Laurentův polynom - Laurent polynomial - Wikipedia

tento článek potřebuje další citace pro ověření. Prosím pomozte vylepšit tento článek podle přidávání citací ke spolehlivým zdrojům. Zdroj bez zdroje může být napaden a odstraněn. Najít zdroje: "Laurentův polynom"  – zprávy  · noviny  · knihy  · učenec  · JSTOR (Červenec 2009) (Zjistěte, jak a kdy odstranit tuto zprávu šablony)

v matematika, a Laurentův polynom (pojmenoval podle Pierre Alphonse Laurent ) v jedné proměnné nad a pole ${ displaystyle mathbb {F}}$ je lineární kombinace kladných a záporných sil proměnné s koeficienty v% ${ displaystyle mathbb {F}}$. Laurentovy polynomy v X tvoří a prsten označeno ${ displaystyle mathbb {F}}$[X, X⁻¹].^[1] Liší se od obyčejných polynomy v tom, že mohou mít záporný stupeň. Konstrukce Laurentových polynomů může být iterována, což vede k prstenci Laurentových polynomů v několika proměnných. Laurentovy polynomy mají při studiu komplexní proměnné.

Definice

A Laurentův polynom s koeficienty v poli ${ displaystyle mathbb {F}}$ je výrazem formy

${ displaystyle p = sum _ {k} p_ {k} X ^ {k}, quad p_ {k} in mathbb {F}}$

kde X je formální proměnná, součtový index k je celé číslo (ne nutně pozitivní) a pouze konečně mnoho koeficientů str_k jsou nenulové. Dva Laurentovy polynomy jsou stejné, pokud jsou jejich koeficienty stejné. Takové výrazy lze přidat, vynásobit a přivést zpět do stejné formy snížením podobných výrazů. Vzorce pro sčítání a násobení jsou přesně stejné jako pro běžné polynomy, pouze s tím rozdílem, že pozitivní i negativní mocniny X může být přítomen:

${ displaystyle left ( sum _ {i} a_ {i} X ^ {i} right) + left ( sum _ {i} b_ {i} X ^ {i} right) = sum _ {i} (a_ {i} + b_ {i}) X ^ {i}}$

a

${ displaystyle left ( sum _ {i} a_ {i} X ^ {i} right) cdot left ( sum _ {j} b_ {j} X ^ {j} right) = sum _ {k} left ( sum _ {i, j: i + j = k} a_ {i} b_ {j} right) X ^ {k}.}$

Protože jen konečně mnoho koeficientů A_i a b_j jsou nenulové, všechny součty ve skutečnosti mají pouze konečně mnoho termínů, a proto představují Laurentovy polynomy.

Vlastnosti

• Laurentův polynom přes C lze zobrazit jako Laurentova řada ve kterém pouze konečně mnoho koeficientů je nenulových.
• Prsten Laurentových polynomů R[X, X⁻¹] je rozšířením polynomiální kruh R[X] získané "převrácením XPřísnější je to lokalizace z polynomiální kruh v multiplikativní sadě skládající se z nezáporných sil X. Mnoho vlastností Laurentova polynomiálního kruhu vyplývá z obecných vlastností lokalizace.
• Kruh Laurentových polynomů je podřetězcem racionální funkce.
• Prsten Laurentových polynomů nad polem je Noetherian (ale ne Artinian ).
• Li R je integrální doména, jednotky Laurentova polynomiálního kruhu R[X, X⁻¹] mít formu uX^k, kde u je jednotka R a k je celé číslo. Zejména pokud K. je pole pak jednotky K.[X, X⁻¹] mít formu sekera^k, kde A je nenulový prvek K..
• Laurentův polynomický prsten R[X, X⁻¹] je izomorfní s skupinové vyzvánění skupiny Z z celá čísla přes R. Obecněji řečeno, Laurentův polynomiální kruh v n proměnných je izomorfní vůči skupinovému kruhu bezplatná abelianská skupina hodnosti n. Z toho vyplývá, že Laurentův polynomický kruh může být vybaven strukturou komutativního, společný Hopfova algebra.

Viz také

• Jonesův polynom

Reference

• Lang, Serge (2002), Algebra, Graduate Texts in Mathematics, 211 (přepracované třetí vydání), New York: Springer-Verlag, ISBN  978-0-387-95385-4, MR 1878556