Delta metoda - Delta method
v statistika, delta metoda je výsledek týkající se přibližného rozdělení pravděpodobnosti pro funkce z asymptoticky normální statistický odhadce ze znalosti omezení rozptyl toho odhadce.
Dějiny
Metoda delta byla odvozena z šíření chyby a myšlenka pozadí byla známa na počátku 19. století.[1] Jeho statistickou aplikaci lze vysledovat již v roce 1928 T. L. Kelley.[2] Formální popis metody představil J. L. Doob v roce 1935.[3] Robert Dorfman také popsal jeho verzi v roce 1938.[4]
Jednorozměrná delta metoda
Zatímco metoda delta se snadno zobecňuje na vícerozměrné prostředí, opatrná motivace techniky se snáze demonstruje v jednorozměrných pojmech. Zhruba, pokud existuje sekvence náhodných proměnných Xn uspokojující
kde θ a σ2 jsou konstanty konečné hodnoty a označuje konvergence v distribuci, pak
pro jakoukoli funkci G uspokojení majetku, který G'(θ) existuje a má nenulovou hodnotu.
Důkaz v jednorozměrném případě
Demonstrace tohoto výsledku je za předpokladu, že ano, celkem jasná G'(θ) je kontinuální. Pro začátek používáme věta o střední hodnotě (tj .: aproximace prvního řádu a Taylor série použitím Taylorova věta ):
kde leží mezi Xn a θVšimněte si, že od té doby a , to musí být ono a od té doby G'(θ) je kontinuální, použití věta o spojitém mapování výnosy
kde označuje konvergence v pravděpodobnosti.
Přeskupení podmínek a vynásobení dává
Od té doby
předpokládá se, že to bezprostředně vyplývá z odvolání k Slutského věta že
Tím je důkaz uzavřen.
Důkaz s výslovným pořadím aproximace
Alternativně lze na konci přidat ještě jeden krok, abyste získali pořadí aproximace:
To naznačuje, že chyba v aproximaci konverguje k 0 v pravděpodobnosti.
Vícerozměrná delta metoda
Podle definice a konzistentní odhad B konverguje v pravděpodobnosti na jeho skutečnou hodnotu βa často teorém centrálního limitu lze použít k získání asymptotická normálnost:
kde n je počet pozorování a Σ je (symetrická kladná semitečná) kovarianční matice. Předpokládejme, že chceme odhadnout rozptyl skalární funkce h odhadce B. Zachování pouze prvních dvou podmínek Taylor série a pomocí vektorové notace pro spád, můžeme odhadnout h (B) tak jako
z čehož vyplývá rozptyl h (B) je přibližně
Jeden může použít věta o střední hodnotě (pro funkce mnoha proměnných se skutečnou hodnotou) je vidět, že se nespoléhá na použití aproximace prvního řádu.
Delta metoda to tedy předpokládá
nebo v jednorozměrných termínech,
Příklad: binomický podíl
Předpokládat Xn je binomický s parametry a n. Od té doby
můžeme použít metodu Delta s G(θ) = log (θ) vidět
Proto, i když pro každou konečnou nrozptyl ve skutečnosti neexistuje (od Xn může být nula), asymptotická odchylka existuje a rovná se
Všimněte si, že od té doby p> 0, tak jako , takže s pravděpodobností konvergující k jedné, je konečný pro velké n.
Navíc pokud a jsou odhady různých skupinových sazeb z nezávislých vzorků velikostí n a m respektive pak logaritmus odhadovaného relativní risk má asymptotickou odchylku rovnou
To je užitečné k vytvoření testu hypotézy nebo k vytvoření intervalu spolehlivosti pro relativní riziko.
Alternativní forma
Metoda delta se často používá ve formě, která je v podstatě totožná s výše uvedenou formou, ale bez předpokladu, že Xn nebo B je asymptoticky normální. Jediným kontextem je často to, že odchylka je „malá“. Výsledky pak dávají pouze aproximaci průměrů a kovariancí transformovaných veličin. Například vzorce uvedené v Kleinovi (1953, s. 258) jsou:[5]
kde hr je rth prvek h(B) a Bi je ith prvek B.
Delta metoda druhého řádu
Když G'(θ) = 0 metodu delta nelze použít. Pokud však G''(θ) existuje a není nula, lze použít metodu delta druhého řádu. Taylorovou expanzí , takže rozptyl spoléhá až na 4. okamžik roku .
Delta metoda druhého řádu je také užitečná při provádění přesnější aproximace Distribuce, když je velikost vzorku malá. Například když následuje standardní normální rozdělení, lze aproximovat jako vážený součet standardní normály a chí-kvadrátu se stupněm volnosti 1.
Viz také
Reference
- ^ Portnoy, Stephen (2013). "Dopis editorovi". Americký statistik. 67 (3): 190–190. doi:10.1080/00031305.2013.820668.
- ^ Kelley, Truman L. (1928). Křižovatka v mysli člověka: Studie diferencovatelných mentálních schopností. str. 49–50. ISBN 978-1-4338-0048-1.
- ^ Doob, J.L. (1935). „Omezení distribuce určitých statistik“. Annals of Mathematical Statistics. 6: 160–169. doi:10.1214 / aoms / 1177732594. JSTOR 2957546.
- ^ Ver Hoef, J. M. (2012). „Kdo vynalezl metodu delta?“. Americký statistik. 66 (2): 124–127. doi:10.1080/00031305.2012.687494. JSTOR 23339471.
- ^ Klein, L. R. (1953). Učebnice ekonometrie. str. 258.
Další čtení
- Oehlert, G. W. (1992). "Poznámka k metodě Delta". Americký statistik. 46 (1): 27–29. doi:10.1080/00031305.1992.10475842. JSTOR 2684406.
- Wolter, Kirk M. (1985). "Metody Taylorovy řady". Úvod do odhadu odchylek. New York: Springer. str. 221–247. ISBN 0-387-96119-4.
externí odkazy
- Asmussen, Søren (2005). „Některé aplikace Delta metody“ (PDF). Poznámky z přednášky. Aarhuská univerzita.
- Feiveson, Alan H. "Vysvětlení delta metody". Stata Corp.
- Xu, červen; Long, J. Scott (22. srpna 2005). „Použití metody Delta ke konstrukci intervalů spolehlivosti pro předpokládané pravděpodobnosti, rychlosti a diskrétní změny“ (PDF). Poznámky z přednášky. Indiana University.