Akce skupinového schématu - Group-scheme action

v algebraická geometrie, an akce skupinového schématu je zobecněním a skupinová akce do a skupinové schéma. Přesně, vzhledem ke skupině S-systém G, a levá akce G na S-systém X je S-morfismus

{ displaystyle sigma: G krát _ {S} X až X}

takhle

(asociativita) ${ displaystyle sigma circ (1_ {G} krát sigma) = sigma circ (m krát 1_ {X})}$ , kde ${ displaystyle m: G krát _ {S} G až G}$ je zákon o skupině,
(jednotnost) ${ displaystyle sigma circ (e krát 1_ {X}) = 1_ {X}}$ , kde ${ displaystyle e: S až G}$ je část identity uživatele G.

A správná akce G na X je definován analogicky. Schéma vybavené levou nebo pravou akcí skupinového schématu G se nazývá a G-systém. An ekvivariační morfismus mezi G-schemes je a morfismus schémat který proplétá příslušné G-akce.

Obecněji lze také uvažovat (alespoň v některých zvláštních případech) o akci a skupinový funktor: prohlížení G jako funktor je akce dána jako přirozená transformace splňující podmínky analogické výše.^[1] Alternativně někteří autoři studují skupinové akce v jazyce a grupoid; akce skupinového schématu je potom příkladem a grupoidní schéma.

Konstrukty

Obvyklé konstrukce pro a skupinová akce například orbity zobecnit na akci skupinového schématu. Nechat ${ displaystyle sigma}$ být danou akcí skupinového schématu, jak je uvedeno výše.

Vzhledem k bodu s hodnotou T. ${ displaystyle x: T až X}$ , oběžná mapa ${ displaystyle sigma _ {x}: G krát _ {S} T až X krát _ {S} T}$ je uveden jako ${ displaystyle ( sigma circ (1_ {G} krát x), p_ {2})}$ .
The obíhat z X je obraz orbitální mapy ${ displaystyle sigma _ {x}}$ .
The stabilizátor z X je vlákno přes ${ displaystyle sigma _ {x}}$ mapy ${ displaystyle (x, 1_ {T}): T až X krát _ {S} T.}$

Problém konstrukce kvocientu

Na rozdíl od skupinové akce s množinou neexistuje žádný přímý způsob, jak vytvořit podíl pro akci skupinového schématu. Jedinou výjimkou je případ, kdy je akce zdarma, případ a hlavní svazek vláken.

Existuje několik přístupů k překonání této obtížnosti:

Struktura úrovně - Snad nejstarší, přístup nahrazuje objekt, který má být klasifikován objektem spolu se strukturou úrovně
Geometrická invariantní teorie - zahoďte špatné dráhy a poté vezměte kvocient. Nevýhodou je, že neexistuje žádný kanonický způsob, jak zavést pojem „špatné oběžné dráhy“; představa závisí na volbě linearizace. Viz také: kategorický kvocient, GIT kvocient.
Borelova konstrukce - toto je přístup v zásadě z algebraické topologie; tento přístup vyžaduje, aby člověk pracoval s nekonečně-dimenzionální prostor.
Analytický přístup, teorie Teichmüllerův prostor
Kvocient zásobníku - v jistém smyslu je to konečná odpověď na problém. Zhruba „kvocient přednastavení“ je kategorie oběžných drah a jedna stohovat (tj. Zavedení pojmu torzora), aby získal kvocientový zásobník.

V závislosti na aplikacích by dalším přístupem bylo přesunout fokus z prostoru a pak na věci v prostoru; např., topos. Problém se tedy přesouvá od klasifikace drah k klasifikaci orbit ekvivariační objekty.

Viz také

Reference

^ Podrobněji, vzhledem k akci skupinového schématu ${ displaystyle sigma}$ , pro každý morfismus ${ displaystyle T až S}$ , ${ displaystyle sigma}$ určuje skupinovou akci ${ displaystyle G (T) krát X (T) až X (T)}$ ; tj. skupina ${ displaystyle G (T)}$ jedná o souboru T- body ${ displaystyle X (T)}$ . Naopak, pokud pro každého ${ displaystyle T až S}$ , existuje skupinová akce ${ displaystyle sigma _ {T}: G (T) krát X (T) až X (T)}$ a pokud jsou tyto akce slučitelné; tj. tvoří a přirozená transformace pak, podle Yoneda lemma, určují akci skupinového schématu ${ displaystyle sigma: G krát _ {S} X až X}$ .

Mumford, David; Fogarty, J .; Kirwan, F. (1994). Geometrická invariantní teorie. Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete (2) [Výsledky v matematice a souvisejících oblastech (2)]. 34 (3. vyd.). Berlín, New York: Springer-Verlag. ISBN 978-3-540-56963-3. PAN 1304906.

Tento související s algebraickou geometrií článek je a pahýl. Wikipedii můžete pomoci pomocí rozšiřovat to.

[1] Podrobněji, vzhledem k akci skupinového schématu ${ displaystyle sigma}$ , pro každý morfismus ${ displaystyle T až S}$ , ${ displaystyle sigma}$ určuje skupinovou akci ${ displaystyle G (T) krát X (T) až X (T)}$ ; tj. skupina ${ displaystyle G (T)}$ jedná o souboru T- body ${ displaystyle X (T)}$ . Naopak, pokud pro každého ${ displaystyle T až S}$ , existuje skupinová akce ${ displaystyle sigma _ {T}: G (T) krát X (T) až X (T)}$ a pokud jsou tyto akce slučitelné; tj. tvoří a přirozená transformace pak, podle Yoneda lemma, určují akci skupinového schématu ${ displaystyle sigma: G krát _ {S} X až X}$ .

[1]