Perfektní pole - Perfect field
v algebra, a pole k je perfektní pokud platí některá z následujících rovnocenných podmínek:
- Každý neredukovatelný polynom přes k má odlišné kořeny.
- Každý neredukovatelný polynom přes k je oddělitelný.
- Každý konečné prodloužení z k je oddělitelný.
- Každý algebraické rozšíření z k je oddělitelný.
- Buď k má charakteristický 0, nebo, když k má charakteristiku p > 0, každý prvek k je pth síla.
- Buď k má charakteristický 0, nebo, když k má charakteristiku p > 0, Frobeniova endomorfismus X ↦ Xp je automorfismus z k.
- The oddělitelný uzávěr z k je algebraicky uzavřeno.
- Každý snížena komutativní k-algebra A je oddělitelná algebra; tj., je snížena pro každého rozšíření pole F/k. (viz. níže)
V opačném případě, k je nazýván nedokonalý.
Zejména všechna pole s charakteristickou nulou a všemi konečná pole jsou perfektní.
Dokonalá pole jsou významná, protože Galoisova teorie nad těmito poli se stává jednodušší, protože obecný Galoisův předpoklad oddělitelných rozšíření polí je nad těmito poli automaticky splněn (viz třetí podmínka výše).
Další důležitou vlastností dokonalých polí je, že připouštějí Wittovy vektory.
Obecněji, a prsten charakteristické p (p A primární ) je nazýván perfektní pokud Frobeniova endomorfismus je automorfismus.[1] (Pokud je omezeno na integrální domény, to odpovídá výše uvedené podmínce "každý prvek k je pth power “.)
Příklady
Příklady dokonalých polí jsou:
- každé pole charakteristické nuly, tak a každé konečné prodloužení a ;[2]
- každý konečné pole ;[3]
- každý algebraicky uzavřené pole;
- spojení sady dokonalých polí zcela seřazené podle rozšíření;
- pole algebraická nad dokonalým polem.
Většina oborů, se kterými se v praxi setkáváme, je dokonalých. Nedokonalý případ vzniká hlavně v algebraické geometrii v charakteristice p > 0. Každé nedokonalé pole je nutně transcendentální přes jeho hlavní podpole (minimální podpole), protože to druhé je perfektní. Příkladem nedokonalého pole je
- pole
protože Frobenius posílá , proto to není surjective. Zabývá se do dokonalého pole
volal jeho dokonalost. Nedokonalá pole způsobují technické potíže, protože neredukovatelné polynomy se mohou stát redukovatelnými v algebraickém uzavření základního pole. Například,[4] zvážit pro nedokonalé pole charakteristik a A ne a p-tá síla v F. Pak v algebraickém uzavření platí následující rovnost:
kde bp = A a taková b existuje v tomto algebraickém uzavření. Geometricky to znamená nedefinuje křivku afinní roviny v .
Rozšíření pole přes dokonalé pole
Žádný konečně generované rozšíření pole K. přes perfektní pole k je oddělitelně generován, tj. připouští oddělování transcendentní základna, tj. transcendentní základna that taková K. je oddělitelně algebraické k(Γ).[5]
Dokonalé uzavření a dokonalost
Jedna z rovnocenných podmínek říká, že v charakteristice p, pole sousedící se všemi pr-té kořeny (r ≥ 1) je perfektní; nazývá se to perfektní uzavření z k a obvykle označeno .
Perfektní uzávěr lze použít při testu oddělitelnosti. Přesněji řečeno, komutativní k-algebra A je oddělitelný právě tehdy je snížena.[6]
Ve smyslu univerzální vlastnosti, perfektní uzavření prstenu A charakteristické p je perfektní prsten Ap charakteristické p společně s a kruhový homomorfismus u : A → Ap tak, že pro jakýkoli jiný dokonalý prsten B charakteristické p s homomorfismem proti : A → B existuje jedinečný homomorfismus F : Ap → B takhle proti faktory u (tj. proti = fu). Dokonalé uzavření vždy existuje; důkaz zahrnuje „sousední p-té kořeny prvků A", podobně jako v případě polí.[7]
The dokonalost prstenu A charakteristické p je dvojí pojem (i když tento termín se někdy používá pro dokonalé uzavření). Jinými slovy, dokonalost R(A) z A je perfektní charakteristický prsten p spolu s mapou θ : R(A) → A takové, že pro každý dokonalý prsten B charakteristické p vybavené mapou φ : B → A, existuje jedinečná mapa F : B → R(A) takhle φ faktory θ (tj. φ = θf). Dokonalost A mohou být konstruovány následovně. Zvažte projektivní systém
kde přechodové mapy jsou Frobeniova endomorfismus. The inverzní limit tohoto systému je R(A) a skládá se ze sekvencí (X0, X1, ...) prvků A takhle pro všechny i. Mapa θ : R(A) → A odešle (Xi) až X0.[8]
Viz také
Poznámky
- ^ Serre 1979, Oddíl II.4
- ^ Příklady polí s charakteristickou nulou zahrnují pole racionální čísla pole reálná čísla nebo pole komplexní čísla.
- ^ Libovolné konečné pole objednávky q mohou být označeny , kde q = pk pro některé primární p a kladné celé číslo k.
- ^ Milne, Jamesi. Eliptické křivky (PDF). p. 6.
- ^ Matsumura, Věta 26.2
- ^ Cohn 2003, Věta 11.6.10
- ^ Bourbaki 2003, Oddíl V.5.1.4, strana 111
- ^ Brinon & Conrad 2009, oddíl 4.2
Reference
- Bourbaki, Nicolasi (2003), Algebra IISpringer, ISBN 978-3-540-00706-7
- Brinon, Olivier; Conrad, Brian (2009), CMI Summer School notes on p-adic Hodge theory (PDF), vyvoláno 2010-02-05
- Serre, Jean-Pierre (1979), Místní pole, Postgraduální texty z matematiky, 67 (2. vyd.), Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90424-5, PAN 0554237
- Cohn, P.M. (2003), Základní algebra: Skupiny, prsteny a pole
- Matsumura, H (2003), Komutativní prstencová teorie, Z japonštiny přeložil M. Reid. Cambridge studia pokročilé matematiky, 8 (2. vyd.)
externí odkazy
- "Dokonalé pole", Encyclopedia of Mathematics, Stiskněte EMS, 2001 [1994]