Ekvivalence (teorie míry) - Equivalence (measure theory)
v matematika a konkrétně v teorie míry, rovnocennost je pojem dvou opatření jsou kvalitativně podobné. Konkrétně se obě míry shodují na tom, které události mají míru nula.
Definice
Nechat a být dva opatření na měřitelném prostoru a nechte
a
být soubory -nulové sady a - nulové sady. Pak opatření se říká, že je absolutně kontinuální v odkazu na iff . Toto se označuje jako .
Obě míry se nazývají ekvivalentní iff a ,[1] který je označen jako . To znamená, že dvě opatření jsou rovnocenná, pokud splňují .
Příklady
Na skutečné linii
Definujte dvě opatření na skutečná linie tak jako
pro všechny Sady Borel . Pak a jsou ekvivalentní, protože všechny sady mimo mít a změřte nulu a sadu uvnitř je - nulová sada nebo a -null nastavena přesně, když se jedná o nulovou sadu s ohledem na Lebesgueovo opatření.
Abstraktní prostor
Podívejte se na nějaký měřitelný prostor a nechte být počítání opatření, tak
- ,
kde je mohutnost sady a. Míra počítání má tedy pouze jednu nulovou množinu, kterou je prázdná sada. To znamená, . Podle druhé definice tedy jakékoli jiné opatření je ekvivalentní s mírou počítání, pokud má také pouze prázdnou množinu jako jedinou - nulová sada.
Podpůrná opatření
Opatření se nazývá a podpůrné opatření opatření -li je -konečný a je ekvivalentní k .[2]
Reference
- ^ Klenke, Achim (2008). Teorie pravděpodobnosti. Berlín: Springer. str. 156. doi:10.1007/978-1-84800-048-3. ISBN 978-1-84800-047-6.
- ^ Kallenberg, Olav (2017). Náhodná opatření, teorie a aplikace. Švýcarsko: Springer. str. 21. doi:10.1007/978-3-319-41598-7. ISBN 978-3-319-41596-3.