _ {n = 0} ^ {infty} Y_ {t} ^ {(n)}, qquad 0leq t$
   

   kde ${extstyle Y ^ {(n)}}$ je n-tý termín ve stochastické expanzi Magnuse, jak je definováno níže v podsekci Magnusův expanzní vzorec;

3. existuje pozitivní konstanta C, pouze závislé na ${extstyle | A ^ {(1)} | _ {T}, tečky, | A ^ {(q)} | _ {T}, | B | _ {T}, T, d}$, s ${extstyle | A_ {cdot} | _ {T} = || A_ {t} | _ {F} | _ {L ^ {infty} (Omega imes [0, T])}}$, takový, že
   

   ${displaystyle mathbb {P} (au leq t) leq Ct, qquad tin [0, T].}$

Magnusův expanzní vzorec

Obecný vzorec expanze pro stochastickou expanzi Magnuse je dán vztahem:

${displaystyle Y_ {t} = součet _ {n = 0} ^ {infty} Y_ {t} ^ {(n)} quad {ext {with}} quad Y_ {t} ^ {(n)}: = součet _ {r = 0} ^ {n} Y_ {t} ^ {(r, nr)},}$

kde obecný termín ${extstyle Y ^ {(r, n-r)}}$ je proces Itô ve formě:

${displaystyle Y_ {t} ^ {(r, nr)} = int _ {0} ^ {t} mu _ {s} ^ {r, nr} ds + int _ {0} ^ {t} sigma _ {s } ^ {r, nr, j} dW_ {s} ^ {j}, qquad nin mathbb {N} _ {0}, r = 0, tečky, n,}$

Podmínky ${extstyle sigma ^ {r, n-r, j}, mu ^ {r, n-r}}$ jsou definovány rekurzivně jako

${displaystyle {egin {aligned} sigma _ {s} ^ {r, nr, j} &: = sum _ {i = 0} ^ {n-1} {frac {eta _ {i}} {i!}} S_ {s} ^ {r-1, nr, i} {ig (} A ^ {(j)} {ig)}, mu _ {s} ^ {r, nr} &: = součet _ {i = 0} ^ {n-1} {frac {eta _ {i}} {i!}} S_ {s} ^ {r, nr-1, i} (B) - {frac {1} {2}} součet _ {j = 1} ^ {q} součet _ {i = 0} ^ {n-2} {frac {eta _ {i}} {i!}} součet _ {q_ {1} = 2} ^ {r } součet _ {q_ {2} = 0} ^ {nr} S ^ {r-q_ {1}, nr-q_ {2}, i} {ig (} Q ^ {q_ {1}, q_ {2} , j} {ig)}, konec {zarovnáno}}}$

s

${displaystyle {egin {aligned} Q_ {s} ^ {q_ {1}, q_ {2}, j}: = sum _ {i_ {1} = 2} ^ {q_ {1}} sum _ {i_ {2 } = 0} ^ {q_ {2}} součet _ {h_ {1} = 1} ^ {i_ {1} -1} součet _ {h_ {2} = 0} ^ {i_ {2}} a součet _ { p_ {1} = 0} ^ {q_ {1} -i_ {1}} součet _ {{p_ {2}} = 0} ^ {q_ {2} -i_ {2}} součet _ {m_ {1} = 0} ^ {p_ {1} + p_ {2}} součet _ {{m_ {2}} = 0} ^ {q_ {1} -i_ {1} -p_ {1} + q_ {2} -i_ {2} -p_ {2}} & {Bigg (} {{frac {S_ {s} ^ {p_ {1}, p_ {2}, m_ {1}} {ig (} sigma _ {s} ^ {h_ {1}, h_ {2}, j} {ig)}} {({m_ {1}} + 1)!}} {frac {S_ {s} ^ {q_ {1} -i_ {1} -p_ {1}, q_ {2} -i_ {2} -p_ {2}, m_ {2}} {ig (} sigma _ {s} ^ {i_ {1} -h_ {1}, i_ {2 } -h_ {2}, j} {ig)}} {({m_ {2}} + 1)!}}} & qquad qquad + {frac {{ig [} S_ {s} ^ {p_ {1} , p_ {2}, m_ {1}} {ig (} sigma _ {s} ^ {i_ {1} -h_ {1}, i_ {2} -h_ {2}, j} {ig)}, S_ {s} ^ {q_ {1} -i_ {1} -p_ {1}, q_ {2} -i_ {2} -p_ {2}, m_ {2}} {ig (} sigma _ {s} ^ {h_ {1}, h_ {2}, j} {ig)} {ig]}} {({m_ {1}} + {m_ {2}} + 2) ({m_ {1}} + 1) ! {m_ {2}}!}} {Bigg)}, konec {zarovnáno}}}$

as operátory S je definován jako

${displaystyle {egin {aligned} S_ {s} ^ {r-1, nr, 0} (A) &: = {egin {cases} A & {ext {if}} r = n = 1, 0 & {ext { jinak}}, end {cases}} S_ {s} ^ {r-1, nr, i} (A) &: = sum _ {egin {pole} {c} (j_ {1}, k_ {1} ), tečky, (j_ {i}, k_ {i}) v mathbb {N} _ {0} ^ {2} j_ {1} + cdots + j_ {i} = r-1 k_ {1} + cdots + k_ {i} = n-rend {pole}} {ig [} Y_ {s} ^ {(j_ {1}, k_ {1})}, {ig [} tečky, {ig [} Y_ {s } ^ {(j_ {i}, k_ {i})}, A_ {s} {ig]} tečky {ig]} {ig]} & = součet _ {egin {pole} {c} (j_ {1 }, k_ {1}), tečky, (j_ {i}, k_ {i}) v mathbb {N} _ {0} ^ {2} j_ {1} + cdots + j_ {i} = r-1 k_ {1} + cdots k_ {i} = n-rend {pole}} operatorname {ad} _ {Y_ {s} ^ {(j_ {1}, k_ {1})}} cir cdots cir operatorname {reklama } _ {Y_ {s} ^ {(j_ {i}, k_ {i})}} (A_ {s}), qquad iin mathbb {N} .end {aligned}}}$

Aplikace

Od šedesátých let se expanze Magnus úspěšně používá jako rušivý nástroj v mnoha oblastech fyziky a chemie, od atomový a molekulární fyzika na nukleární magnetická rezonance^[3] a kvantová elektrodynamika. Používá se také od roku 1998 jako nástroj pro konstrukci praktických algoritmů pro numerickou integraci maticových lineárních diferenciálních rovnic. Jelikož odpovídající schémata zdědila po Magnusově expanzi uchování kvalitativních rysů problému, jsou prototypickými příklady geometrické číselné integrátory.

Viz také

• Baker – Campbell – Hausdorffův vzorec
• Derivát exponenciální mapy

Poznámky

Reference

• W. Magnus (1954). "O exponenciálním řešení diferenciálních rovnic pro lineárního operátora". Comm. Pure Appl. Matematika. VII (4): 649–673. doi:10,1002 / cpa.3160070404.
• S. Blanes; F. Casas; J. A. Oteo; J. Ros (1998). "Magnus a Fer expanze pro maticové diferenciální rovnice: problém konvergence". J. Phys. A: Math. Gen. 31 (1): 259–268. Bibcode:1998JPhA ... 31..259B. doi:10.1088/0305-4470/31/1/023.
• A. Iserles; S. P. Nørsett (1999). "O řešení lineárních diferenciálních rovnic v Lieových skupinách". Phil. Trans. R. Soc. Lond. A. 357 (1754): 983–1019. Bibcode:1999RSPTA.357..983I. CiteSeerX  10.1.1.15.4614. doi:10.1098 / rsta.1999.0362. S2CID  90949835.
• S. Blanes; F. Casas; J. A. Oteo; J. Ros (2009). "Magnusovo rozšíření a některé jeho aplikace". Phys. Rep. 470 (5–6): 151–238. arXiv:0810.5488. Bibcode:2009PhR ... 470..151B. doi:10.1016 / j.physrep.2008.11.001. S2CID  115177329.
• K. Kamm; S. Pagliarani; A. Pascucci (2020). "Stochastická expanze Magnuse". arXiv:2001.01098.