Složitá Lieova skupina - Complex Lie group

v geometrie, a komplexní Lieova skupina je Lež skupina přes komplexní čísla; tj. je to komplexní analytické potrubí to je také a skupina takovým způsobem ${ displaystyle G krát G až G, (x, y) mapsto xy ^ {- 1}}$ je holomorfní. Základní příklady jsou ${ displaystyle operatorname {GL} _ {n} ( mathbb {C})}$, obecné lineární skupiny přes komplexní čísla. Propojená kompaktní komplexní skupina Lie je přesně a komplexní torus (nezaměňovat s komplexní Lieovou skupinou ${ displaystyle mathbb {C} ^ {*}}$). Každá konečná skupina může mít strukturu složité Lieovy skupiny. Komplex napůl jednoduchá Lieova skupina je lineární algebraická skupina.

Lieova algebra složité Lieovy skupiny je a komplexní Lie algebra.

Příklady

• Konečný trojrozměrný vektorový prostor nad komplexními čísly (zejména komplexní Lieova algebra) je zjevným způsobem komplexní Lieova skupina.
• Propojená kompaktní komplexní skupina Lie A dimenze G je ve formě ${ displaystyle mathbb {C} ^ {g} / L}$ kde L je diskrétní podskupina. Ve skutečnosti je to Lieova algebra ${ displaystyle { mathfrak {a}}}$ může být prokázáno, že je abelian a poté ${ displaystyle operatorname {exp}: { mathfrak {a}} do A}$ je surjektivní morfismus komplexních Lieových skupin, ukazující A má popsanou formu.
• ${ displaystyle mathbb {C} až mathbb {C} ^ {*}, z mapsto e ^ {z}}$ je příkladem morfismu složitých Lieových skupin, který nepochází z morfismu algebraických skupin. Od té doby ${ displaystyle mathbb {C} ^ {*} = operatorname {GL} _ {1} ( mathbb {C})}$, toto je také příklad reprezentace komplexní Lieovy skupiny, která není algebraická.
• Nechat X být kompaktní komplexní potrubí. Pak, jako ve skutečném případě, ${ displaystyle operatorname {Aut} (X)}$ je komplexní Lieova skupina, jejíž Lie Algebra je ${ displaystyle Gamma (X, TX)}$.
• Nechat K. být spojen kompaktní Lieova skupina. Pak existuje jedinečná propojená komplexní Lieova skupina G takový, že (i) ${ displaystyle operatorname {Lie} (G) = operatorname {Lie} (K) otimes _ { mathbb {R}} mathbb {C}}$a (ii) K. je maximální kompaktní podskupina G. Říká se tomu komplexifikace z K.. Například, ${ displaystyle operatorname {GL} _ {n} ( mathbb {C})}$ je komplexizace unitární skupina. Li K. jedná na kompaktní Kähler potrubí X, pak akce K. sahá až k G.^[1]

Lineární algebraická skupina spojená se složitou polojednodušou Lieovou skupinou

Nechat G být komplexní polojednodušou Lieovou skupinou. Pak G připouští přirozenou strukturu lineární algebraické skupiny takto:^[2] nechat ${ displaystyle A}$ být prstenem holomorfních funkcí F na G takhle ${ displaystyle G cdot f}$ překlenuje konečný trojrozměrný vektorový prostor uvnitř kruhu holomorfních funkcí G (tady G činy levým překladem: ${ displaystyle g cdot f (h) = f (g ^ {- 1} h)}$). Pak ${ displaystyle operatorname {specifikace} (A)}$ je lineární algebraická skupina, která, když se na ni díváme jako na komplexní potrubí, je původní G. Konkrétněji vyberte věrné zastoupení ${ displaystyle rho: G to GL (V)}$ z G. Pak ${ displaystyle rho (G)}$ je Zariski uzavřen ${ displaystyle GL (V)}$.^{[je zapotřebí objasnění ]}

Reference

• Lee, Dong Hoon (2002), Struktura komplexních skupin lží (PDF), Boca Raton, Florida: Chapman & Hall / CRC, ISBN  1-58488-261-1, PAN  1887930^{[trvalý mrtvý odkaz ]}
• Serre, Jean-Pierre (1993), Gèbres^{[trvalý mrtvý odkaz ]}

Tento související s geometrií článek je a pahýl. Wikipedii můžete pomoci pomocí rozšiřovat to.