Langlandsova klasifikace - Langlands classification

v matematika, Langlandsova klasifikace je popis neredukovatelné reprezentace redukčního Lež skupina G, navrhl Robert Langlands (1973). Existují dvě mírně odlišné verze Langlandsovy klasifikace. Jeden z nich popisuje neredukovatelné přípustný (G,K.)-moduly,pro G A Lež algebra redukční Lieovy skupiny G, s maximální kompaktní podskupina K., ve smyslu temperované reprezentace menších skupin. Zmírněné reprezentace byly zase klasifikovány podle Anthony Knapp a Gregg Zuckerman. Druhá verze Langlandsovy klasifikace rozděluje neredukovatelné reprezentace na L-balíčky, a klasifikuje L-pakety z hlediska určitých homomorfismů Weilova skupina z R nebo C do Langlandsova dvojitá skupina.

Zápis

G je Lieova algebra skutečné redukční Lieovy skupiny G v Třída Harish-Chandra.
K. je maximální kompaktní podskupina G, s Lieovou algebrou k.
ω je a Cartan involuce z G, upevnění K..
str je -1 vlastní prostor kartonové involuce G.
A je maximální abelianský podprostor o str.
Σ je kořenový systém z A v G.
Δ je sada jednoduché kořeny z Σ.

Klasifikace

Langlandsova klasifikace uvádí, že je neredukovatelná přípustná prohlášení z (G,K.) jsou parametrizovány trojnásobkem

(F, σ, λ)

kde

F je podmnožinou Δ
Q je standard parabolická podskupina z F, s Langlandsův rozklad Q = MUŽ
σ je neredukovatelné temperované zastoupení polojednoduché Lieovy skupiny M (až do izomorfismu)
λ je prvek Hom (A_F,C) s α (Re (λ))> 0 pro všechny jednoduché kořeny α, které nejsou v F.

Přesněji řečeno, neredukovatelná přípustná reprezentace daná výše uvedenými údaji je neredukovatelným kvocientem parabolicky indukované reprezentace.

Příklad Langlandsovy klasifikace viz teorie reprezentace SL2 (R).

Variace

Existuje několik menších variací Langlandsovy klasifikace. Například:

Místo toho, abychom si vzali neredukovatelný kvocient, je možné použít neredukovatelný submodul.
Vzhledem k tomu, že temperované reprezentace jsou zase dány jako určitá reprezentace indukovaná z diskrétních řad nebo limit reprezentací diskrétních řad, lze provést obě indukce najednou a namísto temperovaných reprezentací získat Langlandsovu klasifikaci parametrizovanou diskrétními řadami nebo limitem reprezentací diskrétních řad. Problém v tom je, že je obtížné rozhodnout, kdy jsou dvě neredukovatelné reprezentace stejné.

Reference

Adams, Jeffrey; Barbasch, Dan; Vogan, David A. (1992), Langlandsova klasifikace a neredukovatelné znaky pro skutečné redukční skupiny Pokrok v matematice, 104, Boston, MA: Birkhäuser Boston, ISBN 978-0-8176-3634-0, PAN 1162533
E. P. van den Ban, Vyvolané reprezentace a Langlandsova klasifikace, v ISBN 0-8218-0609-2 (T. Bailey a A. W. Knapp, eds.).
Borel, A. a Wallach, N. Kontinuální kohomologie, diskrétní podskupiny a reprezentace redukčních skupin. Druhé vydání. Mathematical Surveys and Monographs, 67. American Mathematical Society, Providence, RI, 2000. xviii + 260 pp. ISBN 0-8218-0851-6
Langlands, Robert P. (1989) [1973], „O klasifikaci neredukovatelných reprezentací skutečných algebraických skupin“, Sally, Paul J .; Vogan, David A. (eds.), Teorie reprezentace a harmonická analýza na polojednodušých Lieových grupách, Math. Průzkumy Monogr., 31„Providence, R.I .: Americká matematická společnost, str. 101–170, ISBN 978-0-8218-1526-7, PAN 1011897
Vogan, David A. (2000), „Langlandsova klasifikace pro jednotné reprezentace“, Kobayashi, Toshiyuki; Kashiwara, Masaki; Matsuki, Toshihiko; Nishiyama, Kyo; Oshima, Toshio (eds.), Analýza homogenních prostorů a teorie reprezentace Lieových skupin, Okajama - Kjóto (1997) (PDF)Adv. Stud. Čistá matematika., 26, Tokio: Matematika. Soc. Japonsko, str. 299–324, ISBN 978-4-314-10138-7, PAN 1770725
D. Vogan, Reprezentace skutečných redukčních Lieových skupin, ISBN 3-7643-3037-6