Věta o kamenech na jednoparametrových unitárních skupinách - Stones theorem on one-parameter unitary groups - Wikipedia

v matematika, Stoneova věta na jeden parametr unitární skupiny je základní věta o funkční analýza který zavádí vzájemnou korespondenci mezi operátoři s vlastním nastavením na Hilbertův prostor ${ displaystyle { mathcal {H}}}$ a rodiny s jedním parametrem

${ displaystyle (U_ {t}) _ {t in mathbb {R}}}$

z nečleněné operátory to jsou silně spojité, tj.,

${ displaystyle forall t_ {0} in mathbb {R}, psi in { mathcal {H}}: qquad lim _ {t to t_ {0}} U_ {t} ( psi ) = U_ {t_ {0}} ( psi),}$

a jsou homomorfismy, tj.

${ displaystyle forall s, t in mathbb {R}: qquad U_ {t + s} = U_ {t} U_ {s}.}$

Takové rodiny s jedním parametrem se běžně označují jako silně spojité jednoparametrické unitární skupiny.

Věta byla prokázána Marshall Stone  (1930, 1932 ), a Neumann (1932) ukázal, že požadavek, že ${ displaystyle (U_ {t}) _ {t in mathbb {R}}}$ být silně spojitý lze uvolnit, když řekneme, že je to jen slabě měřitelné, alespoň když je Hilbertův prostor oddělitelný.

Jedná se o působivý výsledek, protože umožňuje definovat derivaci mapování ${ displaystyle t mapsto U_ {t},}$ který má být pouze spojitý. Souvisí to také s teorií Lež skupiny a Lež algebry.

Formální prohlášení

Tvrzení věty je následující.^[1]

Teorém. Nechat ${ displaystyle (U_ {t}) _ {t in mathbb {R}}}$ být silně spojité jednoparametrická unitární skupina. Pak existuje jedinečný (možná neomezený) operátor ${ displaystyle A: { mathcal {D}} _ {A} na { mathcal {H}}}$, to je samo-adjunkt na ${ displaystyle { mathcal {D}} _ {A}}$ a takhle

${ displaystyle forall t in mathbb {R}: qquad U_ {t} = e ^ {itA}.}$

Doména ${ displaystyle A}$ je definováno

${ displaystyle { mathcal {D}} _ {A} = left { psi in { mathcal {H}} left | lim _ { varepsilon to 0} { frac {-i} { varepsilon}} left (U _ { varepsilon} ( psi) - psi right) { text {existuje}} right. right }.}$

Naopak, pojďme ${ displaystyle A: { mathcal {D}} _ {A} na { mathcal {H}}}$ být (možná neomezeně) samoobslužným operátorem na ${ displaystyle { mathcal {D}} _ {A} subseteq { mathcal {H}}.}$ Pak rodina s jedním parametrem ${ displaystyle (U_ {t}) _ {t in mathbb {R}}}$ unitárních operátorů definovaných

${ displaystyle forall t in mathbb {R}: qquad U_ {t}: = e ^ {itA}}$

je silně spojitá skupina s jedním parametrem.

V obou částech věty výraz ${ displaystyle e ^ {itA}}$ je definována pomocí spektrální věta pro neomezené operátoři s vlastním nastavením.

Operátor ${ displaystyle A}$ se nazývá nekonečně malý generátor z ${ displaystyle (U_ {t}) _ {t in mathbb {R}}.}$ Dále ${ displaystyle A}$ bude omezeným operátorem tehdy a jen tehdy, pokud bude mapováno s hodnotami operátora ${ displaystyle t mapsto U_ {t}}$ je norma -kontinuální.

Infinitezimální generátor ${ displaystyle A}$ silně spojité jednotné skupiny ${ displaystyle (U_ {t}) _ {t in mathbb {R}}}$ lze vypočítat jako

${ displaystyle A psi = -i lim _ { varepsilon až 0} { frac {U _ { varepsilon} psi - psi} { varepsilon}},}$

s doménou ${ displaystyle A}$ skládající se z těchto vektorů ${ displaystyle psi}$ pro které existuje limit v topologii normy. To znamená, ${ displaystyle A}$ je rovný ${ displaystyle -i}$ krát derivace ${ displaystyle U_ {t}}$ s ohledem na ${ displaystyle t}$ na ${ displaystyle t = 0}$. Část tvrzení věty je, že tento derivát existuje - tj., Že ${ displaystyle A}$ je hustě definovaný operátor se samostatným připojením. Výsledek není zřejmý ani v případě konečných rozměrů ${ displaystyle U_ {t}}$ předpokládá se pouze (předem), že bude spojitý a nediferencovatelný.

Příklad

Rodina překladatelských operátorů

${ displaystyle left [T_ {t} ( psi) vpravo] (x) = psi (x + t)}$

je jednoparametrická unitární skupina unitárních operátorů; nekonečně malý generátor této rodiny je rozšíření operátora diferenciálu

${ displaystyle -i { frac {d} {dx}}}$

definované v prostoru spojitě diferencovatelných komplexně oceněných funkcí s kompaktní podpora na ${ displaystyle mathbb {R}.}$ Tím pádem

${ displaystyle T_ {t} = e ^ {t { frac {d} {dx}}}.}$

Jinými slovy, pohyb po čáře je generován operátor hybnosti.

Aplikace

Stoneova věta má mnoho aplikací v kvantová mechanika. Například vzhledem k izolované kvantově mechanické soustavě s Hilbertovým prostorem stavů H, vývoj času je silně spojitá jednoparametrická unitární skupina na ${ displaystyle { mathcal {H}}}$. Infinitezimální generátor této skupiny je systém Hamiltonian.

Použití Fourierovy transformace

Stoneovu větu lze přepracovat pomocí jazyka Fourierova transformace. Skutečná linie ${ displaystyle mathbb {R}}$ je lokálně kompaktní abelianská skupina. Nedegenerované * - reprezentace skupina C * -algebra ${ displaystyle C ^ {*} ( mathbb {R})}$ jsou v korespondenci jedna ku jedné se silně spojitými jednotnými reprezentacemi ${ displaystyle mathbb {R},}$ tj. silně spojité jednoparametrické unitární skupiny. Na druhou stranu je Fourierova transformace * -izomorfismem z ${ displaystyle C ^ {*} ( mathbb {R})}$ na ${ displaystyle C_ {0} ( mathbb {R}),}$ the ${ displaystyle C ^ {*}}$-algebra spojitých komplexních funkcí na reálné ose, které mizí v nekonečnu. Proto existuje vzájemná korespondence mezi silně spojitými jednoparametrovými jednotnými skupinami a * reprezentacemi ${ displaystyle C_ {0} ( mathbb {R}).}$ Jako každé * - představení ${ displaystyle C_ {0} ( mathbb {R})}$ odpovídá jednoznačně operátorovi, který sám pracuje, Stoneova věta platí.

Proto je postup pro získání infinitezimálního generátoru silně spojité jednoparametrické unitární skupiny následující:

• Nechat ${ displaystyle (U_ {t}) _ {t in mathbb {R}}}$ být silně spojitou jednotnou reprezentací ${ displaystyle mathbb {R}}$ na Hilbertův prostor ${ displaystyle { mathcal {H}}}$.

• Integrujte tuto jednotnou reprezentaci, abyste získali nedegenerovanou * reprezentaci ${ displaystyle rho}$ z ${ displaystyle C ^ {*} ( mathbb {R})}$ na ${ displaystyle { mathcal {H}}}$ nejprve definováním

${ displaystyle forall f in C_ {c} ( mathbb {R}): qquad rho (f): = int _ { mathbb {R}} f (t) ~ U_ {t} dt, }$

a poté se prodlužuje ${ displaystyle rho}$ všem ${ displaystyle C ^ {*} ( mathbb {R})}$ kontinuitou.

• Pomocí Fourierovy transformace získáte nedegenerovanou * reprezentaci ${ displaystyle tau}$ z ${ displaystyle C_ {0} ( mathbb {R})}$ na ${ displaystyle { mathcal {H}}}$.

• Podle Riesz-Markovova věta, ${ displaystyle tau}$ dává vzniknout a míra projekce na ${ displaystyle mathbb {R}}$ to je řešení identity jedinečnosti operátor s vlastním nastavením ${ displaystyle A}$, které mohou být neomezené.

• Pak ${ displaystyle A}$ je nekonečně malý generátor ${ displaystyle (U_ {t}) _ {t in mathbb {R}}.}$

Přesná definice ${ displaystyle C ^ {*} ( mathbb {R})}$ je následující. Zvažte * -algebru ${ displaystyle C_ {c} ( mathbb {R}),}$ spojité komplexní funkce ${ displaystyle mathbb {R}}$ s kompaktní podporou, kde násobení je dáno konvoluce. Dokončení této * -algebry s ohledem na ${ displaystyle L ^ {1}}$-norm je Banachova * -algebra, označená ${ displaystyle (L ^ {1} ( mathbb {R}), star).}$ Pak ${ displaystyle C ^ {*} ( mathbb {R})}$ je definován jako obklopující ${ displaystyle C ^ {*}}$-algebra z ${ displaystyle (L ^ {1} ( mathbb {R}), star)}$, tj. jeho dokončení s ohledem na největší možné ${ displaystyle C ^ {*}}$-norma. Je netriviální skutečnost, že prostřednictvím Fourierovy transformace ${ displaystyle C ^ {*} ( mathbb {R})}$ je izomorfní s ${ displaystyle C_ {0} ( mathbb {R}).}$ Výsledkem v tomto směru je Riemann-Lebesgue Lemma, který říká, že Fourierovy transformační mapy ${ displaystyle L ^ {1} ( mathbb {R})}$ na ${ displaystyle C_ {0} ( mathbb {R}).}$

Zobecnění

The Stone – von Neumannova věta zobecňuje Stoneovu větu na a pár samoobslužných operátorů, ${ displaystyle (P, Q)}$, uspokojující kanonický komutační vztah, a ukazuje, že všechny jsou jednotně ekvivalentní s operátor polohy a operátor hybnosti na ${ displaystyle L ^ {2} ( mathbb {R}).}$

The Věta Hille – Yosida zobecňuje Stoneovu větu na silně spojité jednoparametrické poloskupiny kontrakce na Banachovy prostory.

Reference

Bibliografie

• Hall, B.C. (2013), Kvantová teorie pro matematiky, Postgraduální texty z matematiky, 267Springer, ISBN  978-1461471158
• Neumann, J. von (1932), „Über einen Satz von Herrn M. H. Stone“, Annals of Mathematics, Druhá řada (v němčině), Annals of Mathematics, 33 (3): 567–573, doi:10.2307/1968535, ISSN  0003-486X, JSTOR  1968535
• Stone, M. H. (1930), "Lineární transformace v Hilbertově prostoru. III. Operační metody a teorie skupin", Sborník Národní akademie věd Spojených států amerických, Národní akademie věd, 16 (2): 172–175, doi:10.1073 / pnas.16.2.172, ISSN  0027-8424, JSTOR  85485, PMC  1075964, PMID  16587545
• Stone, M. H. (1932), „On one-parameter unitary groups in Hilbert Space“, Annals of Mathematics, 33 (3): 643–648, doi:10.2307/1968538, JSTOR  1968538
• K. Yosida, Funkční analýza, Springer-Verlag, (1968)