Unipotentní - Unipotent - Wikipedia

Tento článek obsahuje seznam obecných Reference, ale zůstává z velké části neověřený, protože postrádá dostatečné odpovídající vložené citace. Prosím pomozte zlepšit tento článek představuji přesnější citace. (Listopad 2015) (Zjistěte, jak a kdy odstranit tuto zprávu šablony)

v matematika, a unipotentní prvek r a prsten R je jeden takový r - 1 je a nilpotentní prvek; jinými slovy, (r − 1)ⁿ pro některé je nula n.

Zejména a čtvercová matice, M, je unipotentní matice, právě když je charakteristický polynom, P(t), je síla t - 1. Tedy všechna vlastní čísla unipotentní matice jsou 1.

Termín kvazi-unipotentní znamená, že nějaká síla je unipotentní, například pro a diagonalizovatelná matice s vlastní čísla to jsou všichni kořeny jednoty.

V unipotentní afinní algebraická skupina, všechny prvky jsou unipotentní (viz níže definice prvku, který je unipotentní v takové skupině).

Definice

Definice s maticemi

Zvažte skupinu ${ displaystyle mathbb {U} _ {n}}$ horních trojúhelníkových matic s ${ displaystyle 1}$ na úhlopříčce, takže jsou skupinou matic^[1]

${ displaystyle mathbb {U} _ {n} = left {A = { begin {bmatrix} 1 & * & cdots & * & * 0 & 1 & cdots & * & * vdots & vdots && vdots & vdots 0 & 0 & cdots & 1 & * 0 & 0 & cdots & 0 & 1 end {bmatrix}} | det (A) neq 0 right }}$

pak unipotentní skupina lze definovat jako podskupinu některých ${ displaystyle mathbb {U} _ {n}}$. Použitím teorie schémat skupina ${ displaystyle mathbb {U} _ {n}}$ lze definovat jako skupinové schéma

${ displaystyle { text {Spec}} left ({ frac { mathbb {C} left [x_ {11}, x_ {12}, ldots, x_ {nn}, { frac {1} { text {det}}} right]} {(x_ {ii} = 1, x_ {i> j} = 0)}} right)}$

a afinní skupinové schéma je unipotentní, pokud se jedná o uzavřené skupinové schéma tohoto schématu.

Definice s prstencovou teorií

Prvek, X, afinní algebraická skupina je unipotentní, když je přidružený operátor překladu, r_X, na afinní souřadnicový kruh A[G] z G je lokálně unipotentní jako prvek kruhu lineárního endomorfismu z A[G]. (Lokálně unipotentní znamená, že její omezení na jakýkoli konečný trojrozměrný stabilní podprostor A[G] je unipotentní v obvyklém smyslu prstenu.)

Říká se afinní algebraická skupina unipotentní pokud jsou všechny jeho prvky unipotentní. Jakákoli unipotentní algebraická skupina je izomorfní do uzavřené podskupiny skupiny horních trojúhelníkových matic s diagonálními položkami 1 a naopak každá taková podskupina je unipotentní. Každá unipotentní skupina je zejména nilpotentní skupina, ačkoli konverzace není pravdivá (protiklad: diagonální matice GL_n(k)).

Například standardní reprezentace ${ displaystyle mathbb {U} _ {n}}$ na ${ displaystyle k ^ {n}}$ se standardním základem ${ displaystyle e_ {i}}$ má pevný vektor ${ displaystyle e_ {1}}$.

Definice s teorií reprezentace

Pokud unipotentní skupina působí na afinní odrůdu, jsou všechny její oběžné dráhy uzavřeny, a pokud působí lineárně na konečný trojrozměrný vektorový prostor, má nenulový fixní vektor. Druhá vlastnost ve skutečnosti charakterizuje unipotentní skupiny.^[1] Z toho zejména vyplývá, že neexistují žádné netriviální věci polojednoduchá reprezentace.

Příklady

U_n

Samozřejmě, skupina matic ${ displaystyle mathbb {U} _ {n}}$ je unipotentní. Za použití Dolní střední série

${ displaystyle mathbb {U} _ {n} = mathbb {U} _ {n} ^ {(0)} supset mathbb {U} _ {n} ^ {(1)} supset mathbb { U} _ {n} ^ {(2)} supset cdots supset mathbb {U} _ {n} ^ {(m)} = e}$

kde

${ displaystyle mathbb {U} _ {n} ^ {(1)} = [ mathbb {U} _ {1}, mathbb {U} _ {1}]}$ a ${ displaystyle mathbb {U} _ {n} ^ {(2)} = [ mathbb {U} _ {1}, mathbb {U} _ {n} ^ {(1)}]}$

existují přidružené unipotentní skupiny. Například na ${ displaystyle n = 4}$, centrální řady jsou maticové skupiny

${ displaystyle mathbb {U} _ {4} = left {{ begin {bmatrix} 1 & * & * & * 0 & 1 & * & * 0 & 0 & 1 & * 0 & 0 & 0 1 end {bmatrix}} right }}$, ${ displaystyle mathbb {U} _ {4} ^ {(1)} = left {{ begin {bmatrix} 1 & 0 & * & * 0 & 1 & 0 & * 0 & 0 & 1 & 0 0 & 0 & 0 & 1 end {bmatrix}} že jo}}$, ${ displaystyle mathbb {U} _ {4} ^ {(2)} = left {{ begin {bmatrix} 1 & 0 & 0 & * 0 & 1 & 0 & 0 0 & 0 & 1 & 0 0 & 0 & 0 & 1 end {bmatrix}} right } }$, a ${ displaystyle mathbb {U} _ {4} ^ {(3)} = left {{ begin {bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 0 & 1 & 0 & 0 0 & 0 & 1 & 0 0 & 0 & 0 & 1 end {bmatrix}} right }}$

vzhledem k některým indukovaným příkladům unipotentních skupin.

G_Aⁿ

Skupina přísad ${ displaystyle mathbb {G} _ {a}}$ je unipotent skupina skupina prostřednictvím vložení

${ displaystyle a mapsto { begin {bmatrix} 1 & a 0 & 1 end {bmatrix}}}$

Všimněte si, že násobení matice dává

${ displaystyle { begin {bmatrix} 1 & a 0 & 1 end {bmatrix}} cdot { begin {bmatrix} 1 & b 0 & 1 end {bmatrix}} = { begin {bmatrix} 1 & a + b 0 & 1 end {bmatrix}}}$

proto se jedná o skupinové vkládání. Obecněji je zde vložení ${ displaystyle mathbb {G} _ {a} ^ {n} to mathbb {U} _ {n + 1}}$ z mapy

${ displaystyle (a_ {1}, ldots, a_ {n}) mapsto { begin {bmatrix} 1 & a_ {1} & a_ {2} & cdots & a_ {n-1} & a_ {n} 0 & 1 & 0 & cdots & 0 & 0 vdots & vdots & vdots && vdots & vdots 0 & 0 & 0 & cdots & 1 & 0 0 & 0 & 0 & cdots & 0 & 1 end {bmatrix}}}$

Pomocí teorie schématu ${ displaystyle mathbb {G} _ {a}}$ je dán funktorem

${ displaystyle { mathcal {O}}: { text {Sch}} ^ {op} to { text {sady}}}$

kde

${ displaystyle (X, { mathcal {O}} _ {X}) mapsto { mathcal {O}} _ {X} (X)}$

Jádro Frobenius

Zvažte funktor ${ displaystyle { mathcal {O}}}$ na podkategorii ${ displaystyle { text {Sch}} / mathbb {F} _ {p}}$, existuje subfunktor ${ displaystyle alpha _ {p}}$ kde

${ displaystyle alpha _ {p} (X) = {x v { mathcal {O}} (X): x ^ {p} = 0 }}$

je to dáno jádrem Frobeniova endomorfismus.

Klasifikace unipotentních skupin nad charakteristikou 0

Přes charakteristický ${ displaystyle 0}$ vzhledem k tomu existuje pěkná klasifikace unipotentních algebraických skupin nilpotentní ležové algebry. Připomeňme, že nilpotentní ležová algebra je u některých subalgebra ${ displaystyle { mathfrak {gl}} _ {n}}$ tak, že iterovaná adjunktová akce nakonec končí na nulové mapě. Z hlediska matic to znamená, že jde o subalgebru ${ displaystyle { mathfrak {g}}}$ z ${ displaystyle { mathfrak {n}} _ {n}}$, matice s ${ displaystyle a_ {ij} = 0}$ pro ${ Displaystyle i leq j}$.

Pak existuje ekvivalence kategorií konečněrozměrných nilpotentních Lieových algeber a unipotentních algebraických skupin^{[1]strana 261}. To lze zkonstruovat pomocí Série Baker – Campbell – Hausdorff ${ displaystyle H (X, Y)}$, kde je dána konečněrozměrná nilpotentní Lieova algebra, mapa

${ displaystyle H: { mathfrak {g}} krát { mathfrak {g}} na { mathfrak {g}} { text {kde}} (X, Y) mapsto H (X, Y) }$

dává Unipotentní algebraickou skupinovou strukturu ${ displaystyle { mathfrak {g}}}$.

V opačném směru exponenciální mapa vezme jakoukoli nilpotentní čtvercovou matici do unipotentní matice. Navíc pokud U je komutativní unipotentní skupina, exponenciální mapa indukuje izomorfismus z Lieovy algebry U na U sám.

Poznámky

Unipotentní skupiny nad algebraicky uzavřeným polem jakékoli dané dimenze lze v zásadě klasifikovat, ale v praxi se složitost klasifikace s dimenzí velmi rychle zvyšuje, takže lidé^{[SZO? ]} mají tendenci se vzdávat někde kolem dimenze 6.

Unipotentní radikál

The unipotentní radikál z algebraická skupina G je sada unipotentních prvků v radikální z G. Je to připojená unipotentní normální podskupina Ga obsahuje všechny ostatní takové podskupiny. Skupině se říká reduktivní, pokud je její unipotentní radikál triviální. Li G je reduktivní, pak jeho radikál je torus.

Rozklad algebraických skupin

Algebraické skupiny lze rozložit na unipotentní skupiny, multiplikativní skupiny a abelianské odrůdy, ale tvrzení o tom, jak se rozkládají, závisí na charakteristice jejich základního pole.

Charakteristika 0

Přes charakteristický ${ displaystyle 0}$ existuje pěkná věta o rozkladu algebraické skupiny ${ displaystyle G}$ vztahující se jeho struktura ke struktuře a lineární algebraická skupina a Abelianská odrůda. Existuje krátký přesný sled skupin^{[2]strana 8}

${ displaystyle 0 až M krát U až G až A až 0}$

kde ${ displaystyle A}$ je abelianská odrůda, ${ displaystyle M}$ je multiplikativního typu, významu a ${ displaystyle U}$ je unipotentní skupina.

Charakteristický p

Když je charakteristika základního pole ${ displaystyle p}$ existuje analogické prohlášení^[2] pro algebraickou skupinu ${ displaystyle G}$: existuje nejmenší podskupina ${ displaystyle H}$ takhle

1. ${ displaystyle G / H}$ je unipotentní skupina
2. ${ displaystyle H}$ je rozšíření abelianské odrůdy ${ displaystyle A}$ skupinou ${ displaystyle M}$ multiplikativního typu.
3. ${ displaystyle M}$ je jedinečný až Souměřitelnost v ${ displaystyle G}$ a ${ displaystyle A}$ je jedinečný až Isogeny.

Jordanův rozklad

Libovolný prvek G lineární algebraické skupiny nad a perfektní pole lze napsat jednoznačně jako produkt G = G_uG_s dojíždění unipotentní a polojednoduchý elementy G_u a G_s. V případě skupiny GL_n(C), to v podstatě říká, že jakákoli invertibilní komplexní matice je konjugovaná s produktem diagonální matice a horní trojúhelníkové matice, která je (víceméně) multiplikativní verzí Jordan – Chevalleyův rozklad.

Existuje také verze Jordanova rozkladu pro skupiny: libovolná komutativní lineární algebraická skupina nad a perfektní pole je produktem unipotentní skupiny a polojednodušé skupiny.

Viz také

• Redukční skupina
• Unipotentní zastoupení
• Deligne – Lusztigova teorie

Reference

• A. Borel, Lineární algebraické skupiny, ISBN  0-387-97370-2
• Borel, Armand (1956), „Groupes linéaires algébriques“, Annals of Mathematics, Druhá série, Annals of Mathematics, 64 (1): 20–82, doi:10.2307/1969949, JSTOR  1969949
• Popov, V.L. (2001) [1994], "unipotentní prvek", Encyclopedia of Mathematics, Stiskněte EMS
• Popov, V.L. (2001) [1994], "unipotent group", Encyclopedia of Mathematics, Stiskněte EMS
• Suprunenko, D.A. (2001) [1994], "unipotentní matice", Encyclopedia of Mathematics, Stiskněte EMS