Kvantový operátor
Část a série na |
Kvantová mechanika |
---|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Tento článek se týká otáčení operátor, jak je uvedeno v kvantová mechanika.
Kvantové mechanické rotace
S každou fyzickou rotací , postulujeme operátor kvantové mechanické rotace který otáčí kvantově mechanické stavy.
Pokud jde o generátory rotace,
kde je osa otáčení a je moment hybnosti.
Operátor překladu
The otáčení operátor , s prvním argumentem označující rotaci osa a druhý úhel natočení, může pracovat přes překladatel pro nekonečně malé rotace, jak je vysvětleno níže. Z tohoto důvodu se nejprve ukazuje, jak operátor translace působí na částici v poloze x (částice je pak v Stát podle Kvantová mechanika ).
Překlad částice v poloze do polohy :
Protože překlad 0 nemění polohu částice, máme (1 znamená operátor identity, který nedělá nic):
Taylor vývoj dává:
s
Z toho vyplývá:
Tohle je diferenciální rovnice s řešením
Dále předpokládejme, že Hamiltonian je nezávislý na pozice. Protože operátor překladu lze psát ve smyslu , a , víme, že Tento výsledek znamená, že lineární hybnost protože systém je zachován.
Ve vztahu k orbitální momentu hybnosti
Klasicky máme pro moment hybnosti To je stejné v kvantová mechanika s ohledem na a jako operátoři. Klasicky, nekonečně malá rotace vektoru o -osi do odcházející beze změny lze vyjádřit následujícími nekonečně malými překlady (pomocí Taylorova aproximace ):
Z toho vyplývá pro státy:
A následně:
Použitím
shora s a Taylorova expanze dostaneme:
s the - složka momentu hybnosti podle klasiky křížový produkt.
Chcete-li získat rotaci úhlu , sestrojíme následující diferenciální rovnici pomocí podmínky :
Podobně jako u operátoru překladu, pokud máme Hamiltonian které rotačně symetrické kolem -osa, naznačuje . Tento výsledek znamená, že moment hybnosti je zachován.
Pro moment hybnosti rotace kolem -osi, kterou právě vyměníme s a dostaneme roztočit operátor rotace
Vliv na operátor spinu a kvantové stavy
Operátory mohou zastupovat matice. Z lineární algebra jeden ví, že určitá matice mohou být zastoupeny v jiném základ transformací
kde je základní transformační matice. Pokud vektory resp jsou osa z v jednom respektive druhém, jsou kolmé k ose y s určitým úhlem mezi nimi. Operátor odstřeďování na prvním základě lze potom transformovat na operátor odstřeďování druhého základu prostřednictvím následující transformace:
Ze standardní kvantové mechaniky máme známé výsledky a kde a jsou nejlepší zatočení v odpovídajících základnách. Takže máme:
Srovnání s výnosy .
To znamená, že pokud stát se otáčí kolem -osa pod úhlem , stává se státem , výsledek, který lze zobecnit na libovolné osy.
Viz také
Reference
- L.D. Landau a E.M. Lifshitz: Kvantová mechanika: nerelativistická teorie, Pergamon Press, 1985
- P.A.M. Dirac: Principy kvantové mechaniky, Oxford University Press, 1958
- R. P. Feynman, R. B. Leighton a M. Sands: Feynmanovy přednášky z fyziky, Addison-Wesley, 1965
|
---|
Všeobecné | Prostor a čas | |
---|
Částice | |
---|
Operátoři pro operátory | |
---|
|
---|
Kvantové | Základní | |
---|
Energie | |
---|
Moment hybnosti | |
---|
Elektromagnetismus | |
---|
Optika | |
---|
Fyzika částic | |
---|
|
---|