Samuelsonsova nerovnost - Samuelsons inequality - Wikipedia

v statistika, Samuelsonova nerovnost, pojmenovaný po ekonomovi Paul Samuelson,^[1] také volal Laguerre – Samuelsonova nerovnost,^[2][3] po matematikovi Edmond Laguerre, uvádí, že každý z jakékoli sbírky X₁, ..., X_n, je uvnitř √n − 1 nekorigovaný vzorek standardní odchylky průměr jejich vzorku.

Prohlášení o nerovnosti

Pokud to necháme

${ displaystyle { overline {x}} = { frac {x_ {1} + cdots + x_ {n}} {n}}}$

být vzorkem znamenat a

${ displaystyle s = { sqrt {{ frac {1} {n}} sum _ {i = 1} ^ {n} (x_ {i} - { overline {x}}) ^ {2}} }}$

pak směrodatná odchylka vzorku

${ displaystyle { overline {x}} - s { sqrt {n-1}} leq x_ {j} leq { overline {x}} + s { sqrt {n-1}} qquad { text {for}} j = 1, tečky, n.}$^[4]

Rovnost platí vlevo (nebo vpravo) pro ${ displaystyle x_ {j}}$ kdyby a jen kdyby všechny n − 1 ${ displaystyle x_ {i}}$jiné než ${ displaystyle x_ {j}}$ jsou si navzájem stejné a větší (menší) než ${ displaystyle x_ {j}.}$^[2]

Srovnání s Čebyševovou nerovností

Čebyševova nerovnost vyhledá určitý zlomek dat v určitých mezích, zatímco Samuelsonova nerovnost vyhledá Všechno datové body v určitých mezích.

Hranice dané Čebyševovou nerovností nejsou ovlivněny počtem datových bodů, zatímco u Samuelsonovy nerovnosti se hranice s rostoucí velikostí vzorku uvolňují. Pro dostatečně velké soubory dat je tedy Čejčevova nerovnost užitečnější.

Aplikace

Tato sekce potřebuje expanzi. Můžete pomoci přidávat k tomu. (Července 2017)

Samuelsonovu nerovnost lze považovat za důvod studentizace reziduí mělo by se udělat navenek.

Vztah k polynomům

Samuelson nebyl první, kdo popsal tento vztah: první byl pravděpodobně Laguerre v roce 1880 při vyšetřování kořeny (nuly) z polynomy.^[2][5]

Zvažte polynom se všemi skutečnými kořeny:

${ displaystyle a_ {0} x ^ {n} + a_ {1} x ^ {n-1} + cdots + a_ {n-1} x + a_ {n} = 0}$

Bez ztráty obecnosti ať ${ displaystyle a_ {0} = 1}$ a nechte

${ displaystyle t_ {1} = součet x_ {i}}$ a ${ displaystyle t_ {2} = součet x_ {i} ^ {2}}$

Pak

${ displaystyle a_ {1} = - součet x_ {i} = - t_ {1}}$

a

${ displaystyle a_ {2} = součet x_ {i} x_ {j} = { frac {t_ {1} ^ {2} -t_ {2}} {2}} qquad { text {kde}} já$

Co se týče koeficientů

${ displaystyle t_ {2} = a_ {1} ^ {2} -2a_ {2}}$

Laguerre ukázal, že kořeny tohoto polynomu byly ohraničeny

${ displaystyle -a_ {1} / n pm b { sqrt {n-1}}}$

kde

${ displaystyle b = { frac { sqrt {nt_ {2} -t_ {1} ^ {2}}} {n}} = { frac { sqrt {na_ {1} ^ {2} -a_ { 1} ^ {2} -2na_ {2}}} {n}}}$

Inspekce to ukazuje ${ displaystyle - { tfrac {a_ {1}} {n}}}$ je znamenat kořenů a to b je směrodatná odchylka kořenů.

Laguerre si nevšiml tohoto vztahu s prostředky a směrodatnými odchylkami kořenů, protože se více zajímal o hranice samotné. Tento vztah umožňuje rychlý odhad hranice kořenů a může být užitečný v jejich umístění.

Když koeficienty ${ displaystyle a_ {1}}$ a ${ displaystyle a_ {2}}$ jsou oba nulové, nelze získat žádné informace o umístění kořenů, protože ne všechny kořeny jsou skutečné (jak je vidět z Descartova vláda znamení ) pokud konstantní člen není také nula.

Reference