Ideální bod - Ideal point - Wikipedia

Tři Ideální trojúhelníky v Poincaré model disku, vrcholy jsou ideální body

v hyperbolická geometrie, an ideální bod, bod omega^[1] nebo bod v nekonečnu je dobře definované bod mimo hyperbolickou rovinu nebo prostor. Daná čára l a bod P ne na l, pravá a levá-omezující paralely na l přes P konvergovat na l na ideální body.

Na rozdíl od projektivního případu tvoří ideální body a hranice, nikoli podmanifold. Tyto řádky tedy nejsou protínají v ideálním bodě a takových bodech dobře definované, nepatří do samotného hyperbolického prostoru.

Ideální body společně tvoří Cayley absolutní nebo hranice a hyperbolická geometrie. Například jednotkový kruh tvoří absolutní Cayley z Poincaré model disku a Kleinův model disku Zatímco skutečná čára tvoří Cayleyův absolut Poincarého polorovinový model .^[2]

Paschův axiom a teorém o vnějším úhlu stále držte omega trojúhelník, definovaný dvěma body v hyperbolickém prostoru a omega bodem.^[3]

Vlastnosti

Hyperbolická vzdálenost mezi ideálním bodem a jakýmkoli jiným bodem nebo ideálním bodem je nekonečná.
Centra města horocykly a horoballs jsou ideální body; dva horocykly jsou koncentrický když mají stejné centrum.

Mnohoúhelníky s ideálními vrcholy

Ideální trojúhelníky

pokud jsou všechny vrcholy a trojúhelník jsou ideální body, trojúhelník je ideální trojúhelník.

Ideální trojúhelníky mají řadu zajímavých vlastností:

Všechny ideální trojúhelníky jsou shodné.
Vnitřní úhly ideálního trojúhelníku jsou všechny nulové.
Jakýkoli ideální trojúhelník má nekonečný obvod.
Jakýkoli ideální trojúhelník má plochu ${ displaystyle pi / -K}$ kde K je (záporné) zakřivení roviny.^[4]

Ideální čtyřúhelníky

pokud jsou všechny vrcholy a čtyřúhelník jsou ideální body, čtyřúhelník je ideální čtyřúhelník.

I když jsou všechny ideální trojúhelníky shodné, ne všechny čtyřúhelníky jsou, úhlopříčky mohou navzájem svírat různé úhly, což má za následek nesouhlasné čtyřúhelníky, které toto řekly:

Vnitřní úhly ideálního čtyřúhelníku jsou nulové.
Jakýkoli ideální čtyřúhelník má nekonečný obvod.
Jakékoli ideální (konvexní neprotínající se) čtyřúhelník má plochu ${ displaystyle 2 pi / -K}$ kde K je (záporné) zakřivení roviny.

Ideální čtverec

Ideální čtyřúhelník, kde jsou dvě úhlopříčky kolmý navzájem tvoří ideální čtverec.

Bylo to použito Ferdinand Karl Schweikart ve svém memorandu o tom, co nazval „astrální geometrií“, jedna z prvních publikací, která tuto možnost uznala hyperbolická geometrie.^[5]

Ideál n-gons

Ideál n-gon lze rozdělit na (n − 2) ideální trojúhelníky, s plochou (n − 2) krát plocha ideálního trojúhelníku.

Reprezentace v modelech hyperbolické geometrie

V Kleinův model disku a Poincaré model disku hyperbolické roviny. V obou modelech disků ideální body jsou na jednotkový kruh (hyperbolická rovina) nebo jednotková koule (vyšší dimenze), což je nedosažitelná hranice hyperbolické roviny.

Při promítání stejné hyperbolické čáry na Kleinův model disku a Poincaré model disku obě čáry procházejí stejnými dvěma ideálními body. (ideální body v obou modelech jsou na stejném místě).

Kleinův model disku

Vzhledem ke dvěma odlišným bodům p a q v otevřeném jednotkovém disku protíná jedinečná přímka spojující kruh jednotek na dvě části ideální body, A a b, označené tak, aby body byly v tomto pořadí A, p, q, b takže | aq | > | ap | a | pb | > | qb |. Pak hyperbolická vzdálenost mezi p a q je vyjádřena jako

{ displaystyle d (p, q) = { frac {1} {2}} log { frac { left | qa right | left | bp right |} { left | pa right | vlevo | bq vpravo |}},}

Poincaré model disku

Vzhledem ke dvěma odlišným bodům p a q v otevřeném disku jednotky pak jedinečný kruh oblouk kolmo k hranici, která je spojuje, protíná jednotkový kruh na dvě části ideální body, A a b, označené tak, aby body byly v tomto pořadí A, p, q, b takže | aq | > | ap | a | pb | > | qb |. Pak hyperbolická vzdálenost mezi p a q je vyjádřena jako

{ displaystyle d (p, q) = log { frac { left | qa right | left | bp right |} { left | pa right | left | bq right |}},}

Kde jsou vzdálenosti měřeny podél (přímky) segmentů aq, ap, pb a qb.

Poincarého polorovinový model

V Poincarého polorovinový model the ideální body jsou body na hraniční ose. Existuje také další ideální bod, který není reprezentován v modelu poloroviny (ale paprsky rovnoběžné s kladnou osou y se k němu přibližují).

Hyperboloidní model

V hyperboloidní model nejsou k dispozici žádné ideální body.

Viz také

Ideální trojúhelník
Ideální mnohostěn
Body v nekonečnu pro použití v jiných geometriích.

Reference

^ Sibley, Thomas Q. (1998). Geometrický pohled: průzkum geometrií. Reading, Mass .: Addison-Wesley. str.109. ISBN 0-201-87450-4.
^ Struve, Horst; Struve, Rolf (2010), „Neeuklidovské geometrie: Cayley-Kleinův přístup“, Journal of Geometry, 89 (1): 151–170, doi:10.1007 / s00022-010-0053-z, ISSN 0047-2468, PAN 2739193
^ Hvidsten, Michael (2005). Geometrie pomocí aplikace Geometry Explorer. New York, NY: McGraw-Hill. str. 276–283. ISBN 0-07-312990-9.
^ Thurston, Dylan (podzim 2012). „274 křivek na plochách, přednáška 5“ (PDF). Citováno 23. července 2013.
^ Bonola, Roberto (1955). Neeuklidovská geometrie: kritická a historická studie jejího vývoje (Nezkrácené a nezměněné republiky 1. anglického překladu z roku 1912. vyd.). New York, NY: Dover. str.75–77. ISBN 0486600270.

[1] Sibley, Thomas Q. (1998). Geometrický pohled: průzkum geometrií. Reading, Mass .: Addison-Wesley. str.109. ISBN 0-201-87450-4.

[2] Struve, Horst; Struve, Rolf (2010), „Neeuklidovské geometrie: Cayley-Kleinův přístup“, Journal of Geometry, 89 (1): 151–170, doi:10.1007 / s00022-010-0053-z, ISSN 0047-2468, PAN 2739193

[3] Hvidsten, Michael (2005). Geometrie pomocí aplikace Geometry Explorer. New York, NY: McGraw-Hill. str. 276–283. ISBN 0-07-312990-9.

[Thurston_2012-4] Thurston, Dylan (podzim 2012). „274 křivek na plochách, přednáška 5“ (PDF). Citováno 23. července 2013.

[5] Bonola, Roberto (1955). Neeuklidovská geometrie: kritická a historická studie jejího vývoje (Nezkrácené a nezměněné republiky 1. anglického překladu z roku 1912. vyd.). New York, NY: Dover. str.75–77. ISBN 0486600270.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]