Vláknový produkt schémat - Fiber product of schemes
v matematika, konkrétně v algebraická geometrie, vláknový produkt režimů je základní konstrukce. Má mnoho interpretací a zvláštních případů. Například vláknový produkt popisuje, jak algebraická rozmanitost přes jednu pole určuje odrůdu na větším poli, nebo odvolání rodiny odrůd nebo vlákniny rodiny odrůd. Základní změna je úzce související pojem.
Definice
The kategorie z schémata je široké nastavení pro algebraickou geometrii. Plodná filozofie (známá jako Grothendieckovo relativní hledisko ) je, že velká část algebraické geometrie by měla být vyvinuta pro a morfismus schémat X → Y (nazývá se schéma X přes Y), spíše než pro jediný režim X. Například místo pouhého studia algebraické křivky, lze studovat rodiny křivek přes jakékoli základní schéma Y. Oba přístupy se navzájem obohacují.
Zejména schéma nad a komutativní prsten R znamená schéma X spolu s morfismem X → Spec (R). Starší představa o algebraické odrůdě nad polem k je ekvivalentem celého schématu k s určitými vlastnostmi. (Existují různé konvence, které by přesně měly být nazývány "odrůdy". Jednou standardní volbou je, že odrůda přes pole k znamená integrální oddělené schéma konečný typ přes k.[1])
Obecně morfismus schémat X → Y lze představit jako rodinu schémat parametrizovaných body Y. Vzhledem k morfismu z nějakého jiného schématu Z na Y, měla by existovat „pullback“ rodina schémat Z. To je přesně ten vlákninový produkt X ×Y Z → Z.
Formálně: jde o užitečnou vlastnost kategorie schémat, kterou vláknitý výrobek vždy existuje.[2] To znamená pro všechny morfismy schémat X → Y a Z → Y, existuje schéma X ×Y Z s morfismem na X a Z, dělat diagram
![]() |
komutativní, a který je univerzální s touto vlastností. To znamená pro jakékoli schéma Ž s morfismem na X a Z jejichž skladby do Y jsou si rovni, existuje jedinečný morfismus z Ž na X ×Y Z díky kterému se diagram dojíždí. Jako vždy u univerzálních vlastností určuje tato podmínka schéma X ×Y Z až po jedinečný izomorfismus, pokud existuje. Důkaz, že vláknové produkty režimů vždy existují, snižuje problém na tenzorový produkt komutativních kruhů (srov. schémata lepení ). Zejména když X, Y, a Z všichni jsou afinní schémata, tak X = Spec (A), Y = Spec (B), a Z = Spec (C) pro některé komutativní kruhy A,B,C, vláknový produkt je afinní schéma
Morfismus X ×Y Z → Z se nazývá základní změna nebo zarazit morfismu X → Y prostřednictvím morfismu Z → Y.
Výklady a zvláštní případy
- V kategorii schémat nad polem k, produkt X × Y znamená vláknový produkt X ×k Y (což je zkratka pro vláknový produkt přes Spec (k)). Například součin afinních prostorů Am a A.n přes pole k je afinní prostor Am+n přes k.
- Pro schéma X přes pole k a jakékoli rozšíření pole E z k, základní změna XE znamená vláknový produkt X ×Spec (k) Spec (E). Tady XE je schéma u konce E. Například pokud X je křivka v projektivní rovina P2
R přes reálná čísla R definovaný rovnicí xy2 = 7z3, pak XC je komplex zakřivit dovnitř P2
C definované stejnou rovnicí. Mnoho vlastností algebraické odrůdy na poli k lze definovat z hlediska jeho základní změny na algebraické uzavření z k, což situaci zjednodušuje. - Nechat F: X → Y být morphism schémat, a nechť y být bodem v Y. Pak existuje morfismus Spec (k(y)) → Y s obrázkem y, kde k(y) je zbytkové pole z y. The vlákno z F přes y je definován jako vláknový produkt X ×Y Spec (k(y)); toto je schéma přes pole k(y).[3] Tento koncept pomáhá ospravedlnit hrubou představu morfismu schémat X → Y jako rodina schémat parametrizovaných pomocí Y.
- Nechat X, Y, a Z být schémata nad polem k, s morfismem X → Y a Z → Y přes k. Pak sada k-racionální body vláknového produktu X XY Z lze snadno popsat:
- To znamená, že k- bod X XY Z lze identifikovat pomocí dvojice k-bodů X a Z které mají stejný obrázek v Y. To je bezprostřední z univerzální vlastnosti vláknového produktu schémat.
- Li X a Z jsou uzavřené podsystémy schématu Y, pak vláknitý produkt X XY Z je přesně to průsečík X ∩ Z, s jeho přirozenou strukturou struktury.[4] Totéž platí pro otevřené podsystémy.
Změna základny a sestup
Některé důležité vlastnosti P morfismů schémat jsou zachována pod libovolnou základní změnou. To je, pokud X → Y má vlastnost P a Z → Y je jakýkoli morfismus schémat, pak se změní základna X XY Z → Z má vlastnost P. Například ploché morfismy, hladké morfismy, správné morfismy a mnoho dalších tříd morfismů je zachováno pod libovolnou základní změnou.[5]
Slovo klesání odkazuje na obrácenou otázku: pokud stáhl morfismus X XY Z → Z má nějakou vlastnost P, musí původní morfismus X → Y mít vlastnost P? Je zřejmé, že to je obecně nemožné: například Z může být prázdné schéma, v takovém případě stáhnutý morfismus ztratí všechny informace o původním morfismu. Ale pokud morfismus Z → Y je ploché a surjective (také volal věrně plochý) a kvazi-kompaktní, pak mnoho vlastností sestoupí z Z na Y. Mezi vlastnosti, které sestupují, patří plochost, hladkost, správnost a mnoho dalších tříd morfismů.[6] Tyto výsledky jsou součástí Grothendieck teorie o věrně plochý sestup.
Příklad: pro jakékoli rozšíření pole k ⊂ E, morfismus Spec (E) → Spec (k) je věrně plochý a kvazi kompaktní. Uvedené výsledky sestupu tedy naznačují, že jde o schéma X přes k je hladký k právě tehdy, když se změní základna XE je hladký E. Totéž platí pro správnost a mnoho dalších vlastností.
Poznámky
- ^ Stacks Project, značka 020D.
- ^ Grothendieck, EGA I, Théorème 3.2.6; Hartshorne (1977), Věta II.3.3.
- ^ Hartshorne (1977), oddíl II.3.
- ^ Stacks Project, značka 0C4I.
- ^ Stacks Project, značka 02WE.
- ^ Stacks Project, značka 02YJ.
Reference
- Grothendieck, Alexandre; Dieudonné, Jean (1960). „Éléments de géométrie algébrique: I. Le langage des schémas“. Publikace Mathématiques de l'IHÉS. 4. doi:10.1007 / bf02684778. PAN 0217083.
- Hartshorne, Robine (1977), Algebraická geometrie, Postgraduální texty z matematiky, 52, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90244-9, PAN 0463157
externí odkazy
- Autoři projektu The Stacks, The Stacks Project