Σ-konečná míra - Σ-finite measure
v matematika, pozitivní (nebo podepsaný ) opatření μ definované na a σ-algebra Σ podmnožin a soubor X se nazývá konečná míra, pokud μ(X) je konečný reálné číslo (spíše než ∞) a sada A in Σ je konečné míry, pokud μ(A) < ∞. Měření μ je nazýván σ-konečný -li X je počitatelný svaz měřitelných množin s konečnou mírou. Sada v prostoru míry se říká, že má σ- konečné opatření pokud se jedná o spočetné spojení měřitelných množin s konečnou mírou. Míra, která je σ-konečná, je slabší podmínkou než být konečná, tj. Všechna konečná opatření jsou σ-konečná, ale existuje (mnoho) σ-konečných opatření, která nejsou konečná.
Jiný, ale související pojem, který by neměl být zaměňován se sigma-konečností, je s-konečnost.
Definice
Nechat být měřitelný prostor a A opatření na to.
Měření se nazývá σ-konečná míra, pokud splňuje jedno ze čtyř následujících ekvivalentních kritérií:
- sada může být pokryta maximálně nespočetně mnoho měřitelné sady s konečnou mírou. To znamená, že existují sady s pro všechny které uspokojí .[1]
- sada může být pokryta maximálně spočitatelně mnoha měřitelnými disjunktní sady s konečnou mírou. To znamená, že existují sady s pro všechny a pro které uspokojí .
- sada může být pokryta monotónní posloupností měřitelných množin s konečnou mírou. To znamená, že existují sady s a pro všechny které uspokojí .
- existuje přísně pozitivní měřitelná funkce jehož integrál je konečný.[2] Tohle znamená tamto pro všechny a .
Li je - konečné opatření, změřte prostor se nazývá a -omezený prostor.[3]
Příklady
Lebesgueovo opatření
Například, Lebesgueovo opatření na reálná čísla není konečný, ale je σ-konečný. Zvažte skutečně intervaly [k, k + 1) pro všechny celá čísla k; existuje nespočetně mnoho takových intervalů, každý má míru 1 a jejich sjednocením je celá reálná čára.
Počítání opatření
Alternativně zvažte reálná čísla s počítání opatření; míra jakékoli konečné množiny je počet prvků v množině a míra jakékoli nekonečné množiny je nekonečno. Toto opatření není σ-finitní, protože každá množina s konečnou mírou obsahuje pouze konečně mnoho bodů a trvalo by nespočetně mnoho takových sad, aby pokryla celou skutečnou linii. Ale množina přirozených čísel s počítání opatření je σ -konečný.
Lokálně kompaktní skupiny
Lokálně kompaktní skupiny což jsou σ-kompaktní jsou σ-konečné pod Haarovo opatření. Například všechny připojeno, místně kompaktní skupiny G jsou σ-kompaktní. Chcete-li to vidět, nechte PROTI být relativně kompaktní, symetrický (tj PROTI = PROTI−1) otevřené sousedství identity. Pak
je otevřená podskupina G. Proto H je také uzavřen, protože jeho doplňkem je unie otevřených množin a konektivita G, musí být G sám. Takto jsou všechny propojeny Lež skupiny jsou σ-konečné podle Haarovy míry.
Negativní příklady
Jakékoli netriviální měřítko, které bere pouze dvě hodnoty 0 a je zjevně ne σ-konečný. Jeden příklad v je: pro všechny , právě když A není prázdný; další je: pro všechny , právě když A je nespočetné, jinak 0. Mimochodem, oba jsou překladově invariantní.
Vlastnosti
Třída σ-konečných měr má některé velmi výhodné vlastnosti; σ-konečnost lze v tomto ohledu přirovnat k oddělitelnost topologických prostorů. Některé věty v analýze vyžadují σ-konečnost jako hypotézu. Obvykle oba Věta Radon – Nikodym a Fubiniho věta jsou uvedeny za předpokladu σ-konečnosti příslušných opatření. Jak však ukazuje Segalův dokument „Ekvivalence měrných prostorů“ (Dopoledne. J. Math. 73, 275 (1953)) vyžadují pouze slabší stav lokalizovatelnost.
Ačkoli opatření, která nejsou σ- konečný je někdy považován za patologický, ve skutečnosti se vyskytuje zcela přirozeně. Například pokud X je metrický prostor z Hausdorffova dimenze r, pak všechny nižší dimenzionální Hausdorffova opatření nejsou -σ-konečné, pokud jsou považovány za míry na X.
Rovnocennost s mírou pravděpodobnosti
Libovolná σ-konečná míra μ na mezeru X je ekvivalent do a míra pravděpodobnosti na X: nechte PROTIn, n ∈ N, být krytí X párově disjunktními měřitelnými množinami konečných μ- změřte a nechte wn, n ∈ N, být posloupnost kladných čísel (vah) taková, že
Měření ν definován
je pak míra pravděpodobnosti na X s úplně stejným nulové sady tak jakoμ.
Související pojmy
Mírná opatření
A Borelův rozměr (ve smyslu a lokálně konečné opatření na Borel -algebra[4]) se nazývá a mírná míra pokud existuje maximálně spočetně mnoho otevřených sad s pro všechny a .[5]
Každé umírněné opatření je a - konečná míra, obrácení není pravda.
Rozložitelná opatření
Míra se nazývá a rozložitelné opatření existují disjunktní měřitelné sady s pro všechny a . Všimněte si, že pro rozložitelné míry neexistuje žádné omezení počtu měřitelných množin s konečnou mírou.
Každý - konečná míra je rozložitelná míra, obráceně není pravda.
s-konečná opatření
Opatření se nazývá a s-konečná míra pokud je to součet nanejvýš spočetně mnoha konečná opatření.[2]
Každá σ-konečná míra je s-konečná, obrácení není pravdivé. Důkaz a protiklad viz s-konečná míra # Vztah k σ-konečné míře.
Viz také
Reference
- ^ Klenke, Achim (2008). Teorie pravděpodobnosti. Berlín: Springer. str.12. doi:10.1007/978-1-84800-048-3. ISBN 978-1-84800-047-6.
- ^ A b Kallenberg, Olav (2017). Náhodná opatření, teorie a aplikace. Švýcarsko: Springer. str. 21. doi:10.1007/978-3-319-41598-7. ISBN 978-3-319-41596-3.
- ^ Anosov, D.V. (2001) [1994], „Změřte prostor“, Encyclopedia of Mathematics, Stiskněte EMS
- ^ Elstrodt, Jürgen (2009). Maß- und Integrationstheorie [Teorie měření a integrace] (v němčině). Berlín: Springer Verlag. str. 313. doi:10.1007/978-3-540-89728-6. ISBN 978-3-540-89727-9.
- ^ Elstrodt, Jürgen (2009). Maß- und Integrationstheorie [Teorie měření a integrace] (v němčině). Berlín: Springer Verlag. str. 318. doi:10.1007/978-3-540-89728-6. ISBN 978-3-540-89727-9.