Ultrabornologický prostor - Ultrabornological space

v funkční analýza, a topologický vektorový prostor (TVS) X je nazýván ultrabornologické pokud každý ohraničený lineární operátor z X do jiného TVS je nutně kontinuální. Obecná verze věta o uzavřeném grafu platí pro ultrabornologické prostory. Ultrabornologické prostory představil Alexander Grothendieck (Grothendieck [1955, s. 17] „espace du type (β)“).[1]

Definice

Nechat X být topologický vektorový prostor (TVS).

Předkola

A disk je konvexní a vyrovnaný soubor. Disk v TVS X je nazýván rodilý[2] Pokud si to absorbuje každá ohraničená podmnožina X.

Je volána lineární mapa mezi dvěma TVS infrapounded[2] pokud to mapuje Banachovy disky na ohraničené disky.

Disk D v TVS X je nazýván infrabornivorous pokud splňuje některou z následujících rovnocenných podmínek:

  1. D absorbuje každý Banachovy disky v X.

zatímco pokud X lokálně konvexní, pak můžeme přidat do tohoto seznamu:

  1. the měřítko z D je infračervená mapa;[2]

zatímco pokud X lokálně konvexní a Hausdorff, pak můžeme přidat do tohoto seznamu:

  1. D absorbuje všechny kompaktní disky;[2] to je D je „kompaktní“.

Ultrabornologický prostor

TVS X je ultrabornologické pokud splňuje některou z následujících rovnocenných podmínek:

  1. každý infrabornivorous disk v X je sousedství původu;[2]

zatímco pokud X je lokálně konvexní prostor, můžeme do tohoto seznamu přidat:

  1. každý ohraničený lineární operátor z X do úplnosti měřitelné TVS je nutně spojitý;
  2. každý infrabornivorous disk je sousedství 0;
  3. X být indukční mezí mezer XD tak jako D se liší u všech kompaktních disků v X;
  4. seminář o X který je ohraničen na každém Banachově disku, je nutně spojitý;
  5. pro každý lokálně konvexní prostor Y a každá lineární mapa u : X → Y, pokud u je pak ohraničen na každém disku Banach u je spojitý;
  6. pro každý Banachův prostor Y a každá lineární mapa u : X → Y, pokud u je pak ohraničen na každém Banachově disku u je spojitý.

zatímco pokud X je Hausdorff místně konvexní prostor, pak můžeme přidat do tohoto seznamu:

  1. X je indukční limit Banachových prostorů;[2]

Vlastnosti

Každý lokálně konvexní ultrabornologický prostor je sudový,[2] kvazi-ultrabarelizovaný prostor a bornologický prostor ale existují bornologické prostory, které nejsou ultrabornologické.

Příklady a dostatečné podmínky

Konečný produkt lokálně konvexních ultrabornologických prostorů je ultrabornologický.[2] Induktivní limity ultrabornologických prostor jsou ultrabornologické.

Každý Hausdorff postupně dokončen bornologické TVS je ultrabornologický.[2] Tedy každý soutěžit Hausdorff bornologický prostor je ultrabornologické. Zejména každý Fréchetový prostor je ultrabornologické.[2]

The silný duální prostor a kompletní Schwartzův prostor je ultrabornologické.

Každý Hausdorff bornologický prostor to je kvazi-kompletní je ultrabornologické.[Citace je zapotřebí ]

Protiklady

Existují ultrabarelled spaces které nejsou ultrabornologické. Existují ultrabornologické prostory, které nemají ultrabarrelled.

Viz také

externí odkazy

Reference

  1. ^ Narici & Beckenstein 2011, str. 441.
  2. ^ A b C d E F G h i j Narici & Beckenstein 2011, str. 441-457.
  • Hogbe-Nlend, Henri (1977). Bornologie a funkční analýza. Amsterdam: North-Holland Publishing Co., s. Xii + 144. ISBN  0-7204-0712-5. PAN  0500064.
  • Edwards, Robert E. (1995). Funkční analýza: Teorie a aplikace. New York: Dover Publications. ISBN  978-0-486-68143-6. OCLC  30593138.
  • Grothendieck, Alexander (1955). „Produkuje Tensoriels Topologiques et Espaces Nucléaires“ [Topologické tenzorové produkty a jaderné prostory]. Monografie série americké matematické společnosti (francouzsky). Providence: Americká matematická společnost. 16. ISBN  978-0-8218-1216-7. PAN  0075539. OCLC  1315788.
  • Grothendieck, Alexander (1973). Topologické vektorové prostory. Přeložil Chaljub, Orlando. New York: Gordon and Breach Science Publishers. ISBN  978-0-677-30020-7. OCLC  886098.
  • Khaleelulla, S. M. (1982). Napsáno v Berlíně v Heidelbergu. Protipříklady v topologických vektorových prostorech. Přednášky z matematiky. 936. Berlín New York: Springer-Verlag. ISBN  978-3-540-11565-6. OCLC  8588370.
  • Kriegl, Andreas; Michor, Peter W. (1997). Pohodlné nastavení globální analýzy (PDF). Matematické průzkumy a monografie. 53. Providence, R.I: Americká matematická společnost. ISBN  978-0-8218-0780-4. OCLC  37141279.
  • Narici, Lawrence; Beckenstein, Edward (2011). Topologické vektorové prostory. Čistá a aplikovaná matematika (druhé vydání). Boca Raton, FL: CRC Press. ISBN  978-1584888666. OCLC  144216834.
  • Schaefer, Helmut H.; Wolff, Manfred P. (1999). Topologické vektorové prostory. GTM. 8 (Druhé vydání.). New York, NY: Springer New York Otisk Springer. ISBN  978-1-4612-7155-0. OCLC  840278135.
  • Wilansky, Albert (2013). Moderní metody v topologických vektorových prostorech. Mineola, New York: Dover Publications, Inc. ISBN  978-0-486-49353-4. OCLC  849801114.