Tenzorová derivace (mechanika kontinua) - Tensor derivative (continuum mechanics)

tento článek má nejasný styl citace. Použité odkazy mohou být jasnější odlišným nebo konzistentním stylem citace a poznámka pod čarou. (Červen 2014) (Zjistěte, jak a kdy odstranit tuto zprávu šablony)

The deriváty z skaláry, vektory a druhého řádu tenzory s ohledem na tenzory druhého řádu jsou v mechanika kontinua. Tyto deriváty se používají v teoriích nelineární pružnost a plasticita, zejména v designu algoritmy pro numerické simulace.^[1]

The směrový derivát poskytuje systematický způsob hledání těchto derivátů.^[2]

Deriváty s ohledem na vektory a tenzory druhého řádu

Níže jsou uvedeny definice směrových derivací pro různé situace. Předpokládá se, že funkce jsou dostatečně plynulé, aby bylo možné brát derivace.

Deriváty skalárních hodnotných funkcí vektorů

Nechat F(proti) být skutečnou hodnotnou funkcí vektoru proti. Pak derivát F(proti) s ohledem na proti (nebo na proti) je vektor definována prostřednictvím jejího tečkového produktu s libovolným vektorem u bytost

${displaystyle {frac {částečné f} {částečné mathbf {v}}} cdot mathbf {u} = Df (mathbf {v}) [mathbf {u}] = vlevo [{frac {m {d}} {{m { d}} alpha}} ~ f (mathbf {v} + alpha ~ mathbf {u}) ight] _ {alpha = 0}}$

pro všechny vektory u. Výše uvedený bodový produkt poskytuje skalární, a pokud u je jednotkový vektor udává směrovou derivaci F na proti, v u směr.

Vlastnosti:

1. Li ${displaystyle f (mathbf {v}) = f_ {1} (mathbf {v}) + f_ {2} (mathbf {v})}$ pak ${displaystyle {frac {částečné f} {částečné mathbf {v}}} cdot mathbf {u} = vlevo ({frac {částečné f_ {1}} {částečné mathbf {v}}} + {frac {částečné f_ {2} } {částečná mathbf {v}}} ight) cdot mathbf {u}}$
2. Li ${displaystyle f (mathbf {v}) = f_ {1} (mathbf {v}) ~ f_ {2} (mathbf {v})}$ pak ${displaystyle {frac {částečné f} {částečné mathbf {v}}} cdot mathbf {u} = vlevo ({frac {částečné f_ {1}} {částečné mathbf {v}}} cdot mathbf {u} ight) ~ f_ {2} (mathbf {v}) + f_ {1} (mathbf {v}) ~ vlevo ({frac {částečné f_ {2}} {částečné mathbf {v}}} cdot mathbf {u} ight)}$
3. Li ${displaystyle f (mathbf {v}) = f_ {1} (f_ {2} (mathbf {v}))}$ pak ${displaystyle {frac {částečné f} {částečné mathbf {v}}} cdot mathbf {u} = {frac {částečné f_ {1}} {částečné f_ {2}}} ~ {frac {částečné f_ {2}} { parciální mathbf {v}}} cdot mathbf {u}}$

Deriváty vektorově hodnotných funkcí vektorů

Nechat F(proti) být funkcí vektoru s hodnotou vektoru proti. Pak derivát F(proti) s ohledem na proti (nebo na proti) je tenzor druhého řádu definována prostřednictvím jejího tečkového produktu s libovolným vektorem u bytost

${displaystyle {frac {částečná mathbf {f}} {částečná mathbf {v}}} cdot mathbf {u} = Dmathbf {f} (mathbf {v}) [mathbf {u}] = vlevo [{frac {m {d }} {{m {d}} alfa}} ~ mathbf {f} (mathbf {v} + alpha ~ mathbf {u}) ight] _ {alpha = 0}}$

pro všechny vektory u. Výše uvedený bodový produkt poskytuje vektor, a pokud u je jednotkový vektor udává derivaci směru F na proti, ve směru u.

Vlastnosti:

1. Li ${displaystyle mathbf {f} (mathbf {v}) = mathbf {f} _ {1} (mathbf {v}) + mathbf {f} _ {2} (mathbf {v})}$ pak ${displaystyle {frac {částečná mathbf {f}} {částečná mathbf {v}}} cdot mathbf {u} = vlevo ({frac {částečná mathbf {f} _ {1}} {částečná mathbf {v}}} + { frac {částečná mathbf {f} _ {2}} {částečná mathbf {v}}} ight) cdot mathbf {u}}$
2. Li ${displaystyle mathbf {f} (mathbf {v}) = mathbf {f} _ {1} (mathbf {v}) imes mathbf {f} _ {2} (mathbf {v})}$ pak ${displaystyle {frac {částečná mathbf {f}} {částečná mathbf {v}}} cdot mathbf {u} = vlevo ({frac {částečná mathbf {f} _ {1}} {částečná mathbf {v}}} cdot mathbf {u} ight) imes mathbf {f} _ {2} (mathbf {v}) + mathbf {f} _ {1} (mathbf {v}) imes left ({frac {partial mathbf {f} _ {2} } {částečná mathbf {v}}} cdot mathbf {u} ight)}$
3. Li ${displaystyle mathbf {f} (mathbf {v}) = mathbf {f} _ {1} (mathbf {f} _ {2} (mathbf {v}))}$ pak ${displaystyle {frac {částečná mathbf {f}} {částečná mathbf {v}}} cdot mathbf {u} = {frac {částečná mathbf {f} _ {1}} {částečná mathbf {f} _ {2}}} cdot left ({frac {částečná mathbf {f} _ {2}} {částečná mathbf {v}}} cdot mathbf {u} ight)}$

Derivace skalárních hodnot funkcí tenzorů druhého řádu

Nechat ${displaystyle f ({oldsymbol {S}})}$ být skutečnou hodnotou funkce tenzoru druhého řádu ${displaystyle {oldsymbol {S}}}$. Pak derivát ${displaystyle f ({oldsymbol {S}})}$ s ohledem na ${displaystyle {oldsymbol {S}}}$ (nebo na ${displaystyle {oldsymbol {S}}}$) ve směru ${displaystyle {oldsymbol {T}}}$ je tenzor druhého řádu definováno jako

${displaystyle {frac {částečné f} {částečné {oldsymbol {S}}}}: {oldsymbol {T}} = Df ({oldsymbol {S}}) [{oldsymbol {T}}]] = vlevo [{frac {m {d}} {{m {d}} alpha}} ~ f ({oldsymbol {S}} + alpha ~ {oldsymbol {T}}) ight] _ {alpha = 0}}$

pro všechny tenzory druhého řádu ${displaystyle {oldsymbol {T}}}$.

Vlastnosti:

1. Li ${displaystyle f ({oldsymbol {S}}) = f_ {1} ({oldsymbol {S}}) + f_ {2} ({oldsymbol {S}})}$ pak ${displaystyle {frac {částečný f} {částečný {oldsymbol {S}}}}: {oldsymbol {T}} = vlevo ({frac {částečný f_ {1}} {částečný {oldsymbol {S}}}} + {frac {částečné f_ {2}} {částečné {oldsymbol {S}}}} včas): {oldsymbol {T}}}$
2. Li ${displaystyle f ({oldsymbol {S}}) = f_ {1} ({oldsymbol {S}}) ~ f_ {2} ({oldsymbol {S}})}$ pak ${displaystyle {frac {částečné f} {částečné {oldsymbol {S}}}}: {oldsymbol {T}} = vlevo ({frac {částečné f_ {1}} {částečné {oldsymbol {S}}}}: {oldsymbol {T}} ight) ~ f_ {2} ({oldsymbol {S}}) + f_ {1} ({oldsymbol {S}}) ~ vlevo ({frac {částečné f_ {2}} {částečné {oldsymbol {S }}}}: {oldsymbol {T}} ight)}$
3. Li ${displaystyle f ({oldsymbol {S}}) = f_ {1} (f_ {2} ({oldsymbol {S}}))}$ pak ${displaystyle {frac {částečné f} {částečné {oldsymbol {S}}}}: {oldsymbol {T}} = {frac {částečné f_ {1}} {částečné f_ {2}}} ~ vlevo ({frac {částečné f_ {2}} {částečný {oldsymbol {S}}}}: {oldsymbol {T}} ight)}$

Derivace tenzorově hodnotných funkcí tenzorů druhého řádu

Nechat ${displaystyle {oldsymbol {F}} ({oldsymbol {S}})}$ být funkcí tenzoru druhého řádu s hodnotou tenzoru druhého řádu ${displaystyle {oldsymbol {S}}}$. Pak derivát ${displaystyle {oldsymbol {F}} ({oldsymbol {S}})}$ s ohledem na ${displaystyle {oldsymbol {S}}}$ (nebo na ${displaystyle {oldsymbol {S}}}$) ve směru ${displaystyle {oldsymbol {T}}}$ je tenzor čtvrtého řádu definováno jako

${displaystyle {frac {částečný {oldsymbol {F}}} {částečný {oldsymbol {S}}}}: {oldsymbol {T}} = D {oldsymbol {F}} ({oldsymbol {S}}) [{oldsymbol { T}}] = vlevo [{frac {m {d}} {{m {d}} alfa}} ~ {oldsymbol {F}} ({oldsymbol {S}} + alfa ~ {oldsymbol {T}}) večer ] _ {alpha = 0}}$

pro všechny tenzory druhého řádu ${displaystyle {oldsymbol {T}}}$.

Vlastnosti:

1. Li ${displaystyle {oldsymbol {F}} ({oldsymbol {S}}) = {oldsymbol {F}} _ {1} ({oldsymbol {S}}) + {oldsymbol {F}} _ {2} ({oldsymbol { S}})}$ pak ${displaystyle {frac {částečný {oldsymbol {F}}} {částečný {oldsymbol {S}}}}: {oldsymbol {T}} = vlevo ({frac {částečný {oldsymbol {F}} _ {1}} {částečný {oldsymbol {S}}}} + {frac {částečný {oldsymbol {F}} _ {2}} {částečný {oldsymbol {S}}}} ight): {oldsymbol {T}}}$
2. Li ${displaystyle {oldsymbol {F}} ({oldsymbol {S}}) = {oldsymbol {F}} _ {1} ({oldsymbol {S}}) cdot {oldsymbol {F}} _ {2} ({oldsymbol { S}})}$ pak ${displaystyle {frac {částečný {oldsymbol {F}}} {částečný {oldsymbol {S}}}}: {oldsymbol {T}} = vlevo ({frac {částečný {oldsymbol {F}} _ {1}} {částečný {oldsymbol {S}}}}: {oldsymbol {T}} ight) cdot {oldsymbol {F}} _ {2} ({oldsymbol {S}}) + {oldsymbol {F}} _ {1} ({oldsymbol {S}}) cdot left ({frac {částečné {oldsymbol {F}} _ {2}} {částečné {oldsymbol {S}}}}: {oldsymbol {T}} ight)}$
3. Li ${displaystyle {oldsymbol {F}} ({oldsymbol {S}}) = {oldsymbol {F}} _ {1} ({oldsymbol {F}} _ {2} ({oldsymbol {S}}))}}$ pak ${displaystyle {frac {částečný {oldsymbol {F}}} {částečný {oldsymbol {S}}}}: {oldsymbol {T}} = {frac {částečný {oldsymbol {F}} _ {1}} {částečný {oldsymbol {F}} _ {2}}}: vlevo ({frac {částečný {oldsymbol {F}} _ {2}} {částečný {oldsymbol {S}}}}: {oldsymbol {T}} vpravo)}$
4. Li ${displaystyle f ({oldsymbol {S}}) = f_ {1} ({oldsymbol {F}} _ {2} ({oldsymbol {S}}))}}$ pak ${displaystyle {frac {částečné f} {částečné {oldsymbol {S}}}}: {oldsymbol {T}} = {frac {částečné f_ {1}} {částečné {oldsymbol {F}} _ {2}}}: vlevo ({frac {částečný {oldsymbol {F}} _ {2}} {částečný {oldsymbol {S}}}}: {oldsymbol {T}} ight)}$

Gradient tenzorového pole

The spád, ${displaystyle {oldsymbol {abla}} {oldsymbol {T}}}$, tenzorového pole ${displaystyle {oldsymbol {T}} (mathbf {x})}$ ve směru libovolného konstantního vektoru C je definován jako:

${displaystyle {oldsymbol {abla}} {oldsymbol {T}} cdot mathbf {c} = lim _ {alpha ightarrow 0} quad {cfrac {d} {dalpha}} ~ {oldsymbol {T}} (mathbf {x} + alfa mathbf {c})}$

Gradient tenzorového pole řádu n je tenzorové pole objednávky n+1.

Kartézské souřadnice

Poznámka: Konvence Einsteinova součtu sčítání na opakovaných indexech se používá níže.

Li ${displaystyle mathbf {e} _ {1}, mathbf {e} _ {2}, mathbf {e} _ {3}}$ jsou základní vektory v a Kartézská souřadnice systém se souřadnicemi bodů označených (${displaystyle x_ {1}, x_ {2}, x_ {3}}$), pak gradient tenzorového pole ${displaystyle {oldsymbol {T}}}$ darováno

${displaystyle {oldsymbol {abla}} {oldsymbol {T}} = {cfrac {částečný {oldsymbol {T}}} {částečný x_ {i}}} čas mathbf {e} _ {i}}$

Důkaz

Vektory X a C lze psát jako ${displaystyle mathbf {x} = x_ {i} ~ mathbf {e} _ {i}}$ a ${displaystyle mathbf {c} = c_ {i} ~ mathbf {e} _ {i}}$ . Nechat y := X + αC. V takovém případě je gradient dán vztahem ${displaystyle {egin {aligned} {oldsymbol {abla}} {oldsymbol {T}} cdot mathbf {c} & = left. {cfrac {m {d}} {{m {d}} alpha}} ~ {oldsymbol { T}} (x_ {1} + alpha c_ {1}, x_ {2} + alpha c_ {2}, x_ {3} + alpha c_ {3}) ight | _ {alpha = 0} ekvivalent vlevo. {Cfrac {m {d}} {{m {d}} alfa}} ~ {oldsymbol {T}} (y_ {1}, y_ {2}, y_ {3}) ight | _ {alpha = 0} & = left [{cfrac {částečné {oldsymbol {T}}} {částečné y_ {1}}} ~ {cfrac {částečné y_ {1}} {částečné alfa}} + {cfrac {částečné {oldsymbol {T}}} {částečné y_ {2}}} ~ {cfrac {částečné y_ {2}} {částečné alfa}} + {cfrac {částečné {oldsymbol {T}}} {částečné y_ {3}}} ~ {cfrac {částečné y_ {3} } {částečné alfa}} ight] _ {alpha = 0} = vlevo [{cfrac {částečné {oldsymbol {T}}} {částečné y_ {1}}} ~ c_ {1} + {cfrac {částečné {oldsymbol {T }}} {částečné y_ {2}}} ~ c_ {2} + {cfrac {částečné {oldsymbol {T}}} {částečné y_ {3}}} ~ c_ {3} včas] _ {alpha = 0} & = {cfrac {částečný {oldsymbol {T}}} {částečný x_ {1}}} ~ c_ {1} + {cfrac {částečný {oldsymbol {T}}} {částečný x_ {2}}} ~ c_ {2 } + {cfrac {částečný {oldsymbol {T}}} {částečný x_ {3}}} ~ c_ {3} ekviv {cfrac {částečný {oldsymbol {T}}} {částečný x _ {i}}} ~ c_ {i} = {cfrac {částečný {oldsymbol {T}}} {částečný x_ {i}}} ~ (mathbf {e} _ {i} cdot mathbf {c}) = vlevo [ {cfrac {částečný {oldsymbol {T}}} {částečný x_ {i}}} častěji mathbf {e} _ {i} ight] cdot mathbf {c} qquad hranatý konec {zarovnáno}}}$

Vzhledem k tomu, že základní vektory se nemění v kartézském souřadnicovém systému, máme následující vztahy pro přechody skalárního pole ${displaystyle phi}$, vektorové pole protia tenzorové pole druhého řádu ${displaystyle {oldsymbol {S}}}$.

${displaystyle {egin {aligned} {oldsymbol {abla}} phi & = {cfrac {částečné phi} {částečné x_ {i}}} ~ mathbf {e} _ {i} = phi _ {, i} ~ mathbf {e } _ {i} {oldsymbol {abla}} mathbf {v} & = {cfrac {částečné (v_ {j} mathbf {e} _ {j})} {částečné x_ {i}}} jiné mathbf {e} _ {i} = {cfrac {částečné v_ {j}} {částečné x_ {i}}} ~ mathbf {e} _ {j} jiné mathbf {e} _ {i} = v_ {j, i} ~ mathbf { e} _ {j} otimes mathbf {e} _ {i} {oldsymbol {abla}} {oldsymbol {S}} & = {cfrac {částečné (S_ {jk} mathbf {e} _ {j} otimes mathbf { e} _ {k})} {částečné x_ {i}}} jiné časy mathbf {e} _ {i} = {cfrac {částečné S_ {jk}} {částečné x_ {i}}} ~ mathbf {e} _ { j} otimes mathbf {e} _ {k} otimes mathbf {e} _ {i} = S_ {jk, i} ~ mathbf {e} _ {j} otimes mathbf {e} _ {k} otimes mathbf {e} _ {i} konec {zarovnáno}}}$

Křivočaré souřadnice

Poznámka: Konvence Einsteinova součtu sčítání na opakovaných indexech se používá níže.

Li ${displaystyle mathbf {g} ^ {1}, mathbf {g} ^ {2}, mathbf {g} ^ {3}}$ jsou protikladný základní vektory v křivočará souřadnice systém se souřadnicemi bodů označených (${displaystyle xi ^ {1}, xi ^ {2}, xi ^ {3}}$), pak gradient tenzorového pole ${displaystyle {oldsymbol {T}}}$ je dáno (viz ^[3] pro důkaz.)

${displaystyle {oldsymbol {abla}} {oldsymbol {T}} = {frac {částečný {oldsymbol {T}}} {částečný xi ^ {i}}} často mathbf {g} ^ {i}}$

Z této definice máme následující vztahy pro přechody skalárního pole ${displaystyle phi}$, vektorové pole protia tenzorové pole druhého řádu ${displaystyle {oldsymbol {S}}}$.

${displaystyle {egin {aligned} {oldsymbol {abla}} phi & = {frac {částečné phi} {částečné xi ^ {i}}} ~ mathbf {g} ^ {i} {oldsymbol {abla}} mathbf {v } & = {frac {částečné vlevo (v ^ {j} mathbf {g} _ {j} ight)} {částečné xi ^ {i}}} jiné mathbf {g} ^ {i} = vlevo ({frac {částečné v ^ {j}} {částečné xi ^ {i}}} + v ^ {k} ~ Gamma _ {ik} ^ {j} ight) ~ mathbf {g} _ {j} často mathbf {g} ^ {i } = vlevo ({frac {částečné v_ {j}} {částečné xi ^ {i}}} - v_ {k} ~ Gamma _ {ij} ^ {k} ight) ~ mathbf {g} ^ {j} často mathbf {g} ^ {i} {oldsymbol {abla}} {oldsymbol {S}} & = {frac {částečně vlevo (S_ {jk} ~ mathbf {g} ^ {j} často mathbf {g} ^ {k} ight)} {částečné xi ^ {i}}} jiné časy mathbf {g} ^ {i} = vlevo ({frac {částečné S_ {jk}} {částečné xi _ {i}}} - S_ {lk} ~ gama _ {ij} ^ {l} -S_ {jl} ~ Gamma _ {ik} ^ {l} ight) ~ mathbf {g} ^ {j} otimes mathbf {g} ^ {k} otimes mathbf {g} ^ {i } konec {zarovnáno}}}$

Kde Christoffelův symbol ${displaystyle Gamma _ {ij} ^ {k}}$ je definován pomocí

${displaystyle Gamma _ {ij} ^ {k} ~ mathbf {g} _ {k} = {frac {částečná mathbf {g} _ {i}} {částečná xi ^ {j}}} quad implikuje quad Gamma _ {ij } ^ {k} = {frac {částečná mathbf {g} _ {i}} {částečná xi ^ {j}}} cdot mathbf {g} ^ {k} = - mathbf {g} _ {i} cdot {frac {částečná mathbf {g} ^ {k}} {částečná xi ^ {j}}}}$

Válcové polární souřadnice

v válcové souřadnice, gradient je dán vztahem

${displaystyle {egin {aligned} {oldsymbol {abla}} phi = {} quad & {frac {částečné phi} {částečné r}} ~ mathbf {e} _ {r} + {frac {1} {r}} ~ {frac {částečné phi} {částečné heta}} ~ mathbf {e} _ {heta} + {frac {částečné phi} {částečné z}} ~ mathbf {e} _ {z} {oldsymbol {abla}} mathbf { v} = {} quad & {frac {částečné v_ {r}} {částečné r}} ~ mathbf {e} _ {r} jiné mathbf {e} _ {r} + {frac {částečné v_ {heta}} { parciální r}} ~ mathbf {e} _ {r} další mathbf {e} _ {heta} + {frac {částečné v_ {z}} {částečné r}} ~ mathbf {e} _ {r} další mathbf {e } _ {z} {} + {} & {frac {1} {r}} vlevo ({frac {částečné v_ {r}} {částečné heta}} - v_ {heta} ight) ~ mathbf {e} _ {heta} otimes mathbf {e} _ {r} + {frac {1} {r}} vlevo ({frac {částečné v_ {heta}} {částečné heta}} + v_ {r} ight) ~ mathbf {e} _ {heta} otimes mathbf {e} _ {heta} + {frac {1} {r}} {frac {částečné v_ {z}} {částečné heta}} ~ mathbf {e} _ {heta} další mathbf {e } _ {z} {} + {} & {frac {částečné v_ {r}} {částečné z}} ~ mathbf {e} _ {z} ostatní mathbf {e} _ {r} + {frac {částečné v_ {heta}} {částečné z}} ~ mathbf {e} _ {z} jiné mathbf {e} _ {heta} + {fr ac {parciální v_ {z}} {částečné z}} ~ mathbf {e} _ {z} jiné mathbf {e} _ {z} {oldsymbol {abla}} {oldsymbol {S}} = {} quad & { frac {částečné S_ {rr}} {částečné r}} ~ mathbf {e} _ {r} jiné mathbf {e} _ {r} jiné mathbf {e} _ {r} + {frac {částečné S_ {rr}} {částečné z}} ~ mathbf {e} _ {r} další mathbf {e} _ {r} další mathbf {e} _ {z} + {frac {1} {r}} vlevo [{frac {částečné S_ { rr}} {částečná heta}} - (S_ {heta r} + S_ {r heta}) ight] ~ mathbf {e} _ {r} otimes mathbf {e} _ {r} otimes mathbf {e} _ {heta } {} + {} & {frac {částečné S_ {r heta}} {částečné r}} ~ mathbf {e} _ {r} otimes mathbf {e} _ {heta} otimes mathbf {e} _ {r} + {frac {částečné S_ {r heta}} {částečné z}} ~ mathbf {e} _ {r} otimes mathbf {e} _ {heta} otimes mathbf {e} _ {z} + {frac {1} { r}} vlevo [{frac {částečné S_ {r heta}} {částečné heta}} + (S_ {rr} -S_ {heta heta}) ight] ~ mathbf {e} _ {r} často mathbf {e} _ {heta} otimes mathbf {e} _ {heta} {} + {} & {frac {částečné S_ {rz}} {částečné r}} ~ mathbf {e} _ {r} další mathbf {e} _ {z } otimes mathbf {e} _ {r} + {frac {částečné S_ {rz}} {částečné z}} ~ mathbf {e} _ {r} otimes math bf {e} _ {z} otimes mathbf {e} _ {z} + {frac {1} {r}} vlevo [{frac {částečné S_ {rz}} {částečné heta}} - S_ {heta z} ight ] ~ mathbf {e} _ {r} další mathbf {e} _ {z} další mathbf {e} _ {heta} {} + {} & {frac {částečné S_ {heta r}} {částečné r}} ~ mathbf {e} _ {heta} další mathbf {e} _ {r} další mathbf {e} _ {r} + {frac {částečné S_ {heta r}} {částečné z}} ~ mathbf {e} _ { heta} otimes mathbf {e} _ {r} otimes mathbf {e} _ {z} + {frac {1} {r}} vlevo [{frac {částečné S_ {heta r}} {částečné heta}} + (S_ {rr} -S_ {heta heta}) ight] ~ mathbf {e} _ {heta} otimes mathbf {e} _ {r} otimes mathbf {e} _ {heta} {} + {} & {frac {částečné S_ {heta heta}} {částečné r}} ~ mathbf {e} _ {heta} další mathbf {e} _ {heta} další mathbf {e} _ {r} + {frac {částečné S_ {heta heta}} { částečné z}} ~ mathbf {e} _ {heta} další mathbf {e} _ {heta} další mathbf {e} _ {z} + {frac {1} {r}} vlevo [{frac {částečné S_ {heta heta}} {částečná heta}} + (S_ {r heta} + S_ {heta r}) ight] ~ mathbf {e} _ {heta} otimes mathbf {e} _ {heta} otimes mathbf {e} _ {heta } {} + {} & {frac {částečné S_ {heta z}} {pa rtial r}} ~ mathbf {e} _ {heta} další mathbf {e} _ {z} další mathbf {e} _ {r} + {frac {částečné S_ {heta z}} {částečné z}} ~ mathbf { e} _ {heta} otimes mathbf {e} _ {z} otimes mathbf {e} _ {z} + {frac {1} {r}} vlevo [{frac {částečné S_ {heta z}} {částečné heta} } + S_ {rz} ight] ~ mathbf {e} _ {heta} otimes mathbf {e} _ {z} otimes mathbf {e} _ {heta} {} + {} & {frac {částečné S_ {zr} } {částečné r}} ~ mathbf {e} _ {z} další mathbf {e} _ {r} další mathbf {e} _ {r} + {frac {částečné S_ {zr}} {částečné z}} ~ mathbf {e} _ {z} otimes mathbf {e} _ {r} otimes mathbf {e} _ {z} + {frac {1} {r}} vlevo [{frac {částečné S_ {zr}} {částečné heta} } -S_ {z heta} ight] ~ mathbf {e} _ {z} otimes mathbf {e} _ {r} otimes mathbf {e} _ {heta} {} + {} & {frac {částečné S_ {z heta}} {částečné r}} ~ mathbf {e} _ {z} další mathbf {e} _ {heta} další mathbf {e} _ {r} + {frac {částečné S_ {z heta}} {částečné z} } ~ mathbf {e} _ {z} otimes mathbf {e} _ {heta} otimes mathbf {e} _ {z} + {frac {1} {r}} vlevo [{frac {částečné S_ {z heta}} {partial heta}} + S_ {zr} ight] ~ mathbf {e} _ {z} další mathbf {e} _ {heta} další mathbf {e} _ {heta} {} + {} & {frac {částečné S_ {zz}} {částečné r}} ~ mathbf {e} _ {z} otimes mathbf {e} _ {z} otimes mathbf { e} _ {r} + {frac {částečný S_ {zz}} {částečný z}} ~ mathbf {e} _ {z} otimes mathbf {e} _ {z} otimes mathbf {e} _ {z} + { frac {1} {r}} ~ {frac {částečné S_ {zz}} {částečné heta}} ~ mathbf {e} _ {z} otimes mathbf {e} _ {z} otimes mathbf {e} _ {heta} konec {zarovnáno}}}$

Divergence tenzorového pole

The divergence tenzorového pole ${displaystyle {oldsymbol {T}} (mathbf {x})}$ je definován pomocí rekurzivního vztahu

${displaystyle ({oldsymbol {abla}} cdot {oldsymbol {T}}) cdot mathbf {c} = {oldsymbol {abla}} cdot left (mathbf {c} cdot {oldsymbol {T}} ^ {extsf {T}} ight) ~; qquad {oldsymbol {abla}} cdot mathbf {v} = {ext {tr}} ({oldsymbol {abla}} mathbf {v})}$

kde C je libovolný konstantní vektor a proti je vektorové pole. Li ${displaystyle {oldsymbol {T}}}$ je tenzorové pole objednávky n > 1 pak je divergence pole tenzorem řádu n− 1.

Kartézské souřadnice

Poznámka: Konvence Einsteinova součtu sčítání na opakovaných indexech se používá níže.

V kartézském souřadnicovém systému máme následující vztahy pro vektorové pole proti a tenzorové pole druhého řádu ${displaystyle {oldsymbol {S}}}$.

${displaystyle {egin {aligned} {oldsymbol {abla}} cdot mathbf {v} & = {frac {částečné v_ {i}} {částečné x_ {i}}} = v_ {i, i} {oldsymbol {abla} } cdot {oldsymbol {S}} & = {frac {částečný S_ {ki}} {částečný x_ {k}}} ~ mathbf {e} _ {i} = S_ {ki, k} ~ mathbf {e} _ { i} konec {zarovnáno}}}$

kde notace tenzorového indexu pro parciální derivace se používá ve výrazech zcela vpravo. Poslední relaci najdete v odkazu ^[4] podle vztahu (1.14.13).

Podle stejného článku v případě tenzorového pole druhého řádu:

${displaystyle {oldsymbol {abla}} cdot {oldsymbol {S}} eq operatorname {div} {oldsymbol {S}} = {oldsymbol {abla}} cdot {oldsymbol {S}} ^ {extsf {T}}.}$

Důležité je, že existují další písemné konvence pro divergenci tenzoru druhého řádu. Například v kartézském souřadnicovém systému lze divergenci tenzoru druhé řady také zapsat jako^[5]

${displaystyle {egin {aligned} {oldsymbol {abla}} cdot {oldsymbol {S}} & = {cfrac {částečné S_ {ki}} {částečné x_ {i}}} ~ mathbf {e} _ {k} = S_ {ki, i} ~ mathbf {e} _ {k} konec {zarovnáno}}}$

Rozdíl vychází z toho, zda se diferenciace provádí s ohledem na řádky nebo sloupce ${displaystyle {oldsymbol {S}}}$a je konvenční. To je ukázáno na příkladu. V kartézském souřadnicovém systému je tenzor druhého řádu (matice) ${displaystyle mathbf {S}}$ je přechod vektorové funkce ${displaystyle mathbf {v}}$.

${displaystyle {egin {aligned} {oldsymbol {abla}} cdot left ({oldsymbol {abla}} mathbf {v} ight) & = {oldsymbol {abla}} cdot left (v_ {i, j} ~ mathbf {e} _ {i} otimes mathbf {e} _ {j} ight) = v_ {i, ji} ~ mathbf {e} _ {i} cdot mathbf {e} _ {i} otimes mathbf {e} _ {j} = left ({oldsymbol {abla}} cdot mathbf {v} ight) _ {, j} ~ mathbf {e} _ {j} = {oldsymbol {abla}} left ({oldsymbol {abla}} cdot mathbf {v} ight ) {oldsymbol {abla}} cdot left [left ({oldsymbol {abla}} mathbf {v} ight) ^ {extsf {T}} ight] & = {oldsymbol {abla}} cdot left (v_ {j, i } ~ mathbf {e} _ {i} otimes mathbf {e} _ {j} ight) = v_ {j, ii} ~ mathbf {e} _ {i} cdot mathbf {e} _ {i} otimes mathbf {e } _ {j} = {oldsymbol {abla}} ^ {2} v_ {j} ~ mathbf {e} _ {j} = {oldsymbol {abla}} ^ {2} mathbf {v} konec {zarovnáno}}}$

Poslední rovnice je ekvivalentní alternativní definici / interpretaci^[5]

${displaystyle {egin {aligned} left ({oldsymbol {abla}} cdot ight) _ {ext {alt}} left ({oldsymbol {abla}} mathbf {v} ight) = left ({oldsymbol {abla}} cdot ight ) _ {ext {alt}} vlevo (v_ {i, j} ~ mathbf {e} _ {i} další mathbf {e} _ {j} ight) = v_ {i, jj} ~ mathbf {e} _ { i} otimes mathbf {e} _ {j} cdot mathbf {e} _ {j} = {oldsymbol {abla}} ^ {2} v_ {i} ~ mathbf {e} _ {i} = {oldsymbol {abla} } ^ {2} mathbf {v} konec {zarovnáno}}}$

Křivočaré souřadnice

Poznámka: Konvence Einsteinova součtu sčítání na opakovaných indexech se používá níže.

V křivočarých souřadnicích jsou divergence vektorového pole proti a tenzorové pole druhého řádu ${displaystyle {oldsymbol {S}}}$ jsou

${displaystyle {egin {aligned} {oldsymbol {abla}} cdot mathbf {v} & = left ({cfrac {částečné v ^ {i}} {částečné xi ^ {i}}} + v ^ {k} ~ Gamma _ {ik} ^ {i} ight) {oldsymbol {abla}} cdot {oldsymbol {S}} & = left ({cfrac {částečné S_ {ik}} {částečné xi _ {i}}} - S_ {lk} ~ Gamma _ {ii} ^ {l} -S_ {il} ~ Gamma _ {ik} ^ {l} ight) ~ mathbf {g} ^ {k} konec {zarovnáno}}}$

Válcové polární souřadnice

v válcové polární souřadnice

${displaystyle {egin {aligned} {oldsymbol {abla}} cdot mathbf {v} = quad & {frac {částečné v_ {r}} {částečné r}} + {frac {1} {r}} vlevo ({frac { částečný v_ {heta}} {částečný heta}} + v_ {r} ight) + {frac {částečný v_ {z}} {částečný z}} {oldsymbol {abla}} cdot {oldsymbol {S}} = čtyřkolka & {frac {částečné S_ {rr}} {částečné r}} ~ mathbf {e} _ {r} + {frac {částečné S_ {r heta}} {částečné r}} ~ mathbf {e} _ {heta} + { frac {částečný S_ {rz}} {částečný r}} ~ mathbf {e} _ {z} {} + {} & {frac {1} {r}} vlevo [{frac {částečný S_ {heta r}} {částečná heta}} + (S_ {rr} -S_ {heta heta}) ight] ~ mathbf {e} _ {r} + {frac {1} {r}} vlevo [{frac {částečná S_ {heta heta} } {částečná heta}} + (S_ {r heta} + S_ {heta r}) ight] ~ mathbf {e} _ {heta} + {frac {1} {r}} vlevo [{frac {částečná S_ {heta z}} {částečná heta}} + S_ {rz} ight] ~ mathbf {e} _ {z} {} + {} & {frac {částečné S_ {zr}} {částečné z}} ~ mathbf {e} _ {r} + {frac {částečné S_ {z heta}} {částečné z}} ~ mathbf {e} _ {heta} + {frac {částečné S_ {zz}} {částečné z}} ~ mathbf {e} _ {z} konec {zarovnáno}}}$

Zvlnění tenzorového pole

The kučera objednávky-n > 1 tenzorové pole ${displaystyle {oldsymbol {T}} (mathbf {x})}$ je také definováno pomocí rekurzivního vztahu

${displaystyle ({oldsymbol {abla}} imes {oldsymbol {T}}) cdot mathbf {c} = {oldsymbol {abla}} imes (mathbf {c} cdot {oldsymbol {T}}) ~; qquad ({oldsymbol { abla}} imes mathbf {v}) cdot mathbf {c} = {oldsymbol {abla}} cdot (mathbf {v} imes mathbf {c})}$

kde C je libovolný konstantní vektor a proti je vektorové pole.

Curl pole tenzoru prvního řádu (vektor)

Zvažte vektorové pole proti a libovolný konstantní vektor C. V indexové notaci je křížový produkt dán vztahem

${displaystyle mathbf {v} imes mathbf {c} = varepsilon _ {ijk} ~ v_ {j} ~ c_ {k} ~ mathbf {e} _ {i}}$

kde ${displaystyle varepsilon _ {ijk}}$ je symbol obměny, jinak známý jako Levi-Civita symbol. Pak,

${displaystyle {oldsymbol {abla}} cdot (mathbf {v} imes mathbf {c}) = varepsilon _ {ijk} ~ v_ {j, i} ~ c_ {k} = (varepsilon _ {ijk} ~ v_ {j, i} ~ mathbf {e} _ {k}) cdot mathbf {c} = ({oldsymbol {abla}} imes mathbf {v}) cdot mathbf {c}}$

Proto,

${displaystyle {oldsymbol {abla}} imes mathbf {v} = varepsilon _ {ijk} ~ v_ {j, i} ~ mathbf {e} _ {k}}$

Zvlnění tenzorového pole druhého řádu

Pro tenzor druhého řádu ${displaystyle {oldsymbol {S}}}$

${displaystyle mathbf {c} cdot {oldsymbol {S}} = c_ {m} ~ S_ {mj} ~ mathbf {e} _ {j}}$

Proto pomocí definice zvlnění tenzorového pole prvního řádu

${displaystyle {oldsymbol {abla}} imes (mathbf {c} cdot {oldsymbol {S}}) = varepsilon _ {ijk} ~ c_ {m} ~ S_ {mj, i} ~ mathbf {e} _ {k} = (varepsilon _ {ijk} ~ S_ {mj, i} ~ mathbf {e} _ {k} otimes mathbf {e} _ {m}) cdot mathbf {c} = ({oldsymbol {abla}} imes {oldsymbol {S }}) cdot mathbf {c}}$

Proto máme

${displaystyle {oldsymbol {abla}} imes {oldsymbol {S}} = varepsilon _ {ijk} ~ S_ {mj, i} ~ mathbf {e} _ {k} otimes mathbf {e} _ {m}}$

Identity zahrnující zvlnění tenzorového pole

Nejčastěji používaná identita zahrnující zvlnění tenzorového pole, ${displaystyle {oldsymbol {T}}}$, je

${displaystyle {oldsymbol {abla}} imes ({oldsymbol {abla}} {oldsymbol {T}}) = {oldsymbol {0}}}$

Tato identita platí pro tenzorová pole všech objednávek. Pro důležitý případ tenzoru druhého řádu, ${displaystyle {oldsymbol {S}}}$, tato identita to naznačuje

${displaystyle {oldsymbol {abla}} imes ({oldsymbol {abla}} {oldsymbol {S}}) = {oldsymbol {0}} quad znamená quad S_ {mi, j} -S_ {mj, i} = 0}$

Derivace determinantu tenzoru druhého řádu

Derivace determinantu tenzoru druhého řádu ${displaystyle {oldsymbol {A}}}$ darováno

${displaystyle {frac {částečné} {částečné {oldsymbol {A}}}} det ({oldsymbol {A}}) = det ({oldsymbol {A}}) ~ vlevo [{oldsymbol {A}} ^ {- 1} ight] ^ {extsf {T}} ~.}$

Na ortonormálním základě jsou komponenty ${displaystyle {oldsymbol {A}}}$ lze zapsat jako matici A. V takovém případě pravá strana odpovídá kofaktorům matice.

Důkaz

Nechat ${displaystyle {oldsymbol {A}}}$ být tenzorem druhého řádu a nechat ${displaystyle f ({oldsymbol {A}}) = det ({oldsymbol {A}})}$. Pak z definice derivace skalární hodnotové funkce tenzoru máme ${displaystyle {egin {aligned} {frac {částečné f} {částečné {oldsymbol {A}}}}: {oldsymbol {T}} & = vlevo. {cfrac {m {d}} {{m {d}} alfa }} det ({oldsymbol {A}} + alpha ~ {oldsymbol {T}}) ight | _ {alpha = 0} & = left. {cfrac {m {d}} {{m {d}} alpha} } det left [alpha ~ {oldsymbol {A}} left ({cfrac {1} {alpha}} ~ {oldsymbol {mathit {I}}} + {oldsymbol {A}} ^ {- 1} cdot {oldsymbol {T }} ight) ight] ight | _ {alpha = 0} & = vlevo. {cfrac {m {d}} {{m {d}} alfa}} vlevo [alfa ^ {3} ~ det ({oldsymbol { A}}) ~ det left ({cfrac {1} {alpha}} ~ {oldsymbol {mathit {I}}} + {oldsymbol {A}} ^ {- 1} cdot {oldsymbol {T}} ight) ight] ight | _ {alpha = 0} .end {aligned}}}$ Determinant tenzoru lze vyjádřit ve formě charakteristické rovnice, pokud jde o invarianty ${displaystyle I_ {1}, I_ {2}, I_ {3}}$ použitím ${displaystyle det (lambda ~ {oldsymbol {mathit {I}}} + {oldsymbol {A}}) = lambda ^ {3} + I_ {1} ({oldsymbol {A}}) ~ lambda ^ {2} + I_ {2} ({oldsymbol {A}}) ~ lambda + I_ {3} ({oldsymbol {A}}).}$ Pomocí této expanze můžeme psát ${displaystyle {egin {aligned} {frac {částečné f} {částečné {oldsymbol {A}}}}: {oldsymbol {T}} & = vlevo. {cfrac {m {d}} {{m {d}} alfa }} left [alpha ^ {3} ~ det ({oldsymbol {A}}) ~ left ({cfrac {1} {alpha ^ {3}}} + I_ {1} left ({oldsymbol {A}} ^ { -1} cdot {oldsymbol {T}} ight) ~ {cfrac {1} {alpha ^ {2}}} + I_ {2} vlevo ({oldsymbol {A}} ^ {- 1} cdot {oldsymbol {T} } ight) ~ {cfrac {1} {alpha}} + I_ {3} vlevo ({oldsymbol {A}} ^ {- 1} cdot {oldsymbol {T}} ight) ight) ight] ight | _ {alpha = 0} & = left.det ({oldsymbol {A}}) ~ {cfrac {m {d}} {{m {d}} alpha}} vlevo [1 + I_ {1} vlevo ({oldsymbol {A} } ^ {- 1} cdot {oldsymbol {T}} ight) ~ alpha + I_ {2} vlevo ({oldsymbol {A}} ^ {- 1} cdot {oldsymbol {T}} ight) ~ alpha ^ {2} + I_ {3} left ({oldsymbol {A}} ^ {- 1} cdot {oldsymbol {T}} ight) ~ alpha ^ {3} ight] ight | _ {alpha = 0} & = left.det ( {oldsymbol {A}}) ~ left [I_ {1} ({oldsymbol {A}} ^ {- 1} cdot {oldsymbol {T}}) + 2 ~ I_ {2} left ({oldsymbol {A}} ^ {-1} cdot {oldsymbol {T}} ight) ~ alpha + 3 ~ I_ {3} vlevo ({oldsymbol {A}} ^ {- 1} cdot {oldsymbol {T}} ight) ~ alpha ^ {2} ight] ight | _ {alpha = 0} & = det ({oldsymbol {A}}) ~ I_ {1} left ({oldsymbol {A}} ^ {- 1} cdot {oldsymbol {T}} ight) ~ .end {aligned}}}$ Připomeňme, že invariant ${displaystyle I_ {1}}$ darováno ${displaystyle I_ {1} ({oldsymbol {A}}) = {ext {tr}} {oldsymbol {A}}.}$ Proto, ${displaystyle {frac {částečné f} {částečné {oldsymbol {A}}}}: {oldsymbol {T}} = det ({oldsymbol {A}}) ~ {ext {tr}} vlevo ({oldsymbol {A}} ^ {- 1} cdot {oldsymbol {T}} ight) = det ({oldsymbol {A}}) ~ vlevo [{oldsymbol {A}} ^ {- 1} ight] ^ {extsf {T}}: {oldsymbol {T}}.}$ S odvoláním na svévole ${displaystyle {oldsymbol {T}}}$ pak máme ${displaystyle {frac {částečné f} {částečné {oldsymbol {A}}}} = det ({oldsymbol {A}}) ~ left [{oldsymbol {A}} ^ {- 1} ight] ^ {extsf {T} } ~.}$

Deriváty invariantů tenzoru druhého řádu

Hlavní invarianty tenzoru druhého řádu jsou

${displaystyle {egin {aligned} I_ {1} ({oldsymbol {A}}) & = {ext {tr}} {oldsymbol {A}} I_ {2} ({oldsymbol {A}}) & = {frac {1} {2}} vlevo [({ext {tr}} {oldsymbol {A}}) ^ {2} - {ext {tr}} {{oldsymbol {A}} ^ {2}} vpravo] I_ {3} ({oldsymbol {A}}) & = det ({oldsymbol {A}}) konec {zarovnáno}}}$

Deriváty těchto tří invarianty s ohledem na ${displaystyle {oldsymbol {A}}}$ jsou

${displaystyle {egin {aligned} {frac {částečné I_ {1}} {částečné {oldsymbol {A}}}} & = {oldsymbol {mathit {1}}} [3pt] {frac {částečné I_ {2}} {částečné {oldsymbol {A}}}} & = I_ {1} ~ {oldsymbol {mathit {1}}} - {oldsymbol {A}} ^ {extsf {T}} [3pt] {frac {částečné I_ { 3}} {částečný {oldsymbol {A}}}} & = det ({oldsymbol {A}}) ~ left [{oldsymbol {A}} ^ {- 1} ight] ^ {extsf {T}} = I_ { 2} ~ {oldsymbol {mathit {1}}} - {oldsymbol {A}} ^ {extsf {T}} ~ vlevo (I_ {1} ~ {oldsymbol {mathit {1}}} - {oldsymbol {A}} ^ {extsf {T}} ight) = left ({oldsymbol {A}} ^ {2} -I_ {1} ~ {oldsymbol {A}} + I_ {2} ~ {oldsymbol {mathit {1}}} večer ) ^ {extsf {T}} konec {zarovnáno}}}$

Důkaz

Z derivátu determinantu to víme ${displaystyle {frac {částečné I_ {3}} {částečné {oldsymbol {A}}}} = det ({oldsymbol {A}}) ~ vlevo [{oldsymbol {A}} ^ {- 1} včas] ^ {extsf {T}} ~.}$ U derivací dalších dvou invariantů se vraťme zpět k charakteristické rovnici ${displaystyle det (lambda ~ {oldsymbol {mathit {1}}} + {oldsymbol {A}}) = lambda ^ {3} + I_ {1} ({oldsymbol {A}}) ~ lambda ^ {2} + I_ {2} ({oldsymbol {A}}) ~ lambda + I_ {3} ({oldsymbol {A}}) ~.}$ Stejným přístupem jako u determinantu tenzoru to můžeme ukázat ${displaystyle {frac {částečné} {částečné {oldsymbol {A}}}} det (lambda ~ {oldsymbol {mathit {1}}} + {oldsymbol {A}}) = det (lambda ~ {oldsymbol {mathit {1} }} + {oldsymbol {A}}) ~ left [(lambda ~ {oldsymbol {mathit {1}}} + {oldsymbol {A}}) ^ {- 1} ight] ^ {extsf {T}} ~.}$ Nyní lze levou stranu rozšířit jako ${displaystyle {egin {aligned} {frac {částečný} {částečný {oldsymbol {A}}}} det (lambda ~ {oldsymbol {mathit {1}}} + {oldsymbol {A}}) & = {frac {částečný} {částečný {oldsymbol {A}}}} vlevo [lambda ^ {3} + I_ {1} ({oldsymbol {A}}) ~ lambda ^ {2} + I_ {2} ({oldsymbol {A}}) ~ lambda + I_ {3} ({oldsymbol {A}}) ight] & = {frac {částečný I_ {1}} {částečný {oldsymbol {A}}}} ~ lambda ^ {2} + {frac {částečný I_ {2}} {částečný {oldsymbol {A}}}} ~ lambda + {frac {částečný I_ {3}} {částečný {oldsymbol {A}}}} ~ .end {zarovnaný}}}$ Proto ${displaystyle {frac {částečný I_ {1}} {částečný {oldsymbol {A}}}} ~ lambda ^ {2} + {frac {částečný I_ {2}} {částečný {oldsymbol {A}}}} ~ lambda + {frac {částečný I_ {3}} {částečný {oldsymbol {A}}}} = det (lambda ~ {oldsymbol {mathit {1}}} + {oldsymbol {A}}) ~ vlevo [(lambda ~ {oldsymbol { mathit {1}}} + {oldsymbol {A}}) ^ {- 1} ight] ^ {extsf {T}}}$ nebo, ${displaystyle (lambda ~ {oldsymbol {mathit {1}}} + {oldsymbol {A}}) ^ {extsf {T}} cdot left [{frac {částečný I_ {1}} {částečný {oldsymbol {A}}} } ~ lambda ^ {2} + {frac {částečný I_ {2}} {částečný {oldsymbol {A}}}} ~ lambda + {frac {částečný I_ {3}} {částečný {oldsymbol {A}}}} večer ] = det (lambda ~ {oldsymbol {mathit {1}}} + {oldsymbol {A}}) ~ {oldsymbol {mathit {1}}} ~.}$ Rozšíření pravé strany a oddělení výrazů na levé straně dává ${displaystyle left (lambda ~ {oldsymbol {mathit {1}}} + {oldsymbol {A}} ^ {extsf {T}} ight) cdot left [{frac {částečné I_ {1}} {částečné {oldsymbol {A} }}} ~ lambda ^ {2} + {frac {částečný I_ {2}} {částečný {oldsymbol {A}}}} ~ lambda + {frac {částečný I_ {3}} {částečný {oldsymbol {A}}} } ight] = vlevo [lambda ^ {3} + I_ {1} ~ lambda ^ {2} + I_ {2} ~ lambda + I_ {3} ight] {oldsymbol {mathit {1}}}}$ nebo, ${displaystyle {egin {aligned} left [{frac {částečné I_ {1}} {částečné {oldsymbol {A}}}} ~ lambda ^ {3} vpravo. & left. + {frac {částečné I_ {2}} {částečné {oldsymbol {A}}}} ~ lambda ^ {2} + {frac {částečné I_ {3}} {částečné {oldsymbol {A}}}} ~ lambda ight] {oldsymbol {mathit {1}}} + {oldsymbol {A}} ^ {extsf {T}} cdot {frac {částečné I_ {1}} {částečné {oldsymbol {A}}}} ~ lambda ^ {2} + {oldsymbol {A}} ^ {extsf {T} } cdot {frac {částečný I_ {2}} {částečný {oldsymbol {A}}}} ~ lambda + {oldsymbol {A}} ^ {extsf {T}} cdot {frac {částečný I_ {3}} {částečný { oldsymbol {A}}}}&=left[lambda ^{3}+I_{1}~lambda ^{2}+I_{2}~lambda +I_{3}ight]{ oldsymbol {mathit {1}} }~.end{aligned}}}$ Pokud definujeme ${displaystyle I_{0}:=1}$ a ${displaystyle I_{4}:=0}$, we can write the above as ${displaystyle { egin{aligned}left[{frac {partial I_{1}}{partial { oldsymbol {A}}}}~lambda ^{3}ight.&left.+{frac {partial I_{2}}{partial { oldsymbol {A}}}}~lambda ^{2}+{frac {partial I_{3}}{partial { oldsymbol {A}}}}~lambda +{frac {partial I_{4}}{partial { oldsymbol {A}}}}ight]{ oldsymbol {mathit {1}}}+{ oldsymbol {A}}^{ extsf {T}}cdot {frac {partial I_{0}}{partial { oldsymbol {A}}}}~lambda ^{3}+{ oldsymbol {A}}^{ extsf {T}}cdot {frac {partial I_{1}}{partial { oldsymbol {A}}}}~lambda ^{2}+{ oldsymbol {A}}^{ extsf {T}}cdot {frac {partial I_{2}}{partial { oldsymbol {A}}}}~lambda +{ oldsymbol {A}}^{ extsf {T}}cdot {frac {partial I_{3}}{partial { oldsymbol {A}}}}&=left[I_{0}~lambda ^{3}+I_{1}~lambda ^{2}+I_{2}~lambda +I_{3}ight]{ oldsymbol {mathit {1}}}~.end{aligned}}}$ Collecting terms containing various powers of λ, we get ${displaystyle { egin{aligned}lambda ^{3}&left(I_{0}~{ oldsymbol {mathit {1}}}-{frac {partial I_{1}}{partial { oldsymbol {A}}}}~{ oldsymbol {mathit {1}}}-{ oldsymbol {A}}^{ extsf {T}}cdot {frac {partial I_{0}}{partial { oldsymbol {A}}}}ight)+lambda ^{2}left(I_{1}~{ oldsymbol {mathit {1}}}-{frac {partial I_{2}}{partial { oldsymbol {A}}}}~{ oldsymbol {mathit {1}}}-{ oldsymbol {A}}^{ extsf {T}}cdot {frac {partial I_{1}}{partial { oldsymbol {A}}}}ight)+&qquad qquad lambda left(I_{2}~{ oldsymbol {mathit {1}}}-{frac {partial I_{3}}{partial { oldsymbol {A}}}}~{ oldsymbol {mathit {1}}}-{ oldsymbol {A}}^{ extsf {T}}cdot {frac {partial I_{2}}{partial { oldsymbol {A}}}}ight)+left(I_{3}~{ oldsymbol {mathit {1}}}-{frac {partial I_{4}}{partial { oldsymbol {A}}}}~{ oldsymbol {mathit {1}}}-{ oldsymbol {A}}^{ extsf {T}}cdot {frac {partial I_{3}}{partial { oldsymbol {A}}}}ight)=0~.end{aligned}}}$ Then, invoking the arbitrariness of λ, we have ${displaystyle { egin{aligned}I_{0}~{ oldsymbol {mathit {1}}}-{frac {partial I_{1}}{partial { oldsymbol {A}}}}~{ oldsymbol {mathit {1}}}-{ oldsymbol {A}}^{ extsf {T}}cdot {frac {partial I_{0}}{partial { oldsymbol {A}}}}&=0I_{1}~{ oldsymbol {mathit {1}}}-{frac {partial I_{2}}{partial { oldsymbol {A}}}}~{ oldsymbol {mathit {1}}}-I_{2}~{ oldsymbol {mathit {1}}}-{frac {partial I_{3}}{partial { oldsymbol {A}}}}~{ oldsymbol {mathit {1}}}-{ oldsymbol {A}}^{ extsf {T}}cdot {frac {partial I_{2}}{partial { oldsymbol {A}}}}&=0I_{3}~{ oldsymbol {mathit {1}}}-{frac {partial I_{4}}{partial { oldsymbol {A}}}}~{ oldsymbol {mathit {1}}}-{ oldsymbol {A}}^{ extsf {T}}cdot {frac {partial I_{3}}{partial { oldsymbol {A}}}}&=0~.end{aligned}}}$ To z toho vyplývá ${displaystyle { egin{aligned}{frac {partial I_{1}}{partial { oldsymbol {A}}}}&={ oldsymbol {mathit {1}}}{frac {partial I_{2}}{partial { oldsymbol {A}}}}&=I_{1}~{ oldsymbol {mathit {1}}}-{ oldsymbol {A}}^{ extsf {T}}{frac {partial I_{3}}{partial { oldsymbol {A}}}}&=I_{2}~{ oldsymbol {mathit {1}}}-{ oldsymbol {A}}^{ extsf {T}}~left(I_{1}~{ oldsymbol {mathit {1}}}-{ oldsymbol {A}}^{ extsf {T}}ight)=left({ oldsymbol {A}}^{2}-I_{1}~{ oldsymbol {A}}+I_{2}~{ oldsymbol {mathit {1}}}ight)^{ extsf {T}}end{aligned}}}$