Základní afinní skoková difúze - Basic affine jump diffusion

tento článek poskytuje nedostatečný kontext pro ty, kteří danému tématu nejsou obeznámeni. Prosím pomozte vylepšit článek podle poskytuje čtenáři více kontextu. (Srpna 2011) (Zjistěte, jak a kdy odstranit tuto zprávu šablony)

v teorie pravděpodobnosti, a základní afinní skoková difúze (základní AJD) je stochastický proces Z formuláře

${ displaystyle dZ_ {t} = kappa ( theta -Z_ {t}) , dt + sigma { sqrt {Z_ {t}}} , dB_ {t} + dJ_ {t}, qquad t geq 0, Z_ {0} geq 0,}$

kde ${ displaystyle B}$ je standard Brownův pohyb, a ${ displaystyle J}$ je nezávislý složený Poissonův proces s konstantní intenzitou skoku ${ displaystyle l}$ a nezávislé exponenciálně distribuované skoky se střední hodnotou ${ displaystyle mu}$. Aby byl proces dobře definován, je to nutné ${ displaystyle kappa theta geq 0}$ a ${ displaystyle mu geq 0}$. Základní AJD je zvláštní případ afinní proces a skoková difúze. Na druhou stranu Cox – Ingersoll – Ross (CIR) proces je speciální případ základního AJD.

Základní AJD jsou atraktivní pro modelování výchozích časů v úvěrové riziko aplikace,^[1][2][3][4] protože oba funkce generování momentů

${ displaystyle m left (q right) = operatorname {E} left (e ^ {q int _ {0} ^ {t} Z_ {s} , ds} right), qquad q v mathbb {R},}$

a charakteristická funkce

${ displaystyle varphi left (u right) = operatorname {E} left (e ^ {iu int _ {0} ^ {t} Z_ {s} , ds} right), qquad u in mathbb {R},}$

jsou známy v uzavřená forma.^[3]

Charakteristická funkce umožňuje vypočítat hustotu integrovaného základního AJD

${ displaystyle int _ {0} ^ {t} Z_ {s} , ds}$

podle Fourierova inverze, což lze efektivně provést pomocí FFT.

Reference