Taylorovy expanze pro momenty funkcí náhodných proměnných - Taylor expansions for the moments of functions of random variables - Wikipedia

tento článek potřebuje další citace pro ověření. Prosím pomozte vylepšit tento článek podle přidávání citací ke spolehlivým zdrojům. Zdroj bez zdroje může být napaden a odstraněn. Najít zdroje: "Taylorovy expanze pro momenty funkcí náhodných proměnných"  – zprávy  · noviny  · knihy  · učenec  · JSTOR (Listopadu 2014) (Zjistěte, jak a kdy odstranit tuto zprávu šablony)

v teorie pravděpodobnosti, je možné aproximovat momenty funkce F a náhodná proměnná X použitím Taylorovy expanze, za předpokladu, že F je dostatečně diferencovatelné a že momenty X jsou konečné.

První okamžik

${ displaystyle { begin {aligned} operatorname {E} left [f (X) right] & {} = operatorname {E} left [f left ( mu _ {X} + left ( X- mu _ {X} right) right) right] & {} přibližně operatorname {E} left [f ( mu _ {X}) + f '( mu _ {X }) left (X- mu _ {X} right) + { frac {1} {2}} f '' ( mu _ {X}) left (X- mu _ {X} vpravo) ^ {2} vpravo]. end {zarovnáno}}}$

Od té doby ${ displaystyle E [X- mu _ {X}] = 0,}$ druhý termín zmizí. Taky ${ displaystyle E [(X- mu _ {X}) ^ {2}]}$ je ${ displaystyle sigma _ {X} ^ {2}}$. Proto,

${ displaystyle operatorname {E} vlevo [f (X) vpravo] přibližně f ( mu _ {X}) + { frac {f '' ( mu _ {X})} {2}} sigma _ {X} ^ {2}}$

kde ${ displaystyle mu _ {X}}$ a ${ displaystyle sigma _ {X} ^ {2}}$ jsou průměrná hodnota a rozptyl X.^[1]

Je možné to zobecnit na funkce více než jedné proměnné pomocí vícerozměrné Taylorovy expanze. Například,

${ displaystyle operatorname {E} left [{ frac {X} {Y}} right] přibližně { frac { operatorname {E} left [X right]} { operatorname {E} left [Y right]}} - { frac { operatorname {cov} left [X, Y right]} { operatorname {E} left [Y right] ^ {2}}} + { frac { operatorname {E} left [X right]} { operatorname {E} left [Y right] ^ {3}}} operatorname {var} left [Y right]}$

Druhý okamžik

Podobně,^[1]

${ displaystyle operatorname {var} left [f (X) right] přibližně left (f '( operatorname {E} left [X right]) right) ^ {2} operatorname {var } left [X right] = left (f '( mu _ {X}) right) ^ {2} sigma _ {X} ^ {2}}$

Výše uvedené používá aproximaci prvního řádu na rozdíl od metody použité při odhadu prvního okamžiku. Bude to špatná aproximace v případech, kdy ${ displaystyle f (X)}$ je vysoce nelineární. Toto je zvláštní případ delta metoda. Například,

${ displaystyle operatorname {var} left [{ frac {X} {Y}} right] přibližně { frac { operatorname {var} left [X right]} { operatorname {E} left [Y right] ^ {2}}} - { frac {2 operatorname {E} left [X right]} { operatorname {E} left [Y right] ^ {3}}} operatorname {cov} left [X, Y right] + { frac { operatorname {E} left [X right] ^ {2}} { operatorname {E} left [Y right] ^ {4}}} operatorname {var} left [Y right].}$

Aproximace druhého řádu, když X následuje normální rozdělení, je^[2]:

${ displaystyle operatorname {var} left [f (X) right] přibližně left (f '( operatorname {E} left [X right]) right) ^ {2} operatorname {var } left [X right] + { frac { left (f '' ( operatorname {E} left [X right]) right) ^ {2}} {2}} left ( operatorname {var} left [X right] right) ^ {2} = left (f '( mu _ {X}) right) ^ {2} sigma _ {X} ^ {2} + { frac {1} {2}} left (f '' ( mu _ {X}) right) ^ {2} sigma _ {X} ^ {4} + left (f '( mu _ {X}) right) left (f '' '( mu _ {X}) right) sigma _ {X} ^ {4}}$

Viz také

• Šíření nejistoty
• Aproximace WKB
• Delta metoda

Poznámky

Další čtení

• Wolter, Kirk M. (1985). "Metody Taylorovy řady". Úvod do odhadu odchylek. New York: Springer. str. 221–247. ISBN  0-387-96119-4.