Bruhatův rozklad - Bruhat decomposition

V matematice je Bruhatův rozklad (představil François Bruhat pro klasické skupiny a tím Claude Chevalley obecně) G = BWB jisté algebraické skupiny G do buněk lze považovat za obecné vyjádření principu Eliminace Gauss-Jordan, který obecně píše matici jako produkt matice horní trojúhelníkové a dolní trojúhelníkové matice - ale s výjimečnými případy. Souvisí to s Schubertova buňka rozklad Grassmannianů: viz Weylova skupina pro tohle.

Obecněji řečeno, každá skupina s a (B, N) pár má Bruhatův rozklad.

Definice

• G je připojeno, redukční algebraická skupina přes algebraicky uzavřené pole.
• B je Podskupina Borel z G
• Ž je Weylova skupina z G odpovídá maximálnímu torusu B.

The Bruhatův rozklad z G je rozklad

${ displaystyle G = BWB = bigsqcup _ {w in W} BwB}$

z G jako disjunktní unie dvojité kosety z B parametrizováno prvky skupiny Weyl Ž. (Všimněte si, že ačkoli Ž obecně není podskupinou Gcoset wB je stále dobře definován, protože maximální torus je obsažen v B.)

Příklady

Nechat G být obecná lineární skupina GL_n invertible ${ displaystyle n krát n}$ matice se záznamy v nějakém algebraicky uzavřeném poli, což je a reduktivní skupina. Pak skupina Weyl Ž je isomorfní s symetrická skupina S_n na n dopisy, s permutační matice jako zástupci. V tomto případě můžeme vzít B být podskupinou horních trojúhelníkových invertibilních matic, takže Bruhatův rozklad říká, že lze napsat jakoukoli invertibilní matici A jako produkt U₁PU₂ kde U₁ a U₂ jsou horní trojúhelníkové a P je permutační matice. Psaní jako P = U₁⁻¹AU₂⁻¹, to říká, že jakoukoli invertibilní matici lze transformovat na permutační matici pomocí řady operací řádků a sloupců, kde můžeme přidávat pouze řádky i (resp. sloupec i) veslovat j (resp. sloupec j) pokud i > j (resp. i < j). Řádkové operace odpovídají U₁⁻¹a odpovídají operaci sloupce U₂⁻¹.

The speciální lineární skupina SL_n invertible ${ displaystyle n krát n}$ matice s určující 1 je a polojediná skupina, a tedy redukční. V tomto případě, Ž je stále izomorfní se symetrickou skupinou S_n. Determinant permutační matice je však znamením permutace, takže představuje lichou permutaci v SL_n, můžeme vzít jeden z nenulových prvků jako -1 místo 1. Tady B je podskupina horních trojúhelníkových matic s determinantem 1, takže interpretace Bruhatova rozkladu je v tomto případě obdobná jako v případě GL_n.

Geometrie

Buňky v rozkladu Bruhat odpovídají Schubertova buňka rozklad Grassmannianů. Rozměr buněk odpovídá délka slova w ve skupině Weyl. Poincaré dualita omezuje topologii buněčného rozkladu, a tím i algebru Weylovy skupiny; například horní dimenzionální buňka je jedinečná (představuje základní třída ) a odpovídá nejdelší prvek skupiny Coxeter.

Výpočty

Počet buněk v dané dimenzi Bruhatova rozkladu jsou koeficienty q-polynomiální^[1] přidruženého Dynkinův diagram.

Zdvojnásobte buňky Bruhat

Se dvěma protilehlými Borely může jeden protínat Bruhatovy buňky pro každou z nich.

${ displaystyle G = bigsqcup _ {w_ {1}, w_ {2} in W} (Bw_ {1} B cap B _ {-} w_ {2} B _ {-})}$

Viz také

• Lež skupinové rozklady
• Birkhoffova faktorizace, zvláštní případ Bruhatova rozkladu pro afinní skupiny.
• Clusterová algebra

Poznámky

Reference

• Borel, Armand. Lineární algebraické skupiny (2. vyd.). New York: Springer-Verlag, 1991. ISBN  0-387-97370-2.
• Bourbaki, Nicolasi, Ležové skupiny a Lie Algebry: Kapitoly 4–6 (Základy matematiky)Springer-Verlag, 2008. ISBN  3-540-42650-7