Distribuce na lineární algebraické skupině - Distribution on a linear algebraic group

V algebraické geometrii, vzhledem k lineární algebraická skupina G přes pole k, a rozdělení na tom je lineární funkční ${ displaystyle k [G] až k}$ splnění určité podmínky podpory. A konvoluce distribucí je opět distribucí a tak tvoří Hopfova algebra na G, označený Dist (G), který obsahuje Lie Algebra Lie (G) spojené s G. Přes pole charakteristické nuly říká Cartierova věta, že Dist (G) je izomorfní s univerzální obalová algebra lži algebry G a tak stavba neposkytuje žádné nové informace. V případě kladné charakteristiky lze algebru použít jako náhradu za Ležová skupina - korespondence Lieovy algebry a jeho varianta pro algebraické skupiny v charakteristické nule; například tento přístup zaujatý (Jantzen 1987 ) chyba harv: žádný cíl: CITEREFJantzen1987 (Pomoc).

Konstrukce

Lieova algebra lineární algebraické skupiny

Nechat k být algebraicky uzavřeným polem a G A lineární algebraická skupina (tj. afinní algebraická skupina) k. Podle definice leží (G) je Lieova algebra všech odvozenin k[G], kteří dojíždějí s akcí vlevo G. Stejně jako v případě skupiny Lie, lze jej identifikovat s tečným prostorem k G na prvku identity.

Obálka algebry

Pro Hopfovu algebru existuje následující obecná konstrukce. Nechat A být Hopfovou algebrou. The konečný duální z A je prostor lineárních funkcionálů na A s jádry obsahujícími levé ideály konečných rozměrů. Konkrétně to lze považovat za prostor maticových koeficientů.

Adjungovaná skupina Lieovy algebry

Tato sekce potřebuje expanzi. Můžete pomoci přidávat k tomu. (Ledna 2019)

Distribuce na algebraické skupině

Definice

Nechat X = Spec A být afinním schématem nad polem k a nechte Já_X být jádrem mapy omezení ${ displaystyle A až k (x)}$, reziduální pole X. Podle definice a rozdělení F podporováno na X'' je k-lineární funkční na A takhle ${ displaystyle f (I_ {x} ^ {n}) = 0}$ pro některé n. (Poznámka: definice je stále platná, pokud k je libovolný prsten.)

Teď když G je algebraická skupina k, nechali jsme Dist (G) být množinou všech distribucí na G podporováno na prvku identity (často se tomu říká distribuce na G). Li F, G jsou v něm, definujeme produkt F a G, degradován F * G, být lineární funkční

${ displaystyle k [G] { overset { Delta} { to}} k [G] otimes k [G] { overset {f otimes g} { to}} k otimes k = k}$

kde Δ je komplikace to je homomorfismus vyvolaný množením ${ displaystyle G krát G až G}$. Násobení se ukázalo být asociativní (použití ${ Displaystyle 1 otimes Delta Circ Delta = Delta Otimes 1 Circ Delta}$) a tedy Dist (G) je asociativní algebra, protože množina je uzavřena pod duplikací podle vzorce:

(*) ${ displaystyle Delta (I_ {1} ^ {n}) podmnožina součet _ {r = 0} ^ {n} I_ {1} ^ {r} mnohokrát I_ {1} ^ {n-r}.}$

Je to také jednotné s jednotou, která je lineární funkcí ${ displaystyle k [G] až k, phi mapsto phi (1)}$, Diracova delta míra.

Lie Algebra Lie (G) sedí uvnitř Dist (G). Podle definice leží (G) je tečný prostor k G na identifikačním prvku 1; tj. duální prostor ${ displaystyle I_ {1} / I_ {1} ^ {2}}$. Tangensový vektor tedy odpovídá lineární funkční funkci Já₁ který nemá konstantní člen a zabije druhou mocninu Já₁ a vzorec (*) znamená ${ displaystyle [f, g] = f * g-g * f}$ je stále tečný vektor.

Nechat ${ displaystyle { mathfrak {g}} = operatorname {Lie} (G)}$ být Lieovou algebrou G. Potom podle univerzální vlastnosti zahrnutí ${ displaystyle { mathfrak {g}} hookrightarrow operatorname {Dist} (G)}$ indukuje homomorfismus algebry:

${ displaystyle U ({ mathfrak {g}}) na operatorname {Dist} (G).}$

Když základní pole k má charakteristickou nulu, tento homomorfismus je izomorfismus.^[1]

Příklady

Skupina aditiv

Nechat ${ displaystyle G = mathbb {G} _ {a}}$ být aditivní skupina; tj., G(R) = R pro všechny k-algebra R. Jako odrůda G je afinní linie; tj. souřadnicový kruh je k[t] a Jáⁿ
₀ = (tⁿ).

Multiplikativní skupina

Nechat ${ displaystyle G = mathbb {G} _ {m}}$ být multiplikativní skupinou; tj., G(R) = R^* pro všechny k-algebra R. Souřadnicový kruh G je k[t, t⁻¹] (od té doby G je opravdu GL₁(k).)

Korespondence

• Pro uzavřené podskupiny H, 'K. z G, pokud k je perfektní a H je tedy neredukovatelný

${ displaystyle H podmnožina K Leftrightarrow operatorname {Dist} (H) podmnožina operatorname {Dist} (K).}$

• Li PROTI je G-module (to je reprezentace G), pak připouští přirozenou strukturu Dist (G) -module, který zase dává strukturu modulu znovu ${ displaystyle { mathfrak {g}}}$.
• Jakákoli akce G na afinní algebraická odrůda X vyvolává zastoupení G na souřadnicovém kruhu k[G]. Zejména konjugační účinek G vyvolává akci G na k[G]. Jeden může ukázat Jáⁿ
  ₁ je stabilní pod G a tudíž G působí na (k[G]/Jáⁿ
  ₁)^* a odkud na jeho unii Dist (G). Výsledná akce se nazývá adjunkční akce z G.

Případ konečných algebraických skupin

Nechat G být algebraická skupina, která je „konečná“ jako a skupinové schéma; například jakýkoli konečná skupina lze považovat za konečnou algebraickou skupinu. Existuje rovnocennost kategorií mezi kategorií konečných algebraických skupin a kategorií konečně-dimenzionálních kooperativních Hopfových algeber daných mapováním G na k[G]^*, duální souřadnicového kruhu G. Všimněte si, že Dist (G) je (Hopf) subalgebra k[G]^*.

Vztah k Lieově skupině - korespondence Lieovy algebry

Tato sekce potřebuje expanzi. Můžete pomoci přidávat k tomu. (Ledna 2019)

Poznámky

Reference

• J. C. Jantzen, Reprezentace algebraických skupin, Čistá a aplikovaná matematika, sv. 131, Boston atd., 1987 (Academic).
• Milne, iAG: Algebraické skupiny: Úvod do teorie schémat algebraických skupin přes pole
• Claudio Procesi, Lži skupiny: Přístup prostřednictvím invarianty a reprezentace, Springer, Universitext 2006
• Mukai, S. (2002). Úvod do invarianty a modulů. Cambridge studia pokročilé matematiky. 81. ISBN  978-0-521-80906-1.
• Springer, Tonny A. (1998), Lineární algebraické skupinyPokrok v matematice, 9 (2. vyd.), Boston, MA: Birkhäuser Boston, ISBN  978-0-8176-4021-7, PAN  1642713

Další čtení

• Lineární algebraické skupiny a jejich Lieovy algebry autor: Daniel Miller podzim 2014