Neumannova okrajová podmínka - Neumann boundary condition
v matematika, Neumann (nebo druhého typu) okrajová podmínka je typ okrajová podmínka, pojmenoval podle Carl Neumann.[1]Při uložení na obyčejný nebo a parciální diferenciální rovnice, podmínka určuje hodnoty, ve kterých derivát řešení je aplikováno v rámci hranice z doména.
Problém lze popsat pomocí dalších okrajových podmínek: a Dirichletova okrajová podmínka specifikuje hodnoty samotného řešení (na rozdíl od jeho derivace) na hranici, zatímco Cauchyho okrajová podmínka, smíšená okrajová podmínka a Okrajová podmínka Robin jsou různé typy kombinací okrajových podmínek Neumann a Dirichlet.
Příklady
ÓDA
Například pro běžnou diferenciální rovnici
okrajové podmínky Neumanna na intervalu [A,b] mít formu
kde α a β jsou uvedena čísla.
PDE
Například pro parciální diferenciální rovnici
kde ∇2 označuje Operátor Laplace, okrajové podmínky Neumanna na doméně Ω ⊂ ℝn mít formu
kde n označuje (obvykle exteriér) normální do hranice ∂Ω, a F je dané skalární funkce.
The normální derivace, který se zobrazuje na levé straně, je definován jako
kde ∇y(X) představuje spád vektor y(X), n̂ je jednotka normální a ⋅ představuje vnitřní produkt operátor.
Je zřejmé, že hranice musí být dostatečně plynulá, aby mohla existovat normální derivace, protože například v rohových bodech hranice není normální vektor dobře definován.
Aplikace
Následující aplikace zahrnují použití okrajových podmínek Neumanna:
- v termodynamika, předepsaný tepelný tok z povrchu by sloužil jako okrajová podmínka. Například dokonalý izolátor by neměl žádný tok, zatímco elektrická součást by se mohla rozptýlit známým výkonem.
- v magnetostatika, magnetické pole intenzitu lze předepsat jako okrajovou podmínku k nalezení hustota magnetického toku distribuce v magnetickém poli v prostoru, například v motoru s permanentním magnetem. Protože problémy v magnetostatice zahrnují řešení Laplaceova rovnice nebo Poissonova rovnice pro magnetický skalární potenciál, okrajová podmínka je Neumannova podmínka.
Viz také
Reference
- ^ Cheng, A. H.-D .; Cheng, D. T. (2005). "Dědictví a rané dějiny metody hraničních prvků". Inženýrská analýza s hraničními prvky. 29 (3): 268. doi:10.1016 / j.enganabound.2004.12.001.