Přitahovač zpětného chodu - Pullback attractor

Tento článek obsahuje seznam obecných Reference, ale zůstává z velké části neověřený, protože postrádá dostatečné odpovídající vložené citace. Prosím pomozte zlepšit tento článek představuji přesnější citace. (Březen 2015) (Zjistěte, jak a kdy odstranit tuto zprávu šablony)

v matematika, atraktor a náhodný dynamický systém lze volně považovat za sadu, ke které se systém vyvíjí po dostatečně dlouhé době. Základní myšlenka je stejná jako u a deterministický dynamický systém, ale vyžaduje pečlivé zacházení, protože náhodné dynamické systémy nutně nejsouautonomní. To vyžaduje, abychom zvážili pojem a přitahovací přitahovač nebo atraktor ve smyslu pullback.

Nastavení a motivace

Zvažte náhodný dynamický systém ${displaystyle varphi}$ na kompletní oddělitelný metrický prostor ${displaystyle (X, d)}$, kde je hluk vybrán z a pravděpodobnostní prostor ${displaystyle (Omega, {mathcal {F}}, mathbb {P})}$ s základní tok ${displaystyle vartheta: mathbb {R} je Omega o Omega}$.

Naivní definice atraktoru ${displaystyle {mathcal {A}}}$ pro tento náhodný dynamický systém by to bylo vyžadováno pro jakoukoli počáteční podmínku ${displaystyle x_ {0} v X}$, ${displaystyle varphi (t, omega) x_ {0} o {mathcal {A}}}$ tak jako ${displaystyle t o + infty}$. Tato definice je příliš omezená, zejména v rozměry vyšší než jedna. Věrohodnější definice vycházející z myšlenky Omega-limit nastaven, by se dalo říci, že bod ${displaystyle ain X}$ leží v atraktoru ${displaystyle {mathcal {A}}}$ kdyby a jen kdyby existuje počáteční podmínka, ${displaystyle x_ {0} v X}$a existuje řada časů ${displaystyle t_ {n} o + infty}$ takhle

${displaystyle dleft (varphi (t_ {n}, omega) x_ {0}, aight) o 0}$ tak jako ${displaystyle n o infty}$.

To není příliš daleko od funkční definice. Dosud jsme však neuvažovali o vlivu hluku ${displaystyle omega}$, což činí systém neautonomním (tj. záleží výslovně na čase). Z technických důvodů je nutné udělat následující: místo hledání ${displaystyle t}$ sekund do „budoucnosti“ a vzhledem k limitu jako ${displaystyle t o + infty}$, jeden „převine“ hluk ${displaystyle t}$ sekund do „minulosti“ a vyvíjí systém skrz ${displaystyle t}$ s použitím stejné počáteční podmínky. To znamená, že člověka zajímá limit zpětného rázu

${displaystyle lim _ {t o + infty} varphi (t, vartheta _ {- t} omega)}$.

Například ve smyslu zpětného rázu je Omega-limit nastaven pro (případně náhodnou) množinu ${displaystyle B (omega) subseteq X}$ je náhodná množina

${displaystyle Omega _ {B} (omega): = left {xin Xleft | existuje t_ {n} o + infty, existuje b_ {n} v B (vartheta _ {- t_ {n}} omega) mathrm {, st, } varphi (t_ {n}, vartheta _ {- t_ {n}} omega) b_ {n} o xmathrm {, as,} n o infty ight.ight}.}$

Ekvivalentně to může být napsáno jako

${displaystyle Omega _ {B} (omega) = igcap _ {tgeq 0} {overline {igcup _ {sgeq t} varphi (s, vartheta _ {- s} omega) B (vartheta _ {- s} omega)}} .}$

Důležité je, že v případě deterministického dynamického systému (systému bez šumu) se limit zpětného rázu shoduje s deterministickým dopředným limitem, takže má smysl porovnávat deterministické a náhodné množiny limitů omega, atraktory atd.

Analyticky a numericky je prezentováno několik příkladů přitahovacích prvků neautonomních dynamických systémů.^[1]

Definice

The přitahovací přitahovač (nebo náhodný globální atraktor) ${displaystyle {mathcal {A}} (omega)}$ pro náhodný dynamický systém je a ${displaystyle mathbb {P}}$-téměř jistě jedinečná náhodná množina takových

1. ${displaystyle {mathcal {A}} (omega)}$ je náhodná kompaktní sada: ${displaystyle {mathcal {A}} (omega) subseteq X}$ je téměř jisté kompaktní a ${displaystyle omega mapsto mathrm {dist} (x, {mathcal {A}} (omega))}$ je ${displaystyle ({mathcal {F}}, {mathcal {B}} (X))}$-měřitelná funkce pro každého ${displaystyle xin X}$;
2. ${displaystyle {mathcal {A}} (omega)}$ je neměnný: pro všechny ${displaystyle varphi (t, omega) ({mathcal {A}} (omega)) = {mathcal {A}} (vartheta _ {t} omega)}$ téměř jistě;
3. ${displaystyle {mathcal {A}} (omega)}$ je přitažlivý: pro jakýkoli deterministický ohraničená množina ${displaystyle Bsubseteq X}$,

${displaystyle lim _ {t o + infty} mathrm {dist} left (varphi (t, vartheta _ {- t} omega) (B), {mathcal {A}} (omega) ight) = 0}$ téměř jistě.

Tam je mírný zneužití notace ve výše uvedeném: první použití výrazu „dist“ se týká Hausdorffova poloviční vzdálenost z bodu do množiny,

${displaystyle mathrm {dist} (x, A): = inf _ {ain A} d (x, a),}$

vzhledem k tomu, že druhé použití výrazu „dist“ označuje Hausdorffovu poloviční vzdálenost mezi dvěma sadami,

${displaystyle mathrm {dist} (B, A): = sup _ {bin B} inf _ {ain A} d (b, a).}$

Jak je uvedeno v předchozí části, při absenci šumu se tato definice atraktoru shoduje s deterministickou definicí atraktoru jako minimální kompaktní invariantní množiny, která přitahuje všechny omezené deterministické množiny.

Věty o omega-limitních sadách pro atraktory

Lákadlo jako svazek sad limitů omega

Pokud má náhodný dynamický systém kompaktní náhodné absorbující sada ${displaystyle K}$, pak je náhodný globální atraktor dán vztahem

${displaystyle {mathcal {A}} (omega) = {overline {igcup _ {B} Omega _ {B} (omega)}},}$

Kde unie přebírá všechny ohraničené množiny ${displaystyle Bsubseteq X}$.

Ohraničení atraktoru v deterministické sadě

Crauel (1999) dokázal, že pokud základní tok ${displaystyle vartheta}$ je ergodický a ${displaystyle Dsubseteq X}$ je deterministická kompaktní sada s

${displaystyle mathbb {P} vlevo ({mathcal {A}} (cdot) subseteq Dight)> 0,}$

pak ${displaystyle {mathcal {A}} (omega) = Omega _ {D} (omega)}$ ${displaystyle mathbb {P}}$- téměř jistě.

Reference

• Crauel, H., Debussche, A., & Flandoli, F. (1997) Náhodné atraktory. Žurnál dynamiky a diferenciálních rovnic. 9(2) 307–341.
• Crauel, H. (1999) Globální náhodné atraktory jsou jednoznačně určeny přitahováním deterministických kompaktních množin. Ann. Rohož. Pura Appl. 4 176 57–72
• Chekroun, M. D., E. Simonnet a M. Ghil, (2011). Stochastická dynamika podnebí: Náhodné atraktory a časově závislá invariantní opatření. Physica D. 240 (21), 1685–1700.