Tečný vektor - Tangent vector

Obecnější - ale mnohem techničtější - zpracování tečných vektorů viz tečný prostor.

v matematika, a tečný vektor je vektor to je tečna do a křivka nebo povrch v daném bodě. Tečné vektory jsou popsány v diferenciální geometrie křivek v kontextu křivek v Rⁿ. Obecněji řečeno, tečné vektory jsou prvky a tečný prostor a diferencovatelné potrubí. Tangenciální vektory lze také popsat pomocí bakterie. Formálně tečný vektor v bodě ${ displaystyle x}$ je lineární derivace algebry definované množinou zárodků v ${ displaystyle x}$.

Motivace

Než přistoupíme k obecné definici vektoru tečny, probereme jeho použití v počet a jeho tenzor vlastnosti.

Počet

Nechat ${ displaystyle mathbf {r} (t)}$ být parametrický hladká křivka. Tečný vektor je dán vztahem ${ displaystyle mathbf {r} ^ { prime} (t)}$, kde jsme místo obvyklé tečky použili prvočíslo k označení diferenciace vzhledem k parametru t.^[1] Jednotkový tangensový vektor je dán vztahem

${ displaystyle mathbf {T} (t) = { frac { mathbf {r} ^ { prime} (t)} {| mathbf {r} ^ { prime} (t) |}} , .}$

Příklad

Vzhledem ke křivce

${ displaystyle mathbf {r} (t) = {(1 + t ^ {2}, e ^ {2t}, cos {t}) | t in mathbb {R} }}$

v ${ displaystyle mathbb {R} ^ {3}}$, jednotkový tečný vektor v ${ displaystyle t = 0}$ darováno

${ displaystyle mathbf {T} (0) = { frac { mathbf {r} ^ { prime} (0)} { | mathbf {r} ^ { prime} (0) |}} = left. { frac {(2t, 2e ^ {2t}, - sin {t})} { sqrt {4t ^ {2} + 4e ^ {4t} + sin ^ {2} {t }}}} doprava | _ {t = 0} = (0,1,0) ,.}$

Rozporuplnost

Li ${ displaystyle mathbf {r} (t)}$ je parametricky uveden v n-rozměrný souřadnicový systém Xⁱ (zde jsme místo obvyklého dolního indexu použili index jako index) od ${ displaystyle mathbf {r} (t) = (x ^ {1} (t), x ^ {2} (t), ldots, x ^ {n} (t))}$ nebo

${ displaystyle mathbf {r} = x ^ {i} = x ^ {i} (t), quad a leq t leq b ,,}$

potom tečné vektorové pole ${ displaystyle mathbf {T} = T ^ {i}}$ darováno

${ displaystyle T ^ {i} = { frac {dx ^ {i}} {dt}} ,.}$

Pod změnou souřadnic

${ displaystyle u ^ {i} = u ^ {i} (x ^ {1}, x ^ {2}, ldots, x ^ {n}), quad 1 leq i leq n}$

tečný vektor ${ displaystyle { bar { mathbf {T}}} = { bar {T}} ^ {i}}$ v uⁱ-koordinovaný systém je dán

${ displaystyle { bar {T}} ^ {i} = { frac {du ^ {i}} {dt}} = { frac { částečný u ^ {i}} { částečný x ^ {s} }} { frac {dx ^ {s}} {dt}} = T ^ {s} { frac { částečné u ^ {i}} { částečné x ^ {s}}}}$

kde jsme použili Konvence Einsteinova součtu. Proto se tečný vektor hladké křivky transformuje jako a protikladný tenzor řádu jedna při změně souřadnic.^[2]

Definice

Nechat ${ displaystyle f: mathbb {R} ^ {n} rightarrow mathbb {R}}$ být rozlišitelnou funkcí a nechat ${ displaystyle mathbf {v}}$ být vektorem v ${ displaystyle mathbb {R} ^ {n}}$. Definujeme směrovou derivaci v ${ displaystyle mathbf {v}}$ směr v bodě ${ displaystyle mathbf {x} in mathbb {R} ^ {n}}$ podle

${ displaystyle D _ { mathbf {v}} f ( mathbf {x}) = vlevo. { frac {d} {dt}} f ( mathbf {x} + t mathbf {v}) vpravo | _ {t = 0} = sum _ {i = 1} ^ {n} v_ {i} { frac { parciální f} { parciální x_ {i}}} ( mathbf {x}) , .}$

Tečný vektor v bodě ${ displaystyle mathbf {x}}$ pak mohou být definovány^[3] tak jako

${ displaystyle mathbf {v} (f ( mathbf {x})) equiv (D _ { mathbf {v}} (f)) ( mathbf {x}) ,.}$

Vlastnosti

Nechat ${ displaystyle f, g: mathbb {R} ^ {n} rightarrow mathbb {R}}$ být rozlišitelné funkce, ať ${ displaystyle mathbf {v}, mathbf {w}}$ být tečnými vektory v ${ displaystyle mathbb {R} ^ {n}}$ na ${ displaystyle mathbf {x} in mathbb {R} ^ {n}}$a nechte ${ displaystyle a, b in mathbb {R}}$. Pak

1. ${ displaystyle (a mathbf {v} + b mathbf {w}) (f) = a mathbf {v} (f) + b mathbf {w} (f)}$
2. ${ displaystyle mathbf {v} (af + bg) = a mathbf {v} (f) + b mathbf {v} (g)}$
3. ${ displaystyle mathbf {v} (fg) = f ( mathbf {x}) mathbf {v} (g) + g ( mathbf {x}) mathbf {v} (f) ,.}$.

Tečný vektor na potrubích

Nechat ${ displaystyle M}$ být diferencovatelné potrubí a nechat ${ displaystyle A (M)}$ být algebrou reálných hodnotných diferencovatelných funkcí ${ displaystyle M}$. Potom tečný vektor do ${ displaystyle M}$ v určitém okamžiku ${ displaystyle x}$ v potrubí je dáno derivace ${ displaystyle D_ {v}: A (M) rightarrow mathbb {R}}$ který musí být lineární - tj. pro jakýkoli ${ displaystyle f, g v A (M)}$ a ${ displaystyle a, b in mathbb {R}}$ my máme

${ displaystyle D_ {v} (af + bg) = aD_ {v} (f) + bD_ {v} (g) ,.}$

Všimněte si, že odvození bude mít podle definice vlastnost Leibniz

${ displaystyle D_ {v} (f cdot g) (x) = D_ {v} (f) (x) cdot g (x) + f (x) cdot D_ {v} (g) (x) ,.}$

Reference

Bibliografie

• Gray, Alfred (1993), Moderní diferenciální geometrie křivek a povrchů„Boca Raton: CRC Press.
• Stewart, James (2001), Calculus: Concepts and Contexts, Austrálie: Thomson / Brooks / Cole.
• Kay, David (1988), Schaumsův nástin teorie a problémů tenzorového počtu, New York: McGraw-Hill.