Chirální polytop - Chiral polytope
v matematika, existují dvě konkurenční definice pro a chirální polytop. Jedním z nich je, že je to polytop to je chirální (nebo „enantiomorfní“), což znamená, že nemá zrcadlová symetrie. Podle této definice by byl polytop, který vůbec postrádá jakoukoli symetrii, příkladem chirálního polytopu.
Druhou konkurenční definicí chirálního polytopu je, že se jedná o polytop, který je co nejvíce symetrický, aniž by byl zrcadlově symetrický, formalizovaný z hlediska akce z skupina symetrie polytopu na jeho vlajky. Podle této definice dokonce vysoce symetrické a enantiomorfní polytopy, jako je urážka kostka nejsou chirální. Hodně ze studia symetrických, ale chirálních polytopů bylo provedeno v rámci abstraktní polytopy, kvůli nedostatku geometrických příkladů.
Polytopy bez zrcadlové symetrie

![]() | ![]() |
The urážka kostka, vrchol-tranzitivní, ale ne zrcadlově symetrický. |
Mnoho polytopů postrádá zrcadlovou symetrii a v tomto smyslu tvoří chirální polytopy. Nejjednodušším příkladem je a scalenový trojúhelník.[1]
Je možné, aby polytopy měly vysoký stupeň symetrie, ale přesto jim chyběla zrcadlová symetrie; jednoduchým příkladem je disphenoid když jeho tváře nejsou shodné s rovnoramenný trojúhelník;[2] dalším příkladem je urážka kostka, který je vrchol-tranzitivní a chirální v tomto smyslu.[3]
Symetrické chirální polytopy
Definice
Techničtější definice chirálního polytopu je polytop, který má dvě oběžné dráhy vlajky pod jeho skupina symetrií se sousedními vlajkami na různých drahách. To znamená, že to musí být vrchol-tranzitivní, hrana tranzitivní, a tvář-tranzitivní, protože každý vrchol, hrana nebo plocha musí být reprezentovány příznaky na obou drahách; nemůže však být zrcadlově symetrický, protože každá zrcadlová symetrie mnohostěnů by si vyměňovala pár dvojic sousedních vlajek.[4]
Pro účely této definice lze skupinu symetrie polytopu definovat jedním ze dvou různých způsobů: může odkazovat na symetrie polytopu jako geometrický objekt (v takovém případě se polytop nazývá geometricky chirální) nebo může odkazovat na symetrie polytopu jako kombinatorickou strukturu (an abstraktní mnohostěn ). Chirality má smysl pro oba typy symetrie, ale obě definice klasifikují různé polytopy jako chirální nebo nechirální.[5]
Ve třech rozměrech
Ve třech rozměrech není možné, aby geometricky chirální polytop měl konečně mnoho konečných ploch. Například snub kostka je vrchol-tranzitivní, ale její příznaky mají více než dvě oběžné dráhy, a to není ani hrana-tranzitivní, ani obličej-tranzitivní, takže není dostatečně symetrická, aby splňovala formální definici chirality. The kvaziregulární mnohostěn a jejich duály, například cuboctahedron a kosočtverečný dvanáctistěn, poskytují další zajímavý typ blízké slečny: mají dvě oběžné dráhy vlajek, ale jsou zrcadlově symetrické a ne každá sousední dvojice vlajek patří na různé oběžné dráhy. Navzdory neexistenci konečné chirální trojrozměrné mnohostěny však existuje nekonečná trojrozměrná chirála zkosit mnohostěn typů {4,6}, {6,4} a {6,6}.[5]
Reference
- ^ Tilley, Richard J. D. (2006), Krystaly a krystalové struktury, John Wiley & Sons, str. 44, ISBN 9780470018217.
- ^ Petitjean, M. (2015). „Nejchirálnější disfenoid“ (PDF). ZÁPAS - Komunikace v matematické a počítačové chemii. 73 (2): 375–384. Zbl 06749519.CS1 maint: ZBL (odkaz)
- ^ Coxeter, H. S. M. (1995), Kaleidoskopy: Vybrané spisy, John Wiley and Sons, str. 282, ISBN 9780471010036.
- ^ Schulte, Egon; Weiss, Asia Ivić (1991), „Chiral polytopes“, Gritzmann, P .; Sturmfels, B. (eds.), Aplikovaná geometrie a diskrétní matematika (Victor Klee Festschrift)Série DIMACS v diskrétní matematice a teoretické informatice, 4„Providence, RI: American Mathematical Society, s. 493–516, PAN 1116373.
- ^ A b Schulte, Egon (2004), „Chirální mnohostěn v běžném prostoru. (PDF), Diskrétní a výpočetní geometrie, 32 (1): 55–99, doi:10.1007 / s00454-004-0843-x, PAN 2060817, archivovány z originál (PDF) dne 17. 11. 2010, vyvoláno 2012-09-01.
Další čtení
- Monson, Barry; Pisanski, Tomaž; Schulte, Egon; Weiss, Asia Ivić (2007), „Semisymetrické grafy z polytopů“, Journal of Combinatorial Theory, Řada A, 114 (3): 421–435, arXiv:matematika / 0606469, doi:10.1016 / j.jcta.2006.06.007, PAN 2310743.
- Hubard, Isabel; Weiss, Asia Ivić (2005), „Self-dualita chirálních polytopů“, Journal of Combinatorial Theory, Řada A, 111 (1): 128–136, doi:10.1016 / j.jcta.2004.11.012, PAN 2144859.
- Conder, Marstone; Hubard, Isabel; Pisanski, Tomaž (2008), „Konstrukce pro chirální polytopy“, Journal of the London Mathematical Society, Druhá série, 77 (1): 115–129, doi:10.1112 / jlms / jdm093, PAN 2389920.
- Monson, Barry; Ivić Weiss, Asia (2008), „Cayleyovy grafy a symetrické 4-polytopy“, Ars Mathematica Contemporanea, 1 (2): 185–205, PAN 2466196.