Horosféra - Horosphere


v hyperbolická geometrie, a horosféra (nebo parazita) je specifický nadpovrch v hyperbolický n-prostor. Je to hranice a horoball, limit posloupnosti zvyšujících se koulí sdílejících (na jedné straně) tečnou hyperplán a její bod tečnosti. Pro n = 2 horosféře se říká a horocykl.
Horosféru lze také popsat jako limit hypersfér, které sdílejí tečnou hyperplán v daném bodě, protože jejich poloměry směřují k nekonečnu. V euklidovské geometrii by taková „hypersféra nekonečného poloměru“ byla hyperplánem, ale v hyperbolické geometrii je to horosféra (zakřivený povrch).
Dějiny
Koncept má své kořeny v pojmu vyjádřeném F. L. Wachter v roce 1816 v dopise svému učiteli Gauss. Berouc na vědomí, že v euklidovské geometrii je hranice koule, jejíž poloměr má sklon k nekonečnu, rovinou, Wachter potvrdil, že i když pátý postulát byly nepravdivé, na povrchu by přesto byla geometrie totožná s geometrií obyčejné roviny.[1] Podmínky horosféra a horocykl jsou kvůli Lobachevsky, Který stanovil různé výsledky ukazující, že geometrie horocyklů a horosféry v hyperbolickém prostoru byla ekvivalentní geometrii přímek a roviny v euklidovském prostoru.[2] Termín „horoball“ je způsoben William Thurston, který to použil při své práci na hyperbolické 3-potrubí. Termíny horosféra a horoball jsou často používány v trojrozměrné hyperbolické geometrii.
Modely
V model konformní koule, je horosféra reprezentována koulí dotýkající se sféry obzoru. V model horního poloprostoru, horosféra se může jevit buď jako koule tečná k rovině obzoru, nebo jako rovina rovnoběžná s rovinou obzoru. V hyperboloidní model, horosféra je reprezentována rovinou, jejíž normála leží v asymptotickém kuželu.
Zakřivení
Horosféra má kritické množství (izotropního) zakřivení: pokud by zakřivení bylo větší, povrch by se dokázal uzavřít, čímž by se vytvořila koule, a kdyby zakřivení bylo o něco menší, povrch by byl (N - 1) -dimenzionální hypercyklus.
Reference
- ^ Roberto Bonola (1906), Neeuklidovská geometrie, přeloženo H.S. Carslaw Dover, 1955; p. 63
- ^ Roberto Bonola (1906), Neeuklidovská geometrie, přeloženo H.S. Carslaw, Dover, 1955; p. 88
- Dodatek, teorie prostoru Janos Bolyai, 1987, s. 143